關(guān)于高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之“數(shù)”“形”結(jié)合策略

文/張藝璇

摘要：高中階段是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的黃金時(shí)期，特別是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的形成有重要影響。解析幾何是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容，在所有題型中所占比值相對(duì)較高。而在一般情況下，解析幾何的難度比函數(shù)低，且?guī)缀蔚慕馕鐾ǔＳ幸欢ǖ募记尚?，只要熟悉并掌握了速解技巧，將題目的“數(shù)”與“形”實(shí)現(xiàn)有機(jī)結(jié)合，即把題目所給條件一一對(duì)應(yīng)進(jìn)行解題，便能最大限度減少解析幾何解題時(shí)間，同時(shí)也不會(huì)漏掉題目條件，繼而有效提高答題效率，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)成績(jī)的顯著提升。換言之，能否正確的運(yùn)用“數(shù)”“形”結(jié)合來(lái)進(jìn)行答題解析，是影響當(dāng)前高中解析幾何成績(jī)的關(guān)鍵因素之一。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)技巧；幾何圖形；高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合

作者簡(jiǎn)介：張藝璇，長(zhǎng)沙市明德中學(xué)K323班(學(xué)生)。

中圖分類號(hào):G634.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

前言

數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)就是以強(qiáng)烈的創(chuàng)新意識(shí)進(jìn)行熏陶感染，鼓勵(lì)將個(gè)人儲(chǔ)備的知識(shí)信息進(jìn)行重新組合，從而形成一些具有較高價(jià)值的新發(fā)現(xiàn)、新設(shè)想。數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維培養(yǎng)在創(chuàng)造性思維的形成過(guò)程中起到十分關(guān)鍵的作用，其不僅有助于扎實(shí)、牢固地掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也可以借助數(shù)學(xué)知識(shí)這一載體，有效掌握正確的數(shù)學(xué)思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值，進(jìn)而樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)。因此，本文以高中數(shù)學(xué)幾何解題技巧之?dāng)?shù)形結(jié)合為研究對(duì)象，圍繞速解高中解析幾何方法中的數(shù)形結(jié)合進(jìn)行了分析，并對(duì)數(shù)形結(jié)合在解析幾何幾種題型中的運(yùn)用進(jìn)行了舉例說(shuō)明。

一、“數(shù)”“形”結(jié)合解題法的理論概述

(一)方法釋義

首先，關(guān)于解析幾何的釋義，其泛指幾何學(xué)上一個(gè)小分支，主要用代數(shù)方法研究集合對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)，因此也稱作“坐標(biāo)幾何”。其包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分，其中，平面解析幾何是二維空間上的解析幾何；立體解析幾何是三維空間上的解析幾何，而立體解析幾何則比平面解析幾何更加復(fù)雜、抽象。

其次，關(guān)于數(shù)形結(jié)合的釋義，即是把題目所給條件中的“數(shù)”與“形”一一對(duì)應(yīng)，用簡(jiǎn)單的、直觀的幾何圖形以及條件之間的位置關(guān)系把復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言以及條件之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)形象思維與抽象思維之間的結(jié)合，以形助數(shù)，或以數(shù)解形，從而使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，以起到優(yōu)化解題途徑的目的。

(二)解題思路

在遇到解析幾何時(shí)，能清楚條件與問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，將“數(shù)”與“形”一一對(duì)應(yīng)，便能夠快速找到解題突破點(diǎn)。事實(shí)上，當(dāng)熟練掌握到數(shù)形結(jié)合方法，能夠舉一反三時(shí)，遇到的所有題目都將是同一題目了。因此，掌握數(shù)形結(jié)合思，就必須厘清下列關(guān)系：第一點(diǎn)，復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等以幾何條件和幾何元素為背景建立的概念；第二點(diǎn)，題目所給的等式或代數(shù)方程式的結(jié)構(gòu)中所含明顯的幾何意義；第三點(diǎn)，函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第四點(diǎn)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；第五點(diǎn)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

二、“數(shù)”“形”結(jié)合法在幾何解題中的實(shí)例解析

(一)解析幾何中圓類問(wèn)題

實(shí)踐證明，數(shù)形結(jié)合對(duì)速解圓類問(wèn)題的幫助很大，因?yàn)樵谝话憬忸}過(guò)程中，解析幾何圓類問(wèn)題主要圍繞求圓與圓之間的位置關(guān)系、圓與直線的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等幾方面展開(kāi)。比如在判斷圓與直線的位置關(guān)系時(shí)，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，便可以直觀地觀察到直線在圓外，但是答題需要寫出確切的答題步驟才能得分。這時(shí)就需要有“數(shù)”“形”結(jié)合解題思想的輔導(dǎo)——以數(shù)解形：通過(guò)計(jì)算圓心到直線的距離，距離比圓的半徑大即表明直線在圓外。這是最基本的用“數(shù)”“形”結(jié)合方式解答圓類問(wèn)題。為更為詳盡的說(shuō)明，下文將針對(duì)對(duì)“數(shù)”“形”結(jié)合法速解解析幾何圓類問(wèn)題作出例題說(shuō)明：

例題1：已知曲線y=1+√(4-x2)與直線y=k(x-2)+4交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解析：將曲線y=1+√(4-x2)變形，得x2+(y-1)2=4(1≤y≤3)，可知曲線是以點(diǎn)A(0,1)為圓心，2為半徑的圓，但是值域y要大于1，因此是上半圓；

直線y=k(x-2)+4過(guò)定點(diǎn)B(2,4)；當(dāng)直線繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至直線與圓相切，當(dāng)直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)在弧線MT之間都滿足題目要求，符合題意；

而交點(diǎn)M在直線y=1上，因此可算出M點(diǎn)的坐標(biāo)，即M(-2，1)；

例題1

直線BM可用點(diǎn)斜式法計(jì)算出來(lái)，kMB=3/4，即點(diǎn)M到點(diǎn)A之間的距離等于半徑；

列等式∣1+2k-4∣/√(1+k2)，可解得kBT=5/12。因此，k∈(5/12,3/4]。

(二)解析幾何不等式問(wèn)題

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解決解析幾何中的不等式問(wèn)題主要是將原不等式化解，通常能化解為某個(gè)曲線方程，然后將曲線方程在數(shù)軸上表示，注意計(jì)算過(guò)程中值域與定義域，然后幾個(gè)圖形的交集就是該不等式的解集。

例題2：解不等式：√(16-x2)+√(8x-x2)>4。

解析：將原不等式變形，得√(16-x2)>4-√(8x-x2)，此式子與原不等式等價(jià)；

例題2

觀察可知這兩個(gè)式子都是半圓，在直角坐標(biāo)系中表示出來(lái)；

如例題2所示，兩個(gè)半圓之間的交集就是原不等式的解集，即，{x|0

三、結(jié)語(yǔ)

基于上述可知，合理運(yùn)用“數(shù)”“形”結(jié)合的方法，對(duì)于解析幾何的答題速度與準(zhǔn)確度都有著相當(dāng)大的優(yōu)勢(shì)，其不僅能夠減少運(yùn)算量，還能顯著節(jié)省答題時(shí)間，提高解題正確率。

(作者單位：長(zhǎng)沙市明德中學(xué)K323班)

參考文獻(xiàn)：

[1]申玉麗.新課標(biāo)下對(duì)高一學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想理解的研究[D].華東師范大學(xué)，2010.

[2]涂釗榕.高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的研究[D].福建師范大學(xué)，2012 .