彭國富

摘 要：高中數(shù)學(xué)教材中涉及平面幾何的基本定理和知識點，如勾股定理、正弦定理等等。從高中平面幾何中的對稱問題進行簡要探析。以期找到促進高中平面幾何教學(xué)質(zhì)量不斷提升的有效策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；平面幾何；對稱問題；教學(xué)策略

在定義上平面幾何研究的是平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結(jié)構(gòu)和度量性質(zhì)（面積、長度、角度、位置關(guān)系）。

高中平面幾何中的對稱主要是線關(guān)于線的對稱，線關(guān)于點的對稱，點關(guān)于點和線對稱。點關(guān)于點成中心對稱的對稱中心，恰是以這兩點為端點的線段的中點，故其中點關(guān)于點的對稱問題主要考查的是線段中點坐標公式的應(yīng)用。

例.已知點M（4，6），在直線l：x-3y+3=0和y軸上各找P，Q，使三角形MPQ的周長最小。

剖析：要使三角形的周長最小即三邊長度最小，如上圖，作點M關(guān)于直線的對稱點M1，再作點M關(guān)于y軸的對稱點M2，連結(jié)MM1、MM2，連接M1、M2，與l及y軸交于P與Q兩點，由軸對稱及平面幾何知識可知這樣得到的△MPQ的周長最小。

點關(guān)于線的對稱問題是點關(guān)于直線成軸對稱的問題，從軸對稱定義中可知對稱軸即為兩對稱點連線的“垂直平分線”。故可利用“垂直、平分”這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標。例如，求直線a：x+2y-4=0關(guān)于直線l：2x+5y-2=0對稱的直線b的方程。剖析：直線a、b關(guān)于直線l對稱，則直線b上一點定可在直線a上找到關(guān)于直線l的對稱點，故可在直線a上任取兩點M、N，再根據(jù)點關(guān)于線的對稱可求得M，N關(guān)于直線l的對稱點m，n。且點m、n在直線b上。兩點確定一條直線，因此可求得直線b的方程。

線是由點組成的，故線關(guān)于線對稱軸對稱問題是點關(guān)于線問題的升級。在已知的直線上取兩點作為已知點，再求已知兩點關(guān)于直線的對稱點，最后將求得的兩點連接就是所求的對稱直線。線關(guān)于點的對稱亦可用同種方法去解決，已知直線兩點作為已知點，再做已知兩點關(guān)于點的對稱點，連接求得的兩點就是所求直線關(guān)于點的對稱點。

高中平面幾何中涉及的對稱課題實際可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于線和點的對稱問題，學(xué)生只要多做訓(xùn)練即可熟練掌握。

參考文獻：

[1]張根福.平面解析幾何在測量中的應(yīng)用實例[J].科技資訊，2011（19）.

[2]馬士輝.高中數(shù)學(xué)教材編寫之我見：平面解析幾何中幾個值得商榷的問題[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)教育，2013（11）.

編輯 李建軍