鄭重陽

摘 要： 定積分是數(shù)學(xué)分析中的環(huán)節(jié)——微積分的重要分支之一，一元函數(shù)情況下，求微分實(shí)際上是一個(gè)求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而求積分是求已知導(dǎo)數(shù)的原函數(shù)，所以微分與積分互為逆運(yùn)算.本文主要介紹定積分的相關(guān)計(jì)算方法，以及定積分在實(shí)際中的一些應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 定積分 計(jì)算方法 應(yīng)用

定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實(shí)際問題.定積分的思想在古代數(shù)學(xué)家的工作中就已經(jīng)有了萌芽.比如古希臘時(shí)期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法計(jì)算過拋物線弓形及其他圖形的面積.公元263年我國劉徽提出的割圓術(shù)也是同一思想.在歷史上，積分觀念的形成比微分要早.但是直到牛頓和萊布尼茨的工作出現(xiàn)之前（17世紀(jì)下半葉），有關(guān)定積分的種種結(jié)果還是孤立零散的，比較完整的定積分理論還未形成，直到牛頓——萊布尼茨公式建立以后，計(jì)算問題才得以解決，定積分才迅速建立發(fā)展起來.

定積分的思想即“化整為零→近似代替→積零為整→取極限”.定積分這種“和的極限”的思想，在高等數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)、其他知識(shí)領(lǐng)域及人們?cè)谏a(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)中具有普遍的意義，很多問題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與定積分中求“和的極限”的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一樣的，教材通過對(duì)曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程等實(shí)際問題的研究，運(yùn)用極限方法，分割整體、局部線性化、以直代曲、化有限為無限、變連續(xù)為離散等過程，使定積分的概念逐步發(fā)展建立起來.可以說，定積分最重要的功能是為我們研究某些問題提供一種思想方法（或思維模式），即用無限的過程處理有限的問題，用離散的過程逼近連續(xù)，以直代曲，局部線性化等.定積分的概念及微積分基本公式，不僅是數(shù)學(xué)史上，而且是科學(xué)思想史上的重要?jiǎng)?chuàng)舉.

一、定積分的定義

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.