麻昌義

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，特殊與一般是相輔相成的，一般中包含著特殊，特殊也常常寓于一般，在求解一個(gè)特殊問(wèn)題時(shí)，不要就題論題，應(yīng)盡可能抓做其結(jié)論，或方法作些推廣，而在求解一個(gè)一眼不能望穿的一般問(wèn)題時(shí)，則常需要從特殊中去尋求方法與思路，對(duì)一個(gè)問(wèn)題，既要考慮一般性的方法，以適應(yīng)解一類(lèi)題，又要根據(jù)問(wèn)題的具體特點(diǎn)，給出一些簡(jiǎn)單、巧妙的解法進(jìn)行這方面訓(xùn)練、思路會(huì)更靈活，路會(huì)更多樣。

【關(guān)鍵詞】思維規(guī)律 數(shù)學(xué)教學(xué) 特殊與一般

中圖分類(lèi)號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.05.069

特殊與一般是相輔相成的一種思維規(guī)律，一般中包含著特殊，特殊也常常寓于一般，在求解一個(gè)特殊問(wèn)題時(shí)，不要就題論題，應(yīng)盡可能抓做其結(jié)論，或方法作些推廣，而在求解一個(gè)一眼不能望穿的一般問(wèn)題時(shí)，則常需要從特殊中去尋求方法與思路，對(duì)一個(gè)問(wèn)題，既要考慮一般性的方法，以適應(yīng)解一類(lèi)題，又要根據(jù)問(wèn)題的具體特點(diǎn)，給出一些簡(jiǎn)單、巧妙的解法進(jìn)行這方面訓(xùn)練、思路會(huì)更靈活，路會(huì)更多樣。

一、從特殊絕對(duì)不能肯定一般嗎？

肯定一個(gè)全稱(chēng)命題，通常須給予證明，不能采用舉例辦法，但是否對(duì)任何問(wèn)題都不能用特殊來(lái)肯定一般呢？也不是，對(duì)選擇題，對(duì)一般情況正確的結(jié)論，對(duì)特殊情況必然正確（注意只有一個(gè)答案是正確情形）。

例1：數(shù)列1， 前n項(xiàng)和等于（ ）

A、 B、 C、 D、2

一般思路是先考慮通項(xiàng)an= ，后用裂項(xiàng)相消，其實(shí)只需令n=1便可排除A、C、D而選B。

例2：過(guò)拋物線y=ax2（a>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與QF的長(zhǎng)度分別是p、q，則 等于（ ）

A、2a B、 C、4a D、

考慮過(guò)焦點(diǎn)的一條垂直于對(duì)稱(chēng)軸的特殊直線，并由拋物線定義不難解得選C，否則就小題大做了。

例3：已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則（ ）

A、b∈（-∞，0） B、b∈（0，1） C、b∈（1，2） D、b∈（2，+∞）

取特殊函數(shù)f（x）=x（x-1）（x-2）展開(kāi)比較得b=-3<0，故選A。

例4：函數(shù)f（x）=Msin（wx+φ）（w>0）在區(qū)間[a b]是增函數(shù)，且f（a）=-M，f（b）=M則函數(shù)g（x）=Mcos（wn+φ）在區(qū)間[a b]

A、可以是增函數(shù) B、是減函數(shù)

C、可以取得最大值M D、可以取得最小值-M

略析：取w=1，φ=1，則[a，b]可視為[ ， ]，由f（x）=Msinx，g（x）=Mcos，x∈[ ， ]，易得x=0時(shí)，g（x）取得最大值M，不可能取得-M，g（x）在此區(qū)間既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)，選C。

二、特殊問(wèn)題一般化

數(shù)學(xué)中的（不必?cái)?shù)學(xué)）許多發(fā)現(xiàn)發(fā)明都是從特殊問(wèn)題開(kāi)始，而后一般化而得到的、學(xué)習(xí)的時(shí)候，應(yīng)深刻領(lǐng)會(huì)概念、定義和定理的本質(zhì)，盡力弄清它們與周?chē)R(shí)之間的聯(lián)系，下面舉二個(gè)事例，作些推廣和深化。

例5：已知數(shù)列 計(jì)算s1，s2，s3，由此推測(cè)出Sn的公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)公式。

我們把這個(gè)題改為求和

，大部份學(xué)生都采取折項(xiàng)相消得出了結(jié)論，本題可否伸展開(kāi)去呢？

對(duì)于圓x2+y2=R2，設(shè)P（x0，y0）為坐標(biāo)面的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí)，有x02+y02=R2點(diǎn)P在圓外時(shí)，有x02+y02>R2，點(diǎn)P（x0，y0）在圓內(nèi)有x02+y02

則有（1）點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部時(shí)有

（2）點(diǎn)P在橢圓外部時(shí)有

（3）點(diǎn)P在橢圓上時(shí)有

運(yùn)用這些結(jié)論處理問(wèn)題就容易了。

三、一般問(wèn)題從特殊開(kāi)始

事實(shí)上，數(shù)學(xué)上的許多一般結(jié)論都是從一些簡(jiǎn)單的事實(shí)，經(jīng)過(guò)抽象、概括、歸納、推廣而得到的。因此，在求解某些問(wèn)題時(shí)常采用先退為進(jìn)的辦法，從特殊事例開(kāi)始去尋找思路、途徑。

例6：如果a1，a2…an都是小于1的函數(shù)，而b1，b2…bn是這些數(shù)的某一種排列，那么所有的數(shù)（1-a1）b1，（1-a2）b2…（1-an）bn，不可能都大于 。

分析：先考慮特殊情況

因乘法滿(mǎn)足交換律，故有：

0<（1-a1）b1（1-a2）b2…（1-an）bn=（1-a1）a1（1-a2）a2…（1-an）an≤（ ）n

顯然，不可能n個(gè)因式都大于 。