姚秀洲?于振艷

摘 要：中職學(xué)生在集合符號(hào)、集合與元素、數(shù)與數(shù)對(duì)辨析、列舉法與描述法的理解、隱含條件的挖掘等方面存在諸多誤區(qū)，本文試就學(xué)生學(xué)習(xí)集合時(shí)易犯的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，理清思考脈絡(luò)，掃除障礙。

關(guān)鍵詞：中職學(xué)生 集合 學(xué)習(xí)障礙

一、分不清0、{0}、?、{?}之間的關(guān)系

在學(xué)習(xí)了空集的概念后，很多同學(xué)搞不清楚0、{0}、?、{?}之間的關(guān)系，一些同學(xué)甚至錯(cuò)誤地認(rèn)為0={0}=?={?}。

0、、{0}、?、{?}之間的關(guān)系如下：0為一個(gè)對(duì)象，而不是一個(gè)集合。{0}、?、{?}都為集合，其中{0}為含有一個(gè)元素0的集合，?為不含任何元素的集合，{?}為含有一個(gè)元素?的集合，這里的集合?只作為集合{?}的一個(gè)元素。由于對(duì)象與集合之間的關(guān)系為屬于和不屬于的關(guān)系，于是有0∈{0}、0?、0{?}。因?yàn)?是任何集合的子集，?是任何非空集合的真子集，故有?{0}、?{0}。雖然?是一個(gè)集合，但對(duì)于集合{?}來(lái)說(shuō)它又是這個(gè)集合的一個(gè)元素，所以，?∈{?}。因{0}與{?}中的元素不同，故{0}≠{?}。

例1：{0}、{?}、{空集}是空集嗎？

分析：?中不含任何元素，但{0}、{?}、{空集}中的元素分別有數(shù)0、符號(hào)?、漢字“空集”，故它們均不是空集。

例2：下列四個(gè)關(guān)系式，①空集≠{0}，②0∈{0}，③空集{0}④0?，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）。

（A）4 （B） 3 （C） 2 （D） 1

分析：對(duì)于這道題目許多同學(xué)會(huì)錯(cuò)誤地選擇（C），他們認(rèn)為①②是正確的，③④是錯(cuò)誤的。其實(shí)因?yàn)榭占缓腥魏卧兀?不是它里面的對(duì)象，所以④的說(shuō)法是正確的；另外由于?是任意集合的子集，所以③空集被包含于{0}也是對(duì)的，因此本題的正確結(jié)果是（A）。

二、集合符號(hào)錯(cuò)用

如在寫(xiě)實(shí)數(shù)集時(shí)，將R寫(xiě)成{R}、{實(shí)數(shù)集}或{所有實(shí)數(shù)}等。R已經(jīng)就是實(shí)數(shù)集了，將實(shí)數(shù)集R寫(xiě)成{R}或{實(shí)數(shù)集}就都錯(cuò)了。集合已經(jīng)是指一組對(duì)象的全體所組成的集合，故不需再在實(shí)數(shù)前寫(xiě)“所有”。

例3：設(shè)A、B、M、N為非空集合，A∩B=?，M=，，則M∩N=? 。

錯(cuò)解：M∩N=?

分析：此題混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M、N是分別由A、B的真子集構(gòu)成的集合，因而M、N的元素都是集合，顯然?既是M又是N的元素。

正解：M∩N={?}

三、混淆列舉法和描述法

當(dāng)集合為無(wú)限集時(shí)，一般用描述法表示集合。在用描述法表示集合時(shí)，大括號(hào)中的豎線(xiàn)及其左右兩邊的字母都不能省。當(dāng)集合為有限集時(shí)，在元素不多的情況下，一般用列舉法表示集合。在用列舉法表示集合時(shí)，大括號(hào)中的豎線(xiàn)及其左右兩邊的字母必須省去。即大括號(hào)中的豎線(xiàn)及其左右兩邊的字母，若省則都省，若不省則都不省。

{（x，y）}={（1，2）}，這個(gè)集合用下列結(jié)果表示，都為錯(cuò)誤的，如：{x=1，y=2}、{（x，y）（1，2）}等。

例4：已知集合A={x2-x-6=0}，B={xx2-x-6=0}，判斷A與B的關(guān)系。

分析：許多學(xué)生會(huì)認(rèn)為A=B={2，3}，這是錯(cuò)誤的。集合中元素的屬性可以是數(shù)，可以是數(shù)對(duì)，可以是方程，也可以是集合，雖然集合A、B中有相同的方程，但是集合A是用列舉法表示，集合B是用描述法表示，不同的方法導(dǎo)致二者里面的元素屬性是不同的。集合A的元素屬性是方程，集合B的元素屬性是數(shù)，所以集合A和B不相等，也不具備包含關(guān)系。

四、混淆數(shù)與數(shù)對(duì)

在判斷集合{y|y=x+1}與{（x，y）|y=x+1}之間的關(guān)系時(shí)，許多學(xué)生認(rèn)為這兩個(gè)集合相等，其實(shí)不然。集合{y|y=x+1}是一個(gè)數(shù)集，而{（x，y）|y=x+1}是一個(gè)數(shù)對(duì)集，雖然兩個(gè)集合中都有y=x+1，但這兩個(gè)集合并不相等。一些學(xué)生在寫(xiě)點(diǎn)集如{（1，2）}時(shí)，常寫(xiě)成{1，2}，這是不對(duì)的。

例5：設(shè)集合A={（x，y）x+y=3}，B={（x，y）x-y=1}，求A∩B，x-2

錯(cuò)解：由得，從而A∩B={2，1}

分析：上述解法混淆了數(shù)集與數(shù)對(duì)集的區(qū)別，集合A、B中的元素為數(shù)對(duì)集即點(diǎn)集，所以A∩B={2，1}

例6：集合{y|y=x2-1}={x|y=x2-1}={（x，y）|y=x2-1}

分析：上述說(shuō)法是錯(cuò)誤的。集合{y|y=x2-1}與集合{x|y=x2-1}的元素都是數(shù)集，其中集合{y|y=x2-1}的元素是y，是函數(shù)y=x2-1的函數(shù)值組成的集合；而集合{x|y=x2-1}的元素是x，是函數(shù)y=x2-1的自變量的取值組成的集合，因而{x|y=x2-1}≠{x|y=x2-1}。集合{（x，y）|y=x2-1}的元素是（x，y），是有序數(shù)對(duì)，和前兩個(gè)集合的元素在屬性上有所區(qū)別。所以{y|y=x2-1}≠{x|y=x2-1}≠{（x，y）|y=x2-1}

五、分不清集合和元素

例7：若A={a，b}B={x|xA}，則集合A與B的關(guān)系是（）。

（A） AB （B） AB （C） A∈B （D） AB

分析：許多學(xué)生選（A），這是錯(cuò)誤的。xA表明x是A的子集，由知，B是A的所有子集的集合。因而A和B的關(guān)系是元素和集合的關(guān)系，（A）和（B）顯然是錯(cuò)誤的，正確結(jié)果為（C）。

例8：設(shè)為A，B，M，N非空集合，A∩B=?，，則M∩N= 。

錯(cuò)解：M∩N=?

分析：此題混淆了集合的元素和集合的子集的概念，M、N是分別由A，B的真子集構(gòu)成的集合，因而M、N的元素都是集合，顯然?既是M又是N的元素。

正解：M∩N={?}

（作者單位：山東省棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)職業(yè)中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校）endprint