馬德忠

談及“直觀”，似乎與數(shù)學(xué)格格不入，因?yàn)閺乃鼈兊亩x就可知一二：“直觀”是指通過(guò)與客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)和判斷，而數(shù)學(xué)則是一門(mén)邏輯性強(qiáng)的、推理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科。然而就在看似“格格不入”情況下，2011年版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》卻將它們完美地糅合在一起，并生成一個(gè)嶄新的名詞——“幾何直觀”，可以說(shuō)這個(gè)名詞是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的十大核心概念中的重要一員，它的出現(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對(duì)幾何圖形本身的研究。曾如弗萊登塔爾所言：“幾何直觀的出現(xiàn)，讓我們?cè)谧疃痰臅r(shí)間內(nèi)，最有成效地把握‘什么可能重要、什么可能有意義、什么可能最接近的，并能幫助我們?cè)谡n題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”

一、理解幾何直觀概念的誕生，可以幫助我們從另一層面理解數(shù)學(xué)

“幾何直觀”，是一個(gè)新鮮話題，想要真切地了解它的內(nèi)涵，還得從它的上級(jí)科目?jī)?nèi)容——“直觀”說(shuō)起：直觀這一詞匯早已出現(xiàn)，并在不同國(guó)度、不同人群里有著不同的解釋，《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》是這樣解釋的：“用感官直接接受，直接觀察。”在心理學(xué)家的心目中：“直觀是從感覺(jué)到的具體對(duì)象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的能力?！痹跀?shù)學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家們把“直觀”明確為 “從感覺(jué)的具體的對(duì)象背后，發(fā)現(xiàn)抽象的，理想的（狀態(tài)）的能力?！薄?/p>

綜上所述：直觀是一種能力，一種能夠透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)的能力，一種能夠看出事物之間相互關(guān)聯(lián)的能力。那么這種能力是否可以延伸到數(shù)學(xué)領(lǐng)域？是否可以幫助我們更好地解決問(wèn)題？答案是肯定的?！皫缀沃庇^”的誕生，就是讓我們更好地借助這種能力把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，從而幫助我們更好地探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)事物發(fā)展的軌跡。換句話說(shuō)，幾何直觀就是借助見(jiàn)到的（或想象出來(lái)的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知和整體把握。

二、把握幾何直觀的表現(xiàn)形式，可以幫助我們從更多角度呈現(xiàn)數(shù)學(xué)

雖說(shuō)“幾何直觀”的概念是最近提出的，但關(guān)于“幾何直觀”的探究卻早已在進(jìn)行，伽利略就曾有過(guò)這樣一段表述：“展現(xiàn)在我們眼前的宇宙像一本用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫(xiě)成的大書(shū)，如果不掌握數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認(rèn)識(shí)不清?！边@或許就是“幾何直觀”中的符號(hào)直觀的妙用吧。當(dāng)“幾何直觀”這一概念被正式明確后，為了更好地研究，很多數(shù)學(xué)家就對(duì)其形式作了全面的闡述與建構(gòu)。其中，較為權(quán)威的是孔凡哲和史寧中的觀點(diǎn)，他們認(rèn)為，在中小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，幾何直觀通過(guò)表現(xiàn)為四種形式：實(shí)物直觀、簡(jiǎn)約符號(hào)直觀、圖形直觀、替代物直觀。

例如圖形直觀。在小學(xué)數(shù)學(xué)空間位置的領(lǐng)域中，圖形直觀是運(yùn)用得最多的一種策略，它是指對(duì)實(shí)物的“動(dòng)手操作”或“圖形運(yùn)動(dòng)操作”來(lái)獲取對(duì)圖形的直觀把握。首先談實(shí)物的動(dòng)手操作，實(shí)物的動(dòng)手操作是數(shù)學(xué)教學(xué)的常見(jiàn)手段，具體的包括折紙、展開(kāi)、折疊、切截、拼擺、密鋪等操作活動(dòng)，這種策略能幫學(xué)生積累豐富的、幾何的直觀體驗(yàn)，從而幫助學(xué)生獲得幾何體和平面圖形的“物象”儲(chǔ)備，并生成經(jīng)驗(yàn)。而圖形的運(yùn)動(dòng)操作，就是通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、反射等形式的運(yùn)動(dòng)，將數(shù)學(xué)中一些難以理解的概念形象化，如連“點(diǎn)”成“線”，鋪“線”成“面”，壘“面”成“體”，等等。總之借助圖形直觀操作可以幫助我們從更多角度呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘，可以幫助學(xué)生在腦海里生成事物來(lái)龍去脈的軌跡，可以幫助學(xué)生直觀把握問(wèn)題的解決之道。

三、鉆研幾何直觀的教育價(jià)值，可以幫助我們從更深層面教育學(xué)生

盡管經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)“洗禮”的人們都擅長(zhǎng)邏輯推理，但在他們的思維體系中，依舊需要一種“簡(jiǎn)潔”的方法來(lái)解決問(wèn)題，依舊需要一種“簡(jiǎn)潔”的模式來(lái)實(shí)現(xiàn)思維的嫁接，此時(shí)，幾何直觀，就常常成為他們的首選。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究幾何直觀的教育意義就顯得尤為重要。

首先可以借助幾何直觀幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。例如，利用直觀圖式可以幫助學(xué)生更好地理解正方形邊長(zhǎng)和面積的關(guān)系；借助數(shù)軸可以幫助學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)小數(shù)；借助“線路圖”可以更好地幫助學(xué)生理解行程問(wèn)題……幾何直觀在數(shù)學(xué)中的作用，曾如拉格朗日所說(shuō)：“當(dāng)代數(shù)與幾何分道揚(yáng)鑣時(shí)，它們的進(jìn)展就會(huì)變得異常緩慢，它們的應(yīng)用空間就會(huì)變得異常狹窄?！币虼耍覀?cè)诮虒W(xué)時(shí)，要充分利用直觀資源，培養(yǎng)學(xué)生用幾何直觀描述、分析問(wèn)題的意識(shí)，從而幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)。 其次可以借助幾何直觀更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維方式。 數(shù)學(xué)常常以“直觀—形式—直觀”模式來(lái)解決問(wèn)題，可以這樣說(shuō)，幾何直觀就是這一模式中的重要一環(huán)，離開(kāi)了幾何直觀，不僅談不上問(wèn)題解決，更談不上思維的發(fā)展與進(jìn)步。例如，小數(shù)意義的講解，只要充分利用直觀圖，就能幫助學(xué)生洞察和想象其內(nèi)部的信息，就能幫助他們體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，就能幫助他們從非形式化的直覺(jué)中形成數(shù)學(xué)的思維能力。

總之，幾何直觀是一個(gè)特別需要關(guān)注的話題，我們只有努力地將其內(nèi)化成學(xué)生的內(nèi)在素養(yǎng)，方能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的道路越走越遠(yuǎn)。

（責(zé)編 金 鈴）endprint