胡千里 李大美

（1.清華大學(xué) 數(shù)學(xué)系，北京 100084；2.武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢 430072）

混沌同步在物理，化學(xué)以及保密通訊，生物信息等方面有著潛在的廣泛應(yīng)用［1－5].人們已經(jīng)提出一系列不同的同步概念，如完全同步，相同步，滯后同步，廣義同步等等［6－9]；同時(shí)，許多同步方法也不斷被提出，如非線性控制方法［9]，自適應(yīng)方法［14－15]，線性耦合方法等等.在所有的混沌同步方法中，投影同步是很引人注意的一種同步方法.這種同步方法可以保持一些拓?fù)湫再|(zhì)，如 Lyapunov指數(shù)和分形維數(shù)［10－12].另一種有趣的方法是自適應(yīng)同步；最近提出的一種稱為自適應(yīng)投影同步的方法［13－15]，結(jié)合了投影同步和自適同步的優(yōu)勢，已引起廣泛關(guān)注.

本文研究廣義Lorenz系統(tǒng)這樣一個(gè)比較特殊的系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步問題［16－17].文章的組織安排如下：第2部分簡要介紹一下廣義Lorenz系統(tǒng)；第3部分和第4部分分別考慮系統(tǒng)參數(shù)完全未知和部分未知情形下的自適應(yīng)投影同步問題.第5部分展示數(shù)值仿真結(jié)果，最后對本文的成果進(jìn)行簡要總結(jié).

1 廣義Lorenz系統(tǒng)

2002年，Celikovsky和Chen提出了廣義Lorenz系統(tǒng)（GLS）及其標(biāo)準(zhǔn)型的概念［16]，GLS有如下形式

這里a＞0，b＞0，a，b，c，d為系統(tǒng)參數(shù).

系統(tǒng)（2）是系統(tǒng)（1）的一個(gè)特殊形式.另外，在系統(tǒng)（2）中，如果令d＝－1，（2）成為著名的Lorenz系統(tǒng)；如果令c＝d－a，（2）則對應(yīng)于Chen系統(tǒng)；而當(dāng)c＝0時(shí)，（2）正好是Lü系統(tǒng)；如果取a＝25α＋10，b＝（2）成為統(tǒng)一系統(tǒng).所以系統(tǒng)（2）包含了經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)族.下面討論系統(tǒng)（2）含有未知參數(shù)情況下的自適應(yīng)投影同步問題.

2 參數(shù)完全未知情況下的自適應(yīng)投影同步

令系統(tǒng)（2）為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，受控的響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)如下

這里，Ui（t）（i＝1，2，3）為控制器，a，b，c，d是未知參數(shù)，但是我們假定a＞0，b＞0.

定義系統(tǒng)（2）和（3）的同步誤差為：ei＝y(tǒng)i－θxi，（i＝1，2，3），這里θ∈R是尺度因子，可以控制投影比例.可以很容易得到誤差系統(tǒng)

設(shè)αa，αc，αd是未知參數(shù)a，c，d的估計(jì)值；k是一個(gè)正實(shí)數(shù).那么有如下定理：

定理1 對于任意的正實(shí)數(shù)a，b和任意的實(shí)數(shù)c，d，如果控制器Ui（t）（i＝1，2，3）設(shè)計(jì)為如下任意一種形式：

這里αa，αc，αd滿足

那么系統(tǒng)（2）和（3）對于任意尺度因子θ∈R和任意初值將會(huì)實(shí)現(xiàn)全局自適應(yīng)投影同步.

證明：僅以（5）為例，其他的證明過程類似.把（5）代入（4），系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

V1沿著系統(tǒng)（10）的全導(dǎo)數(shù)為

這意味著V1是半負(fù)定的.這里e＝（e1，e2，e3）T，P＝diag｛k1，k2，k3｝.

顯然，e1，e2，e3，αa－a，αc－c，αd－d∈L∞成立，從誤差 系 統(tǒng) （10），得 到e1，e2，e3∈L∞；再 由V1＝ －eTPe，有

這里λmin（P）是矩陣P的最小特征值.由上式顯然可知e1，e2，e3∈L2.因此由 Barbalat引理，我們有當(dāng)t→∞時(shí)，e1（t），e2（t），e3（t）→0.這意味著系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)（3）將趨于全局投影同步.

3 部分參數(shù)未知情況下的自適應(yīng)投影同步

仍令（2）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，受控響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

這里

是控制器，a，b，c，d已知，但是ar，br，cr，dr未知.ui是非線性控制器.a，b為正實(shí)數(shù)；α1，α2，α3，α4是ar，br，cr，dr的估計(jì)值；k為任意的一個(gè)正數(shù).

定義同步誤差ei＝y(tǒng)i－θxi（i＝1，2，3），這里θ∈R仍為尺度因子.很容易得到誤差系統(tǒng)

定理2 對于任意的正實(shí)數(shù)a，b以及任意實(shí)數(shù)c，d，如果非線性控制器設(shè)計(jì)為

以及自適應(yīng)率滿足

那么系統(tǒng)（2）和（12）將對任意的尺度因子θ∈R實(shí)現(xiàn)全局投影同步，同時(shí)系統(tǒng)（12）中的未知參數(shù)可以被識(shí)別出來，更進(jìn)一步，可以得到＝dr.

證明：構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

系統(tǒng)（12）沿著系統(tǒng)（13）的全導(dǎo)數(shù)為

式中，ui和用（14）和（15）代入，得到

類似于定理1的證明過程，由Barbalat引理，得到t→∞時(shí)ei→0.接下來，我們證明（t）＝dr成立.

注1：如果ar，br，cr，dr的選取不同于a，b，c，d，通過定理2可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)洳坏葍r(jià)的兩個(gè)系統(tǒng)間的同步，在數(shù)值模擬部分我們會(huì)給出實(shí)例.

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證上述方法的有效可靠性，任取初值（x1（0），x2（0），x3（0））＝（1，4，2），（y1（0），y2（0），y3（0））＝（5，1，－3），（e1（0），e2（0），e3（0））＝Y(jié)（0）－θX（0），k＝1進(jìn)行數(shù)值模擬.

4.1 定理1的數(shù)值例子

假設(shè)未知參數(shù)的實(shí)際值為：a＝10，b＝8／3，c＝28，d＝－1以及αa，αc，αd的初值為αa（0）＝5，αc（0）＝3，αd（0）＝2，那么系統(tǒng)（2）正是典型的 Lorenz系統(tǒng)，令θ＝－2，驅(qū)動(dòng)響應(yīng)相圖，同步誤差的演變曲線圖以及自適應(yīng)率αa，αc，αd的演變圖顯示在圖1中.由圖1，我們發(fā)現(xiàn)（2）和（3）很快地就實(shí)現(xiàn)了投影同步，自適應(yīng)率收斂到一個(gè)常值.

圖1 當(dāng)a＝10，b＝8／3，c＝28，d＝－1及θ＝－2時(shí)，驅(qū)動(dòng)響應(yīng)相圖，同步誤差的演變曲線圖以及自適應(yīng)率αa，αc，αd演變

圖2和圖3是另外兩個(gè)例子.兩個(gè)例子均說明通過我們設(shè)計(jì)的控制器可以實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步，自適應(yīng)率均趨于一固定的常數(shù).

圖3 當(dāng)a＝35，b＝3，c＝－7，d＝28及θ＝2時(shí)，驅(qū)動(dòng)響應(yīng)相圖，同步誤差的演變曲線圖以及自適應(yīng)率αa，αc，αd演變

4.2 定理2的數(shù)值例子

取a＝10，b＝8／3，c＝28，d＝－1，假設(shè)未知參數(shù)的實(shí)際值為：ar＝35，br＝3，cr＝－7，dr＝28.對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的初值設(shè)為：α1（0）＝5，α2（0）＝3，α3（0）＝2，α4（0）＝－4，此時(shí)系統(tǒng)（2）正是典型的Lorenz系統(tǒng)，（12）是受控的Chen系統(tǒng).令θ＝4，驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差以及參數(shù)估計(jì)值的演化曲線如圖4所示.

圖4 當(dāng)a＝10，b＝8／3，c＝28，d＝－1及ar＝35，br＝3，cr＝－7，dr＝28，θ＝4時(shí)，驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差以及參數(shù)估計(jì)值的演化曲線

從圖4可知，系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)（12）同樣可以很快實(shí)現(xiàn)投影同步，也即當(dāng)t→∞時(shí)，yi→4xi，同時(shí)我們有＝28.

圖5模擬了Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)之間的同步.這里a＝35，b＝3，c＝－7，d＝28，未知參數(shù)實(shí)際值為：ar＝36，br＝3，cr＝0，dr＝20，尺度因子θ＝－2，從圖5可以看出，系統(tǒng)（2）和（12）可以很快地實(shí)現(xiàn)投影同步，也即當(dāng)t→∞時(shí)，yi→－2xi，同時(shí)＝20.也就是說未知參數(shù)在同步的同時(shí)被識(shí)別出來了.

圖5 當(dāng)a＝35，b＝3，c＝－7，d＝28及ar＝36，br＝3，cr＝0，dr＝20，θ＝－2時(shí)，驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差以及參數(shù)估計(jì)值的演化曲線

5 結(jié) 論

本文研究了廣義Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步問題，分別考慮了參數(shù)完全未知以及部分未知情形下的自適應(yīng)投影同步問題，設(shè)計(jì)了一系列的控制器，這些控制器均可以保證驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)投影同步.這里的控制器明顯比文獻(xiàn)［13－15]的簡單.這些結(jié)論具有廣泛應(yīng)用前景，有望在混沌保密通信等諸多方面得到應(yīng)用.

［1]Chua L，Itah M.Chaos synchronization in Chua＇s circuits［J].J.Circuits Syst.Comput.，1993（3）：93－108.

［2]Chua L，Yang T，Zhong G.Adaptive synchronization of Chua＇s oscillators［J].Int.J.Bifur.Chaos，1996（6）：189－201.

［3]Chen G，Dong X，F(xiàn)rom chaos to order.Singapore［M].World Scientific，1998.

［4]Li D，Wang P，Lu J.Some synchronization strategies for a four－scroll chaotic system［J].Chaos，Solitons ＆Fractals，2009，42：2553－2559.

［5]Wang P，Li D，Hu Q.Bounds of the hyper－chaotic Lorenz－Stenflo system［J].Commun.Nonlinear Sci.Numer.Simulat.，2010，15：2514－2520.

［6]Boccaletti S，Kurths J，Osipov G，Valladares DL，Zhou CS.The synchronization of chaotic systems［J].Phys.Rep.，2002，366：1－101.

［7]Rsenblum M，Pikovsky A，Kurths J.Phase synchronization of chaotic oscillators［J].Phys.Rev.Lett..1996，76：1804－1807.

［8]Zhang X，Liao X，Li C.Impulsive control，complete and lag synchronization of unified chaotic system with continuous periodic switch［J].Chaos，Solitons ＆Fractals，2005，26：845－854.

［9]Yang T，Chua L.Generalized synchronization of chaos via linear transformations［J].Int.J.Bifurcation Chaos，1999，9：215－219.

［10]Li C，Chen G.Estimating the Lyapunov Exponents of Discrete Systems［J].Chaos，2004，14：343－346.

［11]Li C，Xia X.On the bound of the Lyapunov exponents for continuous systems［J].Chaos，2004，14：557－561.

［12]Yan J，Li C.Generalized projective synchronization of a unified chaotic system［J].Chaos，Solitons ＆ Fractal，2005，26：1119－1124.

［13]Li R，Xu W，Li S.Adaptive generalized projective synchronization in different chaotic systems based on parameter identification［J].Physics Lett.A ，2007，367：199－206.

［14]Hu M，Xu Z，Adaptive projective synchronization of unified chaotic systems and its application to secure communication［J].Chinese Phys.，2007，16：3231－3237.

［15]Wang D，Han P.Adaptive generalized functional synchronization of chaotic systems with unknown parameters［J].Chinese Phys.B，2008，17：3603－3608.

［16]Celikovsky S，Chen G.On a generalized Lorenz canonical form of chaotic systems［J].Int.J.Bifur.Chaos，2002，12 ：1789－1812.

［17]Wang P，Li D，Wu X，LüJ，Yu X.Ultimate bound estimation of a class of high dimensional quadratic autonomous dynamical systems［J].Int.J.Bifur.Chaos，2011，21：2679－2694.