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        含有未知參數(shù)的廣義Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步

        2012-08-02 03:41:00胡千里李大美
        關(guān)鍵詞:估計(jì)值實(shí)數(shù)廣義

        胡千里 李大美

        (1.清華大學(xué) 數(shù)學(xué)系,北京 100084;2.武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,武漢 430072)

        混沌同步在物理,化學(xué)以及保密通訊,生物信息等方面有著潛在的廣泛應(yīng)用[1-5].人們已經(jīng)提出一系列不同的同步概念,如完全同步,相同步,滯后同步,廣義同步等等[6-9];同時(shí),許多同步方法也不斷被提出,如非線性控制方法[9],自適應(yīng)方法[14-15],線性耦合方法等等.在所有的混沌同步方法中,投影同步是很引人注意的一種同步方法.這種同步方法可以保持一些拓?fù)湫再|(zhì),如 Lyapunov指數(shù)和分形維數(shù)[10-12].另一種有趣的方法是自適應(yīng)同步;最近提出的一種稱為自適應(yīng)投影同步的方法[13-15],結(jié)合了投影同步和自適同步的優(yōu)勢,已引起廣泛關(guān)注.

        本文研究廣義Lorenz系統(tǒng)這樣一個(gè)比較特殊的系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步問題[16-17].文章的組織安排如下:第2部分簡要介紹一下廣義Lorenz系統(tǒng);第3部分和第4部分分別考慮系統(tǒng)參數(shù)完全未知和部分未知情形下的自適應(yīng)投影同步問題.第5部分展示數(shù)值仿真結(jié)果,最后對本文的成果進(jìn)行簡要總結(jié).

        1 廣義Lorenz系統(tǒng)

        2002年,Celikovsky和Chen提出了廣義Lorenz系統(tǒng)(GLS)及其標(biāo)準(zhǔn)型的概念[16],GLS有如下形式

        這里a>0,b>0,a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù).

        系統(tǒng)(2)是系統(tǒng)(1)的一個(gè)特殊形式.另外,在系統(tǒng)(2)中,如果令d=-1,(2)成為著名的Lorenz系統(tǒng);如果令c=d-a,(2)則對應(yīng)于Chen系統(tǒng);而當(dāng)c=0時(shí),(2)正好是Lü系統(tǒng);如果取a=25α+10,b=(2)成為統(tǒng)一系統(tǒng).所以系統(tǒng)(2)包含了經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)族.下面討論系統(tǒng)(2)含有未知參數(shù)情況下的自適應(yīng)投影同步問題.

        2 參數(shù)完全未知情況下的自適應(yīng)投影同步

        令系統(tǒng)(2)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),受控的響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)如下

        這里,Ui(t)(i=1,2,3)為控制器,a,b,c,d是未知參數(shù),但是我們假定a>0,b>0.

        定義系統(tǒng)(2)和(3)的同步誤差為:ei=y(tǒng)i-θxi,(i=1,2,3),這里θ∈R是尺度因子,可以控制投影比例.可以很容易得到誤差系統(tǒng)

        設(shè)αa,αc,αd是未知參數(shù)a,c,d的估計(jì)值;k是一個(gè)正實(shí)數(shù).那么有如下定理:

        定理1 對于任意的正實(shí)數(shù)a,b和任意的實(shí)數(shù)c,d,如果控制器Ui(t)(i=1,2,3)設(shè)計(jì)為如下任意一種形式:

        這里αa,αc,αd滿足

        那么系統(tǒng)(2)和(3)對于任意尺度因子θ∈R和任意初值將會(huì)實(shí)現(xiàn)全局自適應(yīng)投影同步.

        證明:僅以(5)為例,其他的證明過程類似.把(5)代入(4),系統(tǒng)(4)變?yōu)?/p>

        構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

        V1沿著系統(tǒng)(10)的全導(dǎo)數(shù)為

        這意味著V1是半負(fù)定的.這里e=(e1,e2,e3)T,P=diag{k1,k2,k3}.

        顯然,e1,e2,e3,αa-a,αc-c,αd-d∈L∞成立,從誤差 系 統(tǒng) (10),得 到e1,e2,e3∈L∞;再 由V1= -eTPe,有

        這里λmin(P)是矩陣P的最小特征值.由上式顯然可知e1,e2,e3∈L2.因此由 Barbalat引理,我們有當(dāng)t→∞時(shí),e1(t),e2(t),e3(t)→0.這意味著系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)將趨于全局投影同步.

        3 部分參數(shù)未知情況下的自適應(yīng)投影同步

        仍令(2)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),受控響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

        這里

        是控制器,a,b,c,d已知,但是ar,br,cr,dr未知.ui是非線性控制器.a,b為正實(shí)數(shù);α1,α2,α3,α4是ar,br,cr,dr的估計(jì)值;k為任意的一個(gè)正數(shù).

        定義同步誤差ei=y(tǒng)i-θxi(i=1,2,3),這里θ∈R仍為尺度因子.很容易得到誤差系統(tǒng)

        定理2 對于任意的正實(shí)數(shù)a,b以及任意實(shí)數(shù)c,d,如果非線性控制器設(shè)計(jì)為

        以及自適應(yīng)率滿足

        那么系統(tǒng)(2)和(12)將對任意的尺度因子θ∈R實(shí)現(xiàn)全局投影同步,同時(shí)系統(tǒng)(12)中的未知參數(shù)可以被識(shí)別出來,更進(jìn)一步,可以得到=dr.

        證明:構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

        系統(tǒng)(12)沿著系統(tǒng)(13)的全導(dǎo)數(shù)為

        式中,ui和用(14)和(15)代入,得到

        類似于定理1的證明過程,由Barbalat引理,得到t→∞時(shí)ei→0.接下來,我們證明(t)=dr成立.

        注1:如果ar,br,cr,dr的選取不同于a,b,c,d,通過定理2可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)洳坏葍r(jià)的兩個(gè)系統(tǒng)間的同步,在數(shù)值模擬部分我們會(huì)給出實(shí)例.

        4 數(shù)值仿真

        為了驗(yàn)證上述方法的有效可靠性,任取初值(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,4,2),(y1(0),y2(0),y3(0))=(5,1,-3),(e1(0),e2(0),e3(0))=Y(jié)(0)-θX(0),k=1進(jìn)行數(shù)值模擬.

        4.1 定理1的數(shù)值例子

        假設(shè)未知參數(shù)的實(shí)際值為:a=10,b=8/3,c=28,d=-1以及αa,αc,αd的初值為αa(0)=5,αc(0)=3,αd(0)=2,那么系統(tǒng)(2)正是典型的 Lorenz系統(tǒng),令θ=-2,驅(qū)動(dòng)響應(yīng)相圖,同步誤差的演變曲線圖以及自適應(yīng)率αa,αc,αd的演變圖顯示在圖1中.由圖1,我們發(fā)現(xiàn)(2)和(3)很快地就實(shí)現(xiàn)了投影同步,自適應(yīng)率收斂到一個(gè)常值.

        圖1 當(dāng)a=10,b=8/3,c=28,d=-1及θ=-2時(shí),驅(qū)動(dòng)響應(yīng)相圖,同步誤差的演變曲線圖以及自適應(yīng)率αa,αc,αd演變

        圖2和圖3是另外兩個(gè)例子.兩個(gè)例子均說明通過我們設(shè)計(jì)的控制器可以實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步,自適應(yīng)率均趨于一固定的常數(shù).

        圖3 當(dāng)a=35,b=3,c=-7,d=28及θ=2時(shí),驅(qū)動(dòng)響應(yīng)相圖,同步誤差的演變曲線圖以及自適應(yīng)率αa,αc,αd演變

        4.2 定理2的數(shù)值例子

        取a=10,b=8/3,c=28,d=-1,假設(shè)未知參數(shù)的實(shí)際值為:ar=35,br=3,cr=-7,dr=28.對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的初值設(shè)為:α1(0)=5,α2(0)=3,α3(0)=2,α4(0)=-4,此時(shí)系統(tǒng)(2)正是典型的Lorenz系統(tǒng),(12)是受控的Chen系統(tǒng).令θ=4,驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差以及參數(shù)估計(jì)值的演化曲線如圖4所示.

        圖4 當(dāng)a=10,b=8/3,c=28,d=-1及ar=35,br=3,cr=-7,dr=28,θ=4時(shí),驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差以及參數(shù)估計(jì)值的演化曲線

        從圖4可知,系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(12)同樣可以很快實(shí)現(xiàn)投影同步,也即當(dāng)t→∞時(shí),yi→4xi,同時(shí)我們有=28.

        圖5模擬了Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)之間的同步.這里a=35,b=3,c=-7,d=28,未知參數(shù)實(shí)際值為:ar=36,br=3,cr=0,dr=20,尺度因子θ=-2,從圖5可以看出,系統(tǒng)(2)和(12)可以很快地實(shí)現(xiàn)投影同步,也即當(dāng)t→∞時(shí),yi→-2xi,同時(shí)=20.也就是說未知參數(shù)在同步的同時(shí)被識(shí)別出來了.

        圖5 當(dāng)a=35,b=3,c=-7,d=28及ar=36,br=3,cr=0,dr=20,θ=-2時(shí),驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差以及參數(shù)估計(jì)值的演化曲線

        5 結(jié) 論

        本文研究了廣義Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步問題,分別考慮了參數(shù)完全未知以及部分未知情形下的自適應(yīng)投影同步問題,設(shè)計(jì)了一系列的控制器,這些控制器均可以保證驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)投影同步.這里的控制器明顯比文獻(xiàn)[13-15]的簡單.這些結(jié)論具有廣泛應(yīng)用前景,有望在混沌保密通信等諸多方面得到應(yīng)用.

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