胡千里 李大美
(1.清華大學(xué) 數(shù)學(xué)系,北京 100084;2.武漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,武漢 430072)
混沌同步在物理,化學(xué)以及保密通訊,生物信息等方面有著潛在的廣泛應(yīng)用[1-5].人們已經(jīng)提出一系列不同的同步概念,如完全同步,相同步,滯后同步,廣義同步等等[6-9];同時,許多同步方法也不斷被提出,如非線性控制方法[9],自適應(yīng)方法[14-15],線性耦合方法等等.在所有的混沌同步方法中,投影同步是很引人注意的一種同步方法.這種同步方法可以保持一些拓撲性質(zhì),如 Lyapunov指數(shù)和分形維數(shù)[10-12].另一種有趣的方法是自適應(yīng)同步;最近提出的一種稱為自適應(yīng)投影同步的方法[13-15],結(jié)合了投影同步和自適同步的優(yōu)勢,已引起廣泛關(guān)注.
本文研究廣義Lorenz系統(tǒng)這樣一個比較特殊的系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步問題[16-17].文章的組織安排如下:第2部分簡要介紹一下廣義Lorenz系統(tǒng);第3部分和第4部分分別考慮系統(tǒng)參數(shù)完全未知和部分未知情形下的自適應(yīng)投影同步問題.第5部分展示數(shù)值仿真結(jié)果,最后對本文的成果進行簡要總結(jié).
2002年,Celikovsky和Chen提出了廣義Lorenz系統(tǒng)(GLS)及其標(biāo)準(zhǔn)型的概念[16],GLS有如下形式
這里a>0,b>0,a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù).
系統(tǒng)(2)是系統(tǒng)(1)的一個特殊形式.另外,在系統(tǒng)(2)中,如果令d=-1,(2)成為著名的Lorenz系統(tǒng);如果令c=d-a,(2)則對應(yīng)于Chen系統(tǒng);而當(dāng)c=0時,(2)正好是Lü系統(tǒng);如果取a=25α+10,b=(2)成為統(tǒng)一系統(tǒng).所以系統(tǒng)(2)包含了經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)族.下面討論系統(tǒng)(2)含有未知參數(shù)情況下的自適應(yīng)投影同步問題.
令系統(tǒng)(2)為驅(qū)動系統(tǒng),受控的響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計如下
這里,Ui(t)(i=1,2,3)為控制器,a,b,c,d是未知參數(shù),但是我們假定a>0,b>0.
定義系統(tǒng)(2)和(3)的同步誤差為:ei=y(tǒng)i-θxi,(i=1,2,3),這里θ∈R是尺度因子,可以控制投影比例.可以很容易得到誤差系統(tǒng)
設(shè)αa,αc,αd是未知參數(shù)a,c,d的估計值;k是一個正實數(shù).那么有如下定理:
定理1 對于任意的正實數(shù)a,b和任意的實數(shù)c,d,如果控制器Ui(t)(i=1,2,3)設(shè)計為如下任意一種形式:
這里αa,αc,αd滿足
那么系統(tǒng)(2)和(3)對于任意尺度因子θ∈R和任意初值將會實現(xiàn)全局自適應(yīng)投影同步.
證明:僅以(5)為例,其他的證明過程類似.把(5)代入(4),系統(tǒng)(4)變?yōu)?/p>
構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)
V1沿著系統(tǒng)(10)的全導(dǎo)數(shù)為
這意味著V1是半負定的.這里e=(e1,e2,e3)T,P=diag{k1,k2,k3}.
顯然,e1,e2,e3,αa-a,αc-c,αd-d∈L∞成立,從誤差 系 統(tǒng) (10),得 到e1,e2,e3∈L∞;再 由V1= -eTPe,有
這里λmin(P)是矩陣P的最小特征值.由上式顯然可知e1,e2,e3∈L2.因此由 Barbalat引理,我們有當(dāng)t→∞時,e1(t),e2(t),e3(t)→0.這意味著系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(3)將趨于全局投影同步.
仍令(2)作為驅(qū)動系統(tǒng),受控響應(yīng)系統(tǒng)設(shè)計
這里
是控制器,a,b,c,d已知,但是ar,br,cr,dr未知.ui是非線性控制器.a,b為正實數(shù);α1,α2,α3,α4是ar,br,cr,dr的估計值;k為任意的一個正數(shù).
定義同步誤差ei=y(tǒng)i-θxi(i=1,2,3),這里θ∈R仍為尺度因子.很容易得到誤差系統(tǒng)
定理2 對于任意的正實數(shù)a,b以及任意實數(shù)c,d,如果非線性控制器設(shè)計為
以及自適應(yīng)率滿足
那么系統(tǒng)(2)和(12)將對任意的尺度因子θ∈R實現(xiàn)全局投影同步,同時系統(tǒng)(12)中的未知參數(shù)可以被識別出來,更進一步,可以得到=dr.
證明:構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)
系統(tǒng)(12)沿著系統(tǒng)(13)的全導(dǎo)數(shù)為
式中,ui和用(14)和(15)代入,得到
類似于定理1的證明過程,由Barbalat引理,得到t→∞時ei→0.接下來,我們證明(t)=dr成立.
注1:如果ar,br,cr,dr的選取不同于a,b,c,d,通過定理2可以實現(xiàn)拓撲不等價的兩個系統(tǒng)間的同步,在數(shù)值模擬部分我們會給出實例.
為了驗證上述方法的有效可靠性,任取初值(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,4,2),(y1(0),y2(0),y3(0))=(5,1,-3),(e1(0),e2(0),e3(0))=Y(jié)(0)-θX(0),k=1進行數(shù)值模擬.
假設(shè)未知參數(shù)的實際值為:a=10,b=8/3,c=28,d=-1以及αa,αc,αd的初值為αa(0)=5,αc(0)=3,αd(0)=2,那么系統(tǒng)(2)正是典型的 Lorenz系統(tǒng),令θ=-2,驅(qū)動響應(yīng)相圖,同步誤差的演變曲線圖以及自適應(yīng)率αa,αc,αd的演變圖顯示在圖1中.由圖1,我們發(fā)現(xiàn)(2)和(3)很快地就實現(xiàn)了投影同步,自適應(yīng)率收斂到一個常值.
圖1 當(dāng)a=10,b=8/3,c=28,d=-1及θ=-2時,驅(qū)動響應(yīng)相圖,同步誤差的演變曲線圖以及自適應(yīng)率αa,αc,αd演變
圖2和圖3是另外兩個例子.兩個例子均說明通過我們設(shè)計的控制器可以實現(xiàn)驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步,自適應(yīng)率均趨于一固定的常數(shù).
圖3 當(dāng)a=35,b=3,c=-7,d=28及θ=2時,驅(qū)動響應(yīng)相圖,同步誤差的演變曲線圖以及自適應(yīng)率αa,αc,αd演變
取a=10,b=8/3,c=28,d=-1,假設(shè)未知參數(shù)的實際值為:ar=35,br=3,cr=-7,dr=28.對未知參數(shù)進行估計的初值設(shè)為:α1(0)=5,α2(0)=3,α3(0)=2,α4(0)=-4,此時系統(tǒng)(2)正是典型的Lorenz系統(tǒng),(12)是受控的Chen系統(tǒng).令θ=4,驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差以及參數(shù)估計值的演化曲線如圖4所示.
圖4 當(dāng)a=10,b=8/3,c=28,d=-1及ar=35,br=3,cr=-7,dr=28,θ=4時,驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差以及參數(shù)估計值的演化曲線
從圖4可知,系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(12)同樣可以很快實現(xiàn)投影同步,也即當(dāng)t→∞時,yi→4xi,同時我們有=28.
圖5模擬了Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)之間的同步.這里a=35,b=3,c=-7,d=28,未知參數(shù)實際值為:ar=36,br=3,cr=0,dr=20,尺度因子θ=-2,從圖5可以看出,系統(tǒng)(2)和(12)可以很快地實現(xiàn)投影同步,也即當(dāng)t→∞時,yi→-2xi,同時=20.也就是說未知參數(shù)在同步的同時被識別出來了.
圖5 當(dāng)a=35,b=3,c=-7,d=28及ar=36,br=3,cr=0,dr=20,θ=-2時,驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的誤差以及參數(shù)估計值的演化曲線
本文研究了廣義Lorenz系統(tǒng)的自適應(yīng)投影同步問題,分別考慮了參數(shù)完全未知以及部分未知情形下的自適應(yīng)投影同步問題,設(shè)計了一系列的控制器,這些控制器均可以保證驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)實現(xiàn)投影同步.這里的控制器明顯比文獻[13-15]的簡單.這些結(jié)論具有廣泛應(yīng)用前景,有望在混沌保密通信等諸多方面得到應(yīng)用.
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