王興國

(溫州大學(xué)甌江學(xué)院，浙江溫州 325035)

半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)及其性質(zhì)

王興國

(溫州大學(xué)甌江學(xué)院，浙江溫州 325035)

定義了兩類廣義不變擬凸函數(shù)——p?預(yù)不變擬凸函數(shù)和半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)，探討了半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)的性質(zhì)．所得結(jié)果比有關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)論更具一般性．

半p?不變凸集；半(p, r)?預(yù)不變凸函數(shù)；半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)

函數(shù)的凸性在數(shù)學(xué)規(guī)劃中有著重要的作用，有許多研究致力于引入各種廣義凸函數(shù)、廣義擬凸函數(shù)、廣義偽凸函數(shù)來推廣函數(shù)的凸性，以擴(kuò)大其應(yīng)用范圍．文獻(xiàn)[1]提出了預(yù)不變凸函數(shù)．文獻(xiàn)[2]提出了預(yù)不變擬凸函數(shù)，并給出了它的某些性質(zhì)及運用．最近，文獻(xiàn)[3]在定義了p?不變凸集的基礎(chǔ)上提出了(p, r)?預(yù)不變凸函數(shù)，它是預(yù)不變凸函數(shù)的推廣．文獻(xiàn)[4]提出了半連通集，并在此基礎(chǔ)上提出了半預(yù)不變凸函數(shù)的概念．進(jìn)一步地，文獻(xiàn)[5]又定義了一類廣義凸集——半p?不變凸集（它是半連通集、p?不變凸集的推廣），并結(jié)合半預(yù)不變凸函數(shù)和(p, r)?預(yù)不變凸函數(shù)，定義了一類廣義凸函數(shù)——半(p, r)?預(yù)不變凸函數(shù)，同時討論了它的性質(zhì)和它在極值問題中的應(yīng)用．

受文獻(xiàn)[3-5]的啟發(fā)，筆者對文獻(xiàn)[2]的預(yù)不變擬凸函數(shù)進(jìn)一步研究，給出其推廣——p?預(yù)不變擬凸函數(shù)、半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)．鑒于半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)是p?預(yù)不變擬凸函數(shù)的推廣，本文僅探討半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)的性質(zhì)及其在數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中的應(yīng)用，所得結(jié)果較文獻(xiàn)[2]、[6]的相關(guān)結(jié)論更具有一般性．

1 預(yù)備知識

則稱S是關(guān)于η的半p?不變凸集．

定義 2[5]設(shè)S?的半p?不變凸集，若函數(shù)f:S→R在 u∈S處對任意x∈S，都有：

則稱f是S上u處關(guān)于?的預(yù)不變擬凸函數(shù)．若對任意x, u∈S，以上關(guān)系式成立，則稱f是S上關(guān)于?的預(yù)不變擬凸函數(shù)．

2 p?預(yù)不變擬凸函數(shù)和半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)

二是，以關(guān)心對方的方式來表示自己的內(nèi)疚之心。例如，在路上不小心踩到了一位陌生人的腳，我們通常會馬上對受害者說“對不起，你沒事吧？”這就是在道歉的同時，關(guān)心受傷害者的情況，從而減輕自己的錯誤程度，從心理上尋求一點的慰藉。

考慮上述定義，本文給出如下的一類廣義擬凸函數(shù)的定義：

注4：容易看出任何一個半(p, r)?預(yù)不變凸函數(shù)都是半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)．

證明：因為f:S→R是S上關(guān)于η的半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)，對p≠0，有：

易證，在此證略．

則稱f是S上u處關(guān)于?的p?預(yù)不變擬凸函數(shù)．若對任意x, u∈S，以上關(guān)系式成立，則稱f是S上關(guān)于?的p?預(yù)不變擬凸函數(shù)．以上關(guān)系式成立，則稱f是S上關(guān)于η的半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)．

一個年紀(jì)已經(jīng)過了六十的老人扛了一對大傀儡從后海走來，到了場坪，四下望人，似乎很明白這不是玩傀儡的地方，但莫可奈何的停頓下來。

3 半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)的性質(zhì)

定理 2 若f是半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)，則對任意α∈R，α>0，αf是半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)．

定理1 若f是半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)，則對任意α∈R，f+α是半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)．

重癥患者低磷血癥發(fā)病率高，低血磷組的醫(yī)院生存率較正常血磷水平組低，是重癥患者 預(yù)后指標(biāo)之一，及時發(fā)現(xiàn)并糾正低磷血癥應(yīng)該受到廣大醫(yī)師的重視。

注3：當(dāng)p=0時，p?預(yù)不變擬凸函數(shù)就是文獻(xiàn)[2]中的預(yù)不變擬凸函數(shù)；當(dāng)p=0時，半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)我們可稱其為半預(yù)不變擬凸函數(shù)．

定理3 設(shè)S?nR，若f:S→R是S上關(guān)于η的半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)，g: R→R是一個非減函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)gg: R→R是S上關(guān)于η的半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)．

銳騏6雖然是一款皮卡車型，但是在外觀設(shè)計上也費盡心思?！肮谲娧鼛健鼻案駯?，粗壯有力，安全感十足。橫向鍍鉻連接LED日間行車燈，整體營造出時尚硬朗的前臉造型。飽滿有力的全側(cè)腰線，配合16寸銀色涂裝鋁合金輪轂，使得銳騏6更具力量感。

1）f的嚴(yán)格局部極小點都是嚴(yán)格全局極小點；

2）f的全局極小點集是關(guān)于η的半p?不變凸集．

因此，M是關(guān)于η的半p?不變凸集．

⑧柳永《卜算子》(江楓漸老)：雙調(diào)89字，上闋8句45字4仄韻，下闋8句44字5仄韻。句式：4464635346。5544635345。

注5：定理6表明，半p?預(yù)不變擬凸函數(shù)在數(shù)學(xué)規(guī)劃的極值問題上具有重要的意義．

[1] Ben-Israel A, Mond B. What is invexity? [J]. Journal of Australian Marhemarical Society: Series B, 28: 1-9.

[2] Yang X M, Yang X Q, Teo K L. Characterazition and applications of prequasi-invex functions [J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2001, 110(3): 645-668.

[3] Antczak T. (p, r)?Invex sets and functions [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2001, 263: 355-379.

[4] Yang X Q, Chen G Y. A class of nonconvex functions and pre-variational inequalities [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1992, 169(2): 359-373.

[5] 焦合華. 半(p, r)?預(yù)不變凸函數(shù)[J]. 廣西民族大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2007, 13(1): 52-56.

[6] 王興國. p?擬凸函數(shù)及其相關(guān)的幾個問題[J]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報: 自然科學(xué)版, 2005, 31(1): 45-47.

Semi-p-prequasi-invexity Functions and Their Properties

WANG Xingguo

(Oujiang College, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Two classes of generalized quasi-invexity functions (p-prequasi-invexity fnctions and semi-pprequasi-invexity functions) were defined in this paper. Then some properties of the semi-p-prequasi-invexity functions were discussed. The results have wider scope of application than those of related articles.

Semi-p-invexity Set; Semi-(p,r)-pre-invexity Function; Semi-p-prequasi-invexity Function

O221.2

：A

：1674-3563(2010)04-0006-05

10.3875/j.issn.1674-3563.2010.04.002 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2009-12-22

王興國(1968- )，男，浙江溫嶺人，副教授，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)規(guī)劃，數(shù)學(xué)教育