理論基礎(chǔ)是函數(shù)的凸性. 關(guān)于函數(shù)的凸性，我們利用二階導(dǎo)數(shù)判斷，當(dāng)f″(x)≤0在區(qū)間M上成立時(shí)，f(x)在區(qū)間M上為上凸函數(shù)；當(dāng)f″(x)≥0在區(qū)間M上成立時(shí)，f(x)在區(qū)間M上為下凸函數(shù).圖1這樣，我們得到了在[0,1]上的不等關(guān)系故原不等式成立，取等條件為a=b=c=d=1.點(diǎn)評(píng)本題是利用割線放縮的一道典型例題，首先，整體的放縮方向是“往大放”，同時(shí)考慮到函數(shù)的凸性是“下凸”，于是想到“封口”處理. 從圖1來(lái)看，直線和函數(shù)是“割線”關(guān)系，故名割線放縮.

等式得證.由f的凸性及αbα?1(b?a)≤bα?aα≤αaα?1(b?a)，有式（8）的右邊不等式得證.注1 式（8）的左邊不等式是式(4)的左邊不等式的加強(qiáng).事實(shí)上，由貝努利不等式，對(duì)任意有xα≤1+α(x?1)≤1?αx，故有注2 式(8)的右邊不等式與式(4)的右邊不等式各有強(qiáng)弱.事實(shí)上，當(dāng)αaα?1≥bα?1時(shí)，有定理4 設(shè)α∈(0,1]，0利用微分中值定理，存在ξ∈(a,b)，，使得(i)當(dāng)f(b)≥pf(a)時(shí)，有a≤c1≤d，c2≥b，由引

多不等式的存在與凸性有關(guān).集合的凸性的定義如下:設(shè)X是實(shí)數(shù)域R上向量空間V上的一個(gè)集合.如果?x,y∈X, ?λ,μ∈R+，且λ+μ=1,有λx+μy∈X,則稱X是一個(gè)凸集.凸體(非空緊凸集)的幾何性質(zhì)導(dǎo)致了許多不等式的產(chǎn)生,如Brunn-Minkowski不等式和Blashcke-Santalo不等式,它們分別與兩個(gè)凸體的和與積的體積有關(guān).后來(lái),凸性被擴(kuò)展到具有不同運(yùn)算的不同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),如偏序集、格、度量空間.設(shè)X是一個(gè)凸集,f:X→R.如果?x,y∈X,

言通過(guò)研究函數(shù)凸性的梯度刻畫，獲得梯度向量映射的單調(diào)性，反過(guò)來(lái)可作為函數(shù)凸性的有力判據(jù).隨著函數(shù)凸性的不斷推廣以及相應(yīng)的梯度刻畫結(jié)論的獲得，單調(diào)映射的概念也不斷地被推廣并加以研究，這不僅使得廣義凸性的刻畫更加豐富，同時(shí)也極大豐富了優(yōu)化理論內(nèi)容 .1976 年，Karamardian［1］提出偽單調(diào)性；1990 年，Karamardian和 Schaible［2］提出擬單調(diào)性，并給出了偽凸性與偽單調(diào)性、擬凸性與擬單調(diào)性之間的等價(jià)性.以此為開端，國(guó)內(nèi)外學(xué)者依

ch空間X的廣義凸性模。定義2[7]函數(shù)x,y∈S(X)},α∈(0,1)被稱為是Banach空間的廣義光滑模。定義3設(shè)M={(x,y)∈S(X)×S(X),?fx∈S(X*),fx(x)=‖x‖,fx(y)=0}。這里的α便是廣義凸性模，廣義光滑模中的α。當(dāng)g′(s)存在時(shí)文[8]的結(jié)果表明因而g′(t)=N±(x+ty,y)=fx+ty(y),證閉。2 主要內(nèi)容在給出了一些說(shuō)明與基本定義之后，下面便是對(duì)廣義凸性模，廣義光滑模與特征函數(shù)關(guān)系的探討，于是我

套教材都對(duì)函數(shù)的凸性進(jìn)行了定義.文獻(xiàn)[1]基于區(qū)間上任意兩點(diǎn)的中點(diǎn)來(lái)定義函數(shù)的凸性，即所謂中點(diǎn)凸，而文獻(xiàn)[2]則是基于任意兩點(diǎn)的凸組合來(lái)定義函數(shù)的凸性.筆者在講授高等數(shù)學(xué)[1]時(shí)，一直認(rèn)為兩種定義是等價(jià)的，但并沒有去深究在什么條件下等價(jià)，為什么等價(jià).近來(lái)，筆者想探究這兩種凸性定義是否等價(jià)的愿望愈發(fā)強(qiáng)烈，于是對(duì)兩種凸性的定義進(jìn)行了認(rèn)真研究.為了討論方便，如果沒有特別指明，下文所述區(qū)間I既可以是閉區(qū)間也可以是開區(qū)間，區(qū)間I0表示去掉區(qū)間I的端點(diǎn)后形成的開區(qū)間，

都數(shù)是限定在一個(gè)凸性一致的區(qū)間,比如利用琴生不等式來(lái)解決問(wèn)題[1-2],對(duì)于不限定在一個(gè)凸性一致的區(qū)間的問(wèn)題甚少有文章研究.本文主要研究《數(shù)學(xué)通報(bào)》的問(wèn)題2530 的一般化,解決了三元立方和在一個(gè)非凸性一致區(qū)間的最大值問(wèn)題.問(wèn)題(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2020年2 月號(hào)問(wèn)題2530[3])已知a,b,c ∈[?2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3的最大值.供題人張?jiān)迫A構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)(x?2)(x+1)2=x3?3x?2,作者利用這個(gè)函數(shù)恒不大于0,得到a3+

函數(shù)的連續(xù)性以及凸性性質(zhì)，結(jié)合Slater約束品性條件，建立了參數(shù)不等式系統(tǒng)解集的相關(guān)閉性性質(zhì)。關(guān)鍵詞：參數(shù)不等式系統(tǒng);Slater約束品性;連續(xù)性;凸性定理：考慮參數(shù)不等式系統(tǒng)，其中，均為實(shí)值函數(shù)且參數(shù)。我們記向量并且上述不等式系統(tǒng)的解集為。假設(shè)上述參數(shù)不等式系統(tǒng)的Slater約束品性成立，即是說(shuō)，，則以下結(jié)論成立：（1）若均為連續(xù)函數(shù)，則有。（2）若均為凸函數(shù)，則有，由此可得。證明：（1）任取，由可知，存在序列，使得。因此，我們有。注意到，均為連續(xù)函數(shù)

0)近年來(lái)，隨著凸性理論在優(yōu)化領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，涌現(xiàn)出豐碩的研究成果。文獻(xiàn)[1-6]提出了(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，并對(duì)包含此類凸性的多目標(biāo)、分式規(guī)劃等問(wèn)題的最優(yōu)性條件與對(duì)偶性定理進(jìn)行了研究。受上述文獻(xiàn)啟示，作者結(jié)合文獻(xiàn)[7-8]中提出的廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸性，討論了一類多目標(biāo)半無(wú)限分式規(guī)劃的Mond-Weir型對(duì)偶問(wèn)題。1 基本概念定義1[1]稱函數(shù)C:X×X×Rn→R在Rn上關(guān)于第三個(gè)變?cè)峭沟? 若?(x,x0)∈X×X, ?y1,y2∈

文獻(xiàn)提出的新廣義凸性概念基礎(chǔ)上，針對(duì)包含此類廣義凸性的分式規(guī)劃的對(duì)偶問(wèn)題進(jìn)行了探討，得到的結(jié)果豐富了廣義凸性和最優(yōu)化的有關(guān)理論，可進(jìn)一步研究其Wolfe型對(duì)偶性、鞍點(diǎn)等內(nèi)容。參考文獻(xiàn)：[1]YUAN D H， LIU X L， CHINCHULUUN A， et al. Nondifferentiable minimax fractional programming problems with （C，α，ρ，d）-convexity [J]. Journa

判斷多元二次函數(shù)凸性的方法。2 基本概念定義1.2.1 凸函數(shù)：設(shè)函數(shù)f：D?Rn→R，其中D為凸集，對(duì)任意的x，y∈D及任意的實(shí)數(shù)λ∈[0，1]都有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，稱f為D上的凸函數(shù)。定義1.2.2 嚴(yán)格凸函數(shù)：設(shè)函數(shù)f：D?Rn→R，其中D為凸集，對(duì)任意的x，y∈D，x≠y及任意的實(shí)數(shù)λ∈[0，1]都有f(λx+(1-λ)y)3 定理定理1.3.1 設(shè)f在凸集D?Rn上一階連續(xù)可微，則f在D上為凸函數(shù)的充要條件

標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題中各種凸性及其推廣也被廣泛應(yīng)用。例如，文獻(xiàn)[2]將文獻(xiàn)[1]引入的不變凸性理論推廣為I型和II型不變凸性；文獻(xiàn)[3]對(duì)文獻(xiàn)[2]進(jìn)行了進(jìn)一步推廣和應(yīng)用；后來(lái)文獻(xiàn)[4]推廣了各種I型不變凸性，并提出了向量型不變凸性等相關(guān)概念，引入了V-I型、偽V-I型、擬V-I型等廣義不變凸函數(shù)，并在這些廣義I型的不變凸性條件下討論了關(guān)于多目標(biāo)規(guī)劃的一些對(duì)偶性定理和最優(yōu)性條件；文獻(xiàn)[5]在對(duì)稱可微的非光滑情況下把各種V-I型函數(shù)進(jìn)行了推廣，并給出了V-Is型等一些

論涉及這類新廣義凸性的一類多目標(biāo)半無(wú)限規(guī)劃的最優(yōu)性條件。關(guān)鍵詞：多目標(biāo)規(guī)劃;半無(wú)限規(guī)劃;廣義（C，α，ρ，d）K，θ-凸函數(shù);最優(yōu)性中圖分類號(hào)：O221.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A隨著多目標(biāo)最優(yōu)化和半無(wú)限規(guī)劃的研究發(fā)展，凸性理論逐步被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)研究范疇中，且取得了許多有意義的重要成果。文獻(xiàn)[1]引入了（F，α，ρ，d）-凸函數(shù)，文獻(xiàn)[2]對(duì)其進(jìn)一步推廣，得到了（C，α，ρ，d）-凸函數(shù)，并研究了涉及這類凸性的最優(yōu)性條件和對(duì)偶結(jié)果。文獻(xiàn)[3-7]對(duì)于涉及（C，

，故由y=xn的凸性，fn(s)+fn(t)=sn+tn≤dn+1．另一方面，而d∈(0,1)，故dn+1從而fn(s)+fn(t)=s+t≥sn+tn=fn(s)+fn(t).由二項(xiàng)式定理，fn(s+t)-fn(t)=故fn(s)+fn(t)fn(s)=sn≤s，而同(iii)可得fn(s+t)>s+t，故fn(s)+fn(t)因此fn(s)≤1+(s-1)=s，≥fn(s)+fn(t)．展開完全平方得>s≥sn=fn(s)，故fn(s)+fn(t)fn

規(guī)劃的研究發(fā)展，凸性理論逐步被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)研究范疇中，且取得了許多有意義的重要成果。文獻(xiàn)[1]引入了(F,α,ρ,d)-凸函數(shù)，文獻(xiàn)[2]對(duì)其進(jìn)一步推廣，得到了(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，并研究了涉及這類凸性的最優(yōu)性條件和對(duì)偶結(jié)果。文獻(xiàn)[3-7]對(duì)于涉及(C,α,ρ,d)-凸性的多目標(biāo)規(guī)劃、多目標(biāo)分式規(guī)劃等問(wèn)題的最優(yōu)性和對(duì)偶理論進(jìn)行了研究。作者在此基礎(chǔ)上，結(jié)合局部漸近錐、K-方向?qū)?shù)[8]和K-次微分[9]，提出廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)，并

創(chuàng)新性價(jià)格機(jī)制;凸性;最低準(zhǔn)入創(chuàng)新性中圖分類號(hào)?F019.1; F270; F273.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼?AAbstract?It has not received attention how the economic system compensates self-control， from those current studies which focus on the axiomatization foundation and decision appl

.關(guān)于模糊映射的凸性、擬凸性及B-凸性,一些文獻(xiàn)已有討論.1994年,Noor[1]提出預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)的概念,并討論了模糊數(shù)值函數(shù)的預(yù)不變凸性；2016年,Gong等[2]在定義n維模糊數(shù)空間偏序關(guān)系的基礎(chǔ)上,對(duì)n維模糊映射的凸性進(jìn)行了系統(tǒng)研究,但對(duì)n維模糊映射廣義凸性的本質(zhì)研究還需進(jìn)一步深入.本文利用n維凸模糊數(shù)值函數(shù)的一些研究，首先提出n維模糊數(shù)值函數(shù)的s-不變凸、嚴(yán)格s-不變凸、s-預(yù)不變凸和半嚴(yán)格s-預(yù)不變凸的概念，其次利用n維模糊數(shù)值函數(shù)依

具，即修正久期和凸性。在對(duì)麥考利久期、修正久期、凸性進(jìn)行概念介紹時(shí)，同時(shí)也介紹了修正久期和凸性的適用情況，并運(yùn)用實(shí)例分析進(jìn)行說(shuō)明。關(guān)鍵詞 利率類債券；麥考利久期；修正久期；凸性當(dāng)投資者投資利率類債券時(shí)，總是希望獲得收益，而唯恐價(jià)格發(fā)生不利變動(dòng)導(dǎo)致自己的資產(chǎn)價(jià)值受損。市場(chǎng)上的基準(zhǔn)利率是債券價(jià)格的晴雨表，而基準(zhǔn)利率是不穩(wěn)定的，使得投資者的資產(chǎn)價(jià)值經(jīng)常發(fā)生變動(dòng)，這就是投資者面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)。投資者需要了解到自己面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)的大小，即債券價(jià)格相對(duì)于利率變化的敏感性

反映初等對(duì)稱函數(shù)凸性的一個(gè)一般性定理.【關(guān)鍵詞】初等對(duì)稱函數(shù)；不等式；凸性初等對(duì)稱函數(shù)與對(duì)稱平均的課題開啟于G.H.Hardy與J.E.Littlewood的名著[1].多年來(lái)，各國(guó)學(xué)者對(duì)初等對(duì)稱函數(shù)精細(xì)性質(zhì)的進(jìn)一步探討始終未停止過(guò).早在20世紀(jì)50年代末期，M.Marcus、J.B.McLeod等就有過(guò)十分深入的研究[2]-[3].朱宗毅在文[4]中再度給出一個(gè)新穎的不等式，此不等式刻畫了初等對(duì)稱函數(shù)的凸性，筆者發(fā)現(xiàn)，此結(jié)果可以做一種實(shí)質(zhì)性推廣.一個(gè)猜測(cè)

nach 空間的凸性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006, 45(1): 17-19.LI Y J, LIN J Z. Bilinear continuous functional and convexity of Banach spaces [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2006, 45(1): 17-19.[9] 華柳斌，黎永錦. 2-賦范空間和擬Bana

規(guī)劃的研究發(fā)展，凸性理論逐步被廣泛地應(yīng)用到各個(gè)研究范疇中，且取得了許多有意義的重要成果。文獻(xiàn)[1]引入了(F,α,ρ,d)-凸函數(shù)，文獻(xiàn)[2]對(duì)之推廣，得到了(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，并研究了涉及這類凸性的最優(yōu)性條件和對(duì)偶結(jié)果。文獻(xiàn)[3-7]對(duì)于涉及(C,α,ρ,d)-凸性的多目標(biāo)規(guī)劃、多目標(biāo)分式規(guī)劃等問(wèn)題的最優(yōu)性和對(duì)偶理論進(jìn)行了研究。受此啟發(fā)，結(jié)合局部Lipschitz函數(shù)、局部漸近錐K、K-方向?qū)?shù)和K-次微分，提出了一類廣義(C,α,ρ,d)K,θ

及其Schur冪凸性何 燈，李云杰（福建省福清第三中學(xué)，福建 福清 350315）定義了兩個(gè)新的雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)的復(fù)合平均，運(yùn)用分析方法，研究了這兩個(gè)平均的Schur冪凸性，給出了判定的充要條件.Schur凸性；Schur冪凸性；雙曲函數(shù)；反雙曲函數(shù)0 引言2003年，《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》11031問(wèn)題定義了如下“奇特”平均并提出一個(gè)相關(guān)的不等式猜想：?jiǎn)栴}11031設(shè)x，y＞0，平均M（x，y）＝lnN（x，y），其中求證或否定M（x，y）≤G（x，y）.

間點(diǎn)的G-預(yù)不變凸性下得到了G-預(yù)不變凸函數(shù)的一個(gè)判定定理，然后將已有文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行了推廣，得到了在中間點(diǎn)的強(qiáng)G-預(yù)不變凸性下強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)的兩個(gè)重要的判定定理。強(qiáng)G-預(yù)不變凸函數(shù)；嚴(yán)格G-預(yù)不變凸函數(shù)；半嚴(yán)格G-預(yù)不變凸函數(shù)0 引言在研究最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，凸性和廣義凸性起著很重要的作用。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者將凸函數(shù)不斷進(jìn)行推廣，得到了一系列的廣義凸函數(shù)及其相關(guān)成果，具體見參考文獻(xiàn)[1-8],這些文獻(xiàn)詳細(xì)介紹了不變凸性、預(yù)不變凸性、強(qiáng)預(yù)不變凸性、G-預(yù)不

物偏微分方程解的凸性麻希南(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230026)我們給出橢圓與拋物偏微分方程解或其水平集的凸性的一個(gè)文獻(xiàn)綜述.從三個(gè)經(jīng)典例子開始，然后介紹凸性研究的常用方法，最后給出幾個(gè)定量估計(jì)，其中注重與我個(gè)人研究有關(guān)的結(jié)果.偏微分方程解的凸性； 偏微分方程解的水平集的凸性； 常秩定理； 凸性定量估計(jì)1 凸性的研究歷史：三個(gè)經(jīng)典例子長(zhǎng)久以來(lái)偏微分方程解的幾何性態(tài)是偏微分方程研究的重要課題之一，橢圓與拋物偏微分方程解或其水平集的凸性是重要的研究對(duì)象

?強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸性與最優(yōu)化李 婷(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院,山西 太原 030031)考慮了一類重要的廣義凸函數(shù)-強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù),首先給出了強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)的一個(gè)性質(zhì),然后討論了強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù)分別在帶不等式約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題及多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題中的應(yīng)用,得到了一些最優(yōu)性結(jié)果.強(qiáng)擬α-預(yù)不變凸函數(shù);擬α-預(yù)不變凸函數(shù);非線性規(guī)劃;多目標(biāo)規(guī)劃凸性及廣義凸性在經(jīng)濟(jì)均衡、管理科學(xué)、對(duì)策論及數(shù)學(xué)規(guī)劃等理論中起著非常重要的作用.近年來(lái),對(duì)凸性和廣義凸性的研究已

亮張興摘要：介于凸性模與廣義凸性模具有對(duì)偶關(guān)系以及廣義凸性模有許多優(yōu)良性質(zhì)，為了研究是否存在與廣義凸性模具有對(duì)偶性質(zhì)的模、若存在這種模那么該模具有什么樣的性質(zhì)等問(wèn)題，作者從構(gòu)造與廣義凸性模具有對(duì)偶性質(zhì)的模入手，通過(guò)應(yīng)用Hahn，Banach定理找到光滑模的推廣形式并給出相應(yīng)的定義，在給出定義后，作者證明了作為光滑模推廣形式的廣義光滑模，其能夠精確的刻畫Banach空間的一致光滑性，并研究了廣義光滑模的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，最后作為應(yīng)用給出了Banach空間

430205)凸性及廣義凸性問(wèn)題已經(jīng)引起了數(shù)學(xué)工作者們極大的興趣與關(guān)注，并取得了很多重要結(jié)果，但是由于許多理論問(wèn)題尚處于發(fā)展之中，很多結(jié)論仍有待進(jìn)一步完善，對(duì)凸性的認(rèn)識(shí)還需進(jìn)一步系統(tǒng)化。文章充分運(yùn)用文獻(xiàn)研究法，在翻閱大量國(guó)內(nèi)外的參考文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，給出線性拓?fù)淇臻g中函數(shù)的凸性定義及等價(jià)定義，進(jìn)一步完善多元凸函數(shù)的性質(zhì)及判定等問(wèn)題，從而豐富了凸函數(shù)的理論。凸集；多元凸函數(shù)；凸性近2個(gè)世紀(jì)，凸函數(shù)的研究主要有以下幾個(gè)方面： 其一，凸函數(shù)的應(yīng)用研究.Jensen

凸函數(shù)以來(lái)，不變凸性在最優(yōu)化理論中扮演了很重要的角色．對(duì)于約束非線性優(yōu)化問(wèn)題，不變凸性假設(shè)條件是臨界點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn)的充分條件，但不是必要條件．文獻(xiàn)［3］提出了一個(gè)更弱的概念，稱之為 KKT-不變凸性，他證明了該條件是Kuhn-Tucker點(diǎn)成為最優(yōu)點(diǎn)的充分必要條件．文獻(xiàn)［4-6］將KKT-不變凸性概念及最優(yōu)性結(jié)果推廣到了多目標(biāo)規(guī)劃中，并刻畫了弱有效解．近年來(lái)，文獻(xiàn)［7］提出一種新的可微函數(shù)——G-不變凸函數(shù)．他的研究表明，大多不變凸函數(shù)的全局最優(yōu)性質(zhì)同樣對(duì)于G

01)等差數(shù)列的凸性和對(duì)數(shù)凸性石煥南1, 李 明2(1. 北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院 電氣信息系, 北京 100011; 2. 中國(guó)醫(yī)科大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室, 沈陽(yáng) 110001)研究了等差數(shù)列的凸性和對(duì)數(shù)凸性. 進(jìn)而利用受控理論證明了一些等差數(shù)列不等式.等差數(shù)列; 凸性; 對(duì)數(shù)凸性; 不等式; 受控本文研究等差數(shù)列的凸性和對(duì)數(shù)凸性并利用受控理論證明一些等差數(shù)列不等式.設(shè){ai}是公差為d的等差數(shù)列, 則其通項(xiàng)ai=a1+(i?1)d, 前n項(xiàng)之和在本文中, Rn和

開始對(duì)局部凸空間凸性的研究，之后，文獻(xiàn)［2］進(jìn)一步研究了嚴(yán)格凸的條件。1989年，文獻(xiàn) ［3］中給出與文 ［2］中嚴(yán)格凸等價(jià)的定義，同時(shí)首次給出局部凸空間光滑性的定義，并建立嚴(yán)格凸性與光滑性的對(duì)偶關(guān)系，隨后又在文獻(xiàn)［4］中給出局部凸空間一致凸性的概念。2003年，文獻(xiàn) ［5］利用X上定義的一族半范數(shù)P，重新給出偶對(duì) (X，P)的幾種凸性和光滑性的定義，討論了幾種凸性 (光滑性)之間的關(guān)系，并建立重要的對(duì)偶關(guān)系。2010年，文獻(xiàn)［6］將幾種凸性和光滑性推廣為

了嚴(yán)格r-預(yù)不變凸性和半嚴(yán)格r-預(yù)不變凸性的等價(jià)條件.r-預(yù)不變凸函數(shù);嚴(yán)格r-預(yù)不變凸函數(shù);半嚴(yán)格r-預(yù)不變凸函數(shù);1 引言在數(shù)學(xué)規(guī)劃、最優(yōu)化等領(lǐng)域中,凸性及廣義凸性起著十分重要的作用.因此,對(duì)凸性及廣義凸性的研究具有十分重要的意義.1999年,文獻(xiàn)[1]引入了r-不變凸函數(shù)的定義并討論了它的一些性質(zhì)特征.2005年,文獻(xiàn)[2]在預(yù)不變凸性和r-凸性的基礎(chǔ)上,結(jié)合r-不變凸函數(shù)的定義給出了r-(嚴(yán)格)預(yù)不變凸函數(shù)的定義.此外,文獻(xiàn)[3]引入了(半)嚴(yán)格預(yù)

函數(shù)的Schur凸性、Schur幾何凸性和Schur調(diào)和凸性,證明并推廣了一類條件不等式,并據(jù)此建立了某些單形不等式.Schur凸性;Schur調(diào)和凸性;Schur幾何凸性;條件不等式;單形DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.05.0011 定義和引理2 主要結(jié)果及其證明3 幾何應(yīng)用證明由定理3的(13)式可得證.致謝作者感謝張晗方教授給予本文的熱情幫助.[1]M arshall A W,Olkin I,A rnold B

]上的Schur凸性，并加細(xì)了上述不等式，其結(jié)果是：對(duì)于a,b∈[0,π/2]，a≤b，有：本文類比文獻(xiàn)[2]，定義如下兩個(gè)新的三角平均：當(dāng)a≠b時(shí)，(3)(4)當(dāng)a=b時(shí)，Mcos(a,b)=Mcot(a,b)=a。本文根據(jù)凸函數(shù)理論，證明Mcos在[0,π/2],上是Schur凸函數(shù)，Mcot(a,b)在,[0,π/2],上是Schur凹函數(shù)，并由此給出一個(gè)新的不等式鏈。2　定義和引理為證明本文的主要結(jié)果，需要如下定義和引理：對(duì)于x=(x1,x2,…x

平均的Schur凸性和Schur幾何凸性［J］.湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，24（2）：7～10.［3］李明，何燈.一個(gè)Seiffert平均的Schur凸性和Schur幾何凸性［J］.廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，31（3）：23～25.［4］Neuman E，Sàndor J.On the Schwab－Borchardt meanⅡ［J］.MathPannon，2006，17（1）：49～59.［5］Li Yong－min，Long B

幾何凸函數(shù)的幾何凸性，研究了幾何凸函數(shù)的判定條件和特性，通過(guò)構(gòu)建輔助凸函數(shù)的方法，建立了幾何凸函數(shù)的兩個(gè)充要條件，并給出了其應(yīng)用.幾何凸函數(shù)；充要條件；應(yīng)用MSC 2000：26D15 52A400 引言及預(yù)備知識(shí)函數(shù)的凸性在控制論、線性規(guī)劃、最優(yōu)化理論中有著廣泛的應(yīng)用.隨著應(yīng)用的深入，又推動(dòng)了函數(shù)凸性的研究，從而使函數(shù)凸性的研究成為一個(gè)熱點(diǎn).作為函數(shù)凸性研究的一個(gè)重要方面，如函數(shù)的Schur凸性，文獻(xiàn)［1］討論了一類對(duì)稱函數(shù)的Schur凸性和凹性，建立了

函數(shù)的Schur凸性問(wèn)題，這里0＜x1＜1，i＝1，2，...n.本文研究Ψ（x）的對(duì)偶形式：其中，0＜x1＜1，i＝1，2，...n. 我們將討論此函數(shù)的Schur凸性和Schur幾何凸性問(wèn)題，并利用“優(yōu)化理論”建立一些解析不等式。2 Ψk，n（x）的 Schur凸性為此，我們分兩種情形進(jìn)行討論。情形1. 當(dāng)k＝2時(shí)，直接計(jì)算可得取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)，可得于是，當(dāng)x1≠x2時(shí)，我們有情形2. 當(dāng)3≤k≤n－1時(shí) ，我們不難得到取對(duì)數(shù)并求導(dǎo)，得到當(dāng)x1≠x2時(shí) ，

研究了在各種不同凸性定義下n-集函數(shù)的多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性理論, Lai H C和Huang T Y[1]討論了廣義(ρ,θ)不變凸性下n-集函數(shù)的極小極大規(guī)劃的最優(yōu)性條件,近來(lái)Preda V等[2]研究了在廣義V一致不變凸性下多目標(biāo)規(guī)劃的重要理論.受文獻(xiàn)[1-2]的啟發(fā),本文提出了廣義type-I型的(ρ,ρ*,θ)-V不變凸函數(shù),并在這類凸性下給出了極小極大規(guī)劃的最優(yōu)性充分條件.考慮如下規(guī)劃:其中,Γn是對(duì)于給定集合X的σ代數(shù)Γ的n-折積, Fi,Gi,

合函數(shù)的偽凸和擬凸性。首先為偽凸函數(shù)、嚴(yán)格偽凸函數(shù)、擬凸函數(shù)、嚴(yán)格擬凸函數(shù)和強(qiáng)擬凸函數(shù)定義，然后為利用相關(guān)定義證明復(fù)合函數(shù)在一定條件下的偽凸性、嚴(yán)格偽凸性、擬凸性、嚴(yán)格擬凸性及強(qiáng)擬凸性，并給出了若干例子[5-8]。1 預(yù)備知識(shí)定義1[1]令X?Rn是一非空開凸集，f:X→R1是一可微的實(shí)值函數(shù)。1）如果對(duì)任意兩點(diǎn)x1，x2∈X，滿足時(shí)，都有f（x1）≥f（x2），則稱 f是X中的偽凸函數(shù)。2）如果對(duì)任意兩點(diǎn)x1，x2∈X，且 x1≠x2，滿足時(shí)，都有f（x

了模糊映射的一致凸性及其有關(guān)性質(zhì),給出了模糊映射為一致凸的幾個(gè)判別準(zhǔn)則,并得到了可微一致凸模糊映射在某一點(diǎn)達(dá)到最小值的充分條件.模糊數(shù);模糊映射;一致凸性1 引言隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃、數(shù)理經(jīng)濟(jì)和最優(yōu)控制論等學(xué)科發(fā)展的需要,凸性理論日益受到人們的重視.許多學(xué)者對(duì)模糊映射在凸集上的廣義凸性及其在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的應(yīng)用方面進(jìn)行了不少的研究工作,極大地豐富了數(shù)學(xué)規(guī)劃的研究?jī)?nèi)容.由于一致凸函數(shù)在非線性最優(yōu)化算法中經(jīng)常被應(yīng)用,因此對(duì)它的研究受到最優(yōu)化研究人員的重視,本文將要討論模糊