吳德昭 吳牮

【摘要】本文實質性地推廣了文獻[4]中的一個結果，得到反映初等對稱函數(shù)凸性的一個一般性定理.

【關鍵詞】初等對稱函數(shù)；不等式；凸性

初等對稱函數(shù)與對稱平均的課題開啟于G.H.Hardy與J.E.Littlewood的名著[1].多年來，各國學者對初等對稱函數(shù)精細性質的進一步探討始終未停止過.早在20世紀50年代末期，M.Marcus、J.B.McLeod等就有過十分深入的研究[2]-[3].朱宗毅在文[4]中再度給出一個新穎的不等式，此不等式刻畫了初等對稱函數(shù)的凸性，筆者發(fā)現(xiàn)，此結果可以做一種實質性推廣.

一個猜測：

若記

∑∞k=0T（k，s，n，a）xk=∏ni=1（1+aix）s，s>0，∏ni=1（1-aix）s，s<0，

其中T（k，s，n，a）與所謂的Whiteley平均值有關，文獻[5]指出，對于T（k，s，n，a）有類似于（7）式的不等式

[T（k，s，n，a+b）]1k≥[T（k，s，n，a）]1k+[T（k，s，n，b）]1k（s>0）.（8）

我們猜測，（8）式也可以做類似（6）式的非平凡拓廣，完成證明可能需要克服復雜的初等運算帶來的困擾.

【參考文獻】

[1]哈代GH，李特伍德JE，波利亞G.不等式[M].北京：科學出版社，1965.

[2]Marcus M，Lopes L.Inequalities for Symmetric functions and Hermitian matrices[J].Canad.J.Math，1957（9）：305-312.

[3]McLeod J B.On four inequalities in symmetric functions[J].Proc.Edinburgh Math.Soc.1959（11）：211-219.

[4]朱宗毅.一個對稱不等式的證明及其加強 [J].數(shù)學的實踐與認識，1988（1）：51-53.

[5]Mitrinovic D S，Vasic P M.分析不等式[M].趙漢賓，譯.南寧：廣西人民出版社，1986.