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        一道IMO試題的完善性推廣

        2016-11-16 17:39:28董正武
        新一代 2016年15期

        董正武

        摘 要:在《奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題》一書中摘錄如下一道IMO試題(見引例),這道試題是關(guān)于三元的不等式結(jié)論,筆者將這個不等式中的“元”的個數(shù)增加到任意正整數(shù)個,得到了相對完善的結(jié)論.

        關(guān)鍵詞:IMO;完善性推廣;不等式

        引例.設(shè)a,b,c為正實數(shù),且滿足abc=1,求證:++≥

        推廣1.設(shè)a,b,c,d為正實數(shù),且滿足abcd=1求證

        +++≥

        證明:將所證不等式的左邊記為N

        ∵abcd=1

        ∴N=+++

        由柯西不等式,有

        ∴[a(bc+bd+cd)+b(ac+ad+cd)+c(ab+ad+bd)+d(ab+ac+bc)]×N≥(bcd+acd+abd+abc)2,

        故N≥

        再利用算術(shù)-幾何平均不等式,得N≥×4=.

        推廣2.設(shè)a1,a2,a3,…,an為正實數(shù),且滿足ni=1ai=1求證:

        ni=1≥.

        證明:∵ni=1ai=1

        ∴N=ni=1

        =ni=1

        由柯西不等式,有ni=1ai(j≠ik≠i,jak)×N

        ≥(ni=1j≠i,aj)2

        ∴(n-1)(ni=1j≠i,aj)×N≥(ni=1j≠i,aj)2

        再利用算術(shù)-幾何平均不等式,得

        ∴.N≥(ni=1j≠i,aj)≥×n

        =

        其中1≤i,j,k,1≤n且i,j,k,l,n∈N+.

        推廣3.設(shè)a1,a2,a3,…,an為正實數(shù),且滿足ni=1ai=1,求證:

        ni=1≥.

        證明:將3中的a1分別替換為aim(i=1,2,…n),即可得到所要證明的結(jié)論.

        參考文獻(xiàn):

        [1]沈文選等.奧林匹克數(shù)學(xué)中的代數(shù)問題[M].湖南:湖南大學(xué)出版社,2009:187—187.

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