陳少元，宋振云

（1.湖北職業(yè)技術學院 公共課部，湖北 孝感 432000；2.湖北職業(yè)技術學院 信息技術學院，湖北 孝感 432000）

幾何凸函數的兩個充要條件及其應用*

陳少元1，宋振云2

（1.湖北職業(yè)技術學院 公共課部，湖北 孝感 432000；2.湖北職業(yè)技術學院 信息技術學院，湖北 孝感 432000）

利用幾何凸函數的幾何凸性，研究了幾何凸函數的判定條件和特性，通過構建輔助凸函數的方法，建立了幾何凸函數的兩個充要條件，并給出了其應用.

幾何凸函數；充要條件；應用

MSC 2000：26D15 52A40

0 引言及預備知識

函數的凸性在控制論、線性規(guī)劃、最優(yōu)化理論中有著廣泛的應用.隨著應用的深入，又推動了函數凸性的研究，從而使函數凸性的研究成為一個熱點.作為函數凸性研究的一個重要方面，如函數的Schur凸性，文獻［1］討論了一類對稱函數的Schur凸性和凹性，建立了若干不等式.文獻［2］在介紹了幾何凸函數的概念之后，著重介紹了兩種判定方法——函數變換法和導數判別法.文獻［3］進一步研究了幾何凸函數的算術運算性質和函數運算性質，給出了幾何凸函數的六種判別方法和幾何凸函數的Jensen型不等式.本文在上述研究的基礎上，應用凸函數的概念，根據幾何凸函數的定義，通過構建輔助凸函數，建立了幾何凸函數的兩個充要條件，并討論了其應用.

定義1［3～5］設f（x）是定義在區(qū)間I?R＋上的正值函數，若 ?x1，x2∈I，?t∈ ［0，1］，有：

則稱f（x）是區(qū)間I上的幾何凸函數.若不等式（1）中的不等號反向，則稱f（x）是區(qū)間I上的幾何凹函數.

1 定理及其證明

定理1 設I?R＋是有限區(qū)間，f∶I→R＋，則函數f（x）在I上是幾何凸（凹）函數的充分必要條件是：上的凸（凹）函數.

則

2 應用舉例

例1［3］設f（x）是定義在區(qū)間I∈R＋上的正值函數，且f（x）在I上具有二階導數，則f（x）為I上的幾何凸（凹）函數的充要條件是：

證明 僅證f（x）是I上的幾何凸函數的情形，同理可證f（x）是幾何凹函數的情形.

［1］褚玉明，夏衛(wèi)鋒，趙鐵洪.一類對稱函數的Schur凸性 ［J］.中國科學（A輯），2009，39（11）：1267～1277.

［2］張小明.幾何凸函數 ［M］.合肥：安徽大學出版社，2004：15～17，64.

［3］吳善和.幾何凸函數與琴生不等式 ［J］.數學的實踐與認識，2004，34（2）：155～163.

［4］張小明.幾何凸函數的幾個定理及其應用 ［J］.首都師范大學學報（自然科學版），2004，25（2）：11～13.

［5］楊露.關于幾何凸函數的不等式 ［J］.河北大學學報（自然科學版），2002，22（4）：325～327.

［6］華云.關于 GA－凸函數的 Hadamard型不等式 ［J］.大學數學，2008，24（2）：147～149.

［7］宋振云.幾何凸函數的幾何平均型Hadamard不等式 ［J］.首都師范大學學報（自然科學版），2011（4）：15.

MSC 2000：26D15 52A40

Two Necessary and Sufficient Conditions and Application of Geometry Convex Functions

CHEN Shao-yuan1，SONG Zhen-yun2
（1.Common Curricule Department，Hubei Vocational ＆Technological College，Xiaogan 432000，China；2.School of Information Technology，Hubei Vocational ＆Technological College，Xiaogan 432000，China）

By studying the judgment conditions and properties of geometry convex functions based on their geometry convex and by constructing the auxiliary convex function method，the authors set up two necessary and sufficient conditions of geometry convex functions，and bring forth their applications.

geometry convex function；necessary and sufficient condition；application

O174.13

A

1009-1734（2012）01-0006-04

2012-01-15

湖北省教育科學“十二五”規(guī)劃課題（2011B329）.

陳少元，副教授，從事高等數學教學及凸分析研究.