陳利國，羅 成，王 君

(1.內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010070;2.內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特 010021)

1977年，文獻 ［1］首次給出局部凸空間嚴格凸的定義，并開始對局部凸空間凸性的研究，之后，文獻［2］進一步研究了嚴格凸的條件。1989年，文獻 ［3］中給出與文 ［2］中嚴格凸等價的定義，同時首次給出局部凸空間光滑性的定義，并建立嚴格凸性與光滑性的對偶關(guān)系，隨后又在文獻［4］中給出局部凸空間一致凸性的概念。2003年，文獻 ［5］利用X上定義的一族半范數(shù)P，重新給出偶對 (X，P)的幾種凸性和光滑性的定義，討論了幾種凸性 (光滑性)之間的關(guān)系，并建立重要的對偶關(guān)系。2010年，文獻［6］將幾種凸性和光滑性推廣為k－凸性和k－光滑性［5］。但對于某些k－凸性和k－光滑性的研究卻很少。主要原因是未能體現(xiàn)k－凸性和k－光滑性的重要對偶性質(zhì)。2011年，文獻 ［7］給出局部凸空間的 (弱)中點局部一致凸性，并證明它與(弱)中點局部一致光滑性是一對對偶概念［8］。本文進一步研究局部凸空間的k－凸性和k－光滑性，首先，引入局部凸空間的 (弱)中點局部k－一致凸性和 (弱)中點局部k－一致光滑性這一對對偶概念，它們既是Banach空間相應(yīng)概念的嚴格推廣［9－10］，又是局部凸空間 (弱)中點局部一致凸性和 (弱)中點局部一致光滑性的自然推廣。然后，討論它們與其它k－凸性 (k－光滑性)之間的重要關(guān)系，推廣了Banach空間的某些結(jié)果。

下面是本文用到的一些預(yù)備知識和記號，以方便讀者能夠更快地了解本文。

下面給出本文中常用的幾個符號:

對任意p∈P，令Up(X){x∈X:p(x)≤1}，Sp(X)={x∈X:p(x)=1}，即Up(X)和Sp(X)分別表示半范空間(X，p)中的單位球和單位球面;

對任意的p∈P，x1，x2，…，xk+1∈Sp(X)，記

本文所用到的其它有關(guān)概念和記號，請參見文獻 ［5，7，11］。

1 相關(guān)概念

定義1［5］設(shè)B是(X，TP)中形如B{Cp}的絕對凸有界閉集，p∈P，若Cp=1，則稱B是(X，TP)中的p－正規(guī)集。(容易知道若B是p－正規(guī)集，則B?Up(X))。

定義4［6］稱偶對(X，P)為k－光滑的，若對任意p∈P，x∈Sp(X)，以及X中含有x的任一p－正規(guī)集B決定的X′上的半范數(shù)，當(dāng){f1，f2，…，fk+1}?∑p(x)時，有(f1，f2，…，fk+1)=0。

定義5［6］稱偶對(X，P)為k－強光滑(k－非常光滑)的，若對任意的p∈P，x∈Sp(X)，以及X中含有x的任一p－正規(guī)集B決定的X′上的半范數(shù)，當(dāng)?S(X′(p))，且滿足時，有。

(對任意F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k∈S(X″())，有

顯然，中點局部k－一致凸性蘊含著弱中點局部k－一致凸性。

注1k=1時定義6就是文獻 ［7］中 (弱)中點局部一致凸性。

(對任意F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k∈S(X″))，有

顯然，中點局部k－一致光滑性蘊含著弱中點局部k－一致光滑性。

注3k=1時定義7就是文獻 ［8］中 (弱)中點局部一致光滑性。

注4 若將P視為一范數(shù)‖·‖組成的單元素集，即(X，P)=(X，‖·‖)，定義6和定義7與文獻 ［9－10］中Banach空間相應(yīng)定義完全一致，也說明了本文給出的定義是Banach空間相應(yīng)定義的嚴格推廣。

2 (弱)中點局部k－一致凸性和(弱)中點局部k－一致光滑性的對偶性質(zhì)

定理1(i)若偶對(X′，P*)是中點局部k－一致凸的，則偶對(X，P)是中點局部k－一致光滑的。

(ii)若偶對(X′，P*)是弱中點局部k－一致凸的，則偶對(X，P)是弱中點局部k－一致光滑的。

證明 只證 (i)，(ii)類似。

另一方面，由文獻 ［12］引理2.1可知f∈(X′)。再由偶對 (X′，P*)是中點局部k－ 一致凸的。故，即偶對(X，P)是中點局部k－一致光滑的。

定理2 (i)若偶對(X′，P*)是中點局部k－一致光滑的，則偶對(X，P)是中點局部k一致凸的。

(ii)若偶對(X′，P*)是弱中點局部k－一致光滑的，則偶對(X，P)是弱中點局部k－一致凸的。

證明 只證 (i)，(ii)類似。

則B是X中的p－正規(guī)集且含有x和}(j=1，2，…，k+1)。

令是由B決定的X′上的半范數(shù)，則由文獻［12］引理2.1可知f∈(X′)。令

則易知B*是X′中的－正規(guī)集且含有f，且U(X′(p))?B*?(X′)。

另一方面，由于^x(f)=f(x)=1，所以∈(f)。由于

再由偶對 (X′，P)*是中點局部k－一致光滑的，類似與文獻 ［13］中可以證明U(X′(p))?U(X?))(在自然嵌入意義下)，故

從而證明了偶對(X，P)是中點局部k－一致凸的。

在凸性和光滑性理論的研究中，相互對偶的概念及其性質(zhì)的研究占據(jù)著重要的地位。因此，合理引進并研究某種凸性 (或光滑性)的對偶概念－光滑性 (或凸性)顯得尤為重要。定理1和定理2說明本文引進的局部凸空間的 (弱)中點局部k－一致凸性和 (弱)中點局部k－一致光滑性是一對對偶概念，進而說明引進的概念是合理的。

3 (弱)中點局部k－一致凸性和(弱)中點局部k－一致光滑性與其它k－凸性和k－光滑性之間的關(guān)系

下面結(jié)論是Banach空間相應(yīng)結(jié)果的推廣

定理3 若偶對(X，P)是k－強凸的，則偶對(X，P) 是中點局部k－一致凸的。

類似可以證明:

定理4若偶對X，()P是k－非常凸的，則偶對X，()P是弱中點局部k－一致凸的。

定理5若偶對X，()P是弱中點局部k－一致凸的，則偶對X，()P是k－嚴格凸的。

證明 對任意p∈P，當(dāng)x1，x2，…，xk+1∈X，且滿足

對 ?n∈N，j=1，2，…，k+1 ，令，顯然 {}(?Sp(X))是Tp有界序列 (j=1，2，…，k+1)。而且又由偶對(X，P)是弱中點局部k－一致凸的，所以

對任意的f1，f2，…，fk∈S(X′(p))，有

即Ap(x1，x2，…，xk+1)=0，這也就證明了偶對(X，P) 是k－嚴格凸的。

定理6若偶對(X，P)是k－強光滑的，則偶對(X，P)是中點局部k－一致光滑的。

證明 對任意的p∈P，x∈Sp(X) ，以及X中含x的任一p－正規(guī)集B決定的X′上的半范數(shù)，f∈ ∑p(x) ，S( X′(p) )，且。因為

類似可以證明:

定理7若偶對(X，P)是k－非常光滑的，則偶對(X，P)是弱中點局部k－一致光滑的。

定理8若偶對(X，P)是弱中點局部k－一致光滑的，則偶對(X，P)是k－光滑的。

證明 對任意p∈P，x∈Sp(X)，以及X中含有x的任一p－正規(guī)集B決定的X′上的半范數(shù)， 且 {f1，f2，…，fk+1}? ∑p(x)，令f=，則f∈∑p(x)。令，對任意n∈N=fi，顯然∈S(X′(p))(i=1，2，…，k+1)，顯然有由條件偶對(X，P)是弱中點局部k－一致光滑的，有Ap*B(f1，f2，…，fk+1)=0。即偶對 (X，P)是k－ 光滑的。

參考文獻:

［1］DIMINNIE C R，WHITE A G.Strict convexity in topological vector spaces［J］.Math Japonica，1977，22(1):49－56.

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