柏振宇, 柏傳志

(1.江蘇大學 數(shù)學科學學院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2.淮陰師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 江蘇 淮安 223300)

0 引言

不等式在幾乎所有數(shù)學分支中都是非常有用的工具.例如約束優(yōu)化問題中的可行集就是用不等式表示的.不等式在自然科學以及數(shù)學的所有分支處理各種各樣的問題中是不可或缺的工具.例如, 隨機分析和概率中的切比雪夫和馬爾可夫不等式[1],矩陣理論中的哈達瑪不等式[2],控制理論中的李雅普諾夫不等式,經(jīng)濟學中經(jīng)常用來處理均衡問題的變分不等式.

許多不等式的存在與凸性有關.集合的凸性的定義如下:

設X是實數(shù)域R上向量空間V上的一個集合.如果?x,y∈X, ?λ,μ∈R+，且λ+μ=1,有λx+μy∈X,則稱X是一個凸集.

凸體(非空緊凸集)的幾何性質(zhì)導致了許多不等式的產(chǎn)生,如Brunn-Minkowski不等式和Blashcke-Santalo不等式,它們分別與兩個凸體的和與積的體積有關.后來,凸性被擴展到具有不同運算的不同數(shù)學結(jié)構(gòu),如偏序集、格、度量空間.

設X是一個凸集,f:X→R.如果?x,y∈X, ?λ,μ∈R+且λ+μ=1,有

f(λx+μy)≤λf(x)+μf(y),

則稱f是一個凸函數(shù).

凸函數(shù)作為一類重要的函數(shù),具有很多重要的性質(zhì),特別是在函數(shù)極值、數(shù)學規(guī)劃、控制論等許多領域都有著廣泛的應用.對于一元凸函數(shù)的性質(zhì)和應用已經(jīng)有非常廣泛的研究[3-5].十九世紀末,Hermite 和 Hadamard在研究凸函數(shù)的性質(zhì)時,分別獨立地得到了下面的不等式.

若f:[a,b]→R是一個可積的凸函數(shù),則

(1)

稱為Hermite-Hadamard的不等式.函數(shù)凸性產(chǎn)生了大量不等式,Jensen不等式和Hermite-Hadamard不等式,都是基于凸性的最主要的兩個不等式.

理論和應用的發(fā)展導致了一類新的凸性,如B-凸性,p-凸性等.許多作者研究了經(jīng)典凸函數(shù)的多種不等式,并將其推廣到新的凸類型．到目前為止,一元凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式問題的研究,有著豐富的成果[6-7].本文將給出二元p-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式.

1 預備知識和引理

多元凸函數(shù)的研究是近幾十年形成和發(fā)展起來的一個新的數(shù)學分支,在數(shù)學規(guī)劃和控制論等領域有著廣泛的應用.

定義1[8]設D是R2上的一個凸集,函數(shù)f在D上有定義, 如果對于?λ∈(0,1),?(x1,x2),?(y1,y2)∈D,有

f(λx1+(1-λ)y1,λx2+(1-λ)y2)≤λf(x1,x2)+(1-λ)f(y1,y2)

(2)

則稱函數(shù)f為D上的凸函數(shù)．

注1n元凸函數(shù)可類似地定義．式(2)可推廣到n元連續(xù)凸函數(shù).

最近，文[9]給出并證明了特殊區(qū)域上的多元凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式.

定理1(二元凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式) 設函數(shù)f:[a,b]×[c,d]→R是二元連續(xù)凸函數(shù), 則

(3)

文[10]給出了p-凸集與p-凸函數(shù)的概念,如下.

定義2[10]設U是Rn的一個子集及0

定義3[10]設U?Rn是一個p-凸集與f:U→R.如果?t,s∈[0,1]且tp+sp=1,使得

f(tx+sy)≤tf(x)+sf(y), ?x,y∈U.

則稱f為p-凸函數(shù).

為證明本文的一個結(jié)果,給出下面的定義.

定義4 對于 ?(a1,b1),(a2,b2)∈R2, 如果a1≤a2,且b1≤b2,稱(a1,b1)(a2,b2).對于f:R2→R, 如果

f(a1,b1)≥f(a2,b2), ?(a1,b1)(a2,b2),

則稱二元函數(shù)f是序減的．如果上式不等式反向,則稱二元函數(shù)f是序增的．

最近, Eken[11]研究了p-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式, 推廣了式(1).結(jié)果如下.

定理2[11]設f:[a,b]→R+是一個可積的p-凸函數(shù).則

受文[9,11]的啟發(fā)，本節(jié)將定理2推廣到二元p-凸函數(shù)的情形.

下面，先給出一個引理．

引理1 設U?R2是一個p-凸集, 函數(shù)f:U→R且是一個二元p-凸函數(shù),則

(i) 如果f關于第二變元是非增的，則對于固定的y0,F(x)=f(x,y0)是一元p-凸函數(shù);

(ii) 如果f關于第一變元是非增的，則對于固定的x0,G(y)=f(x0,y)是一元p-凸函數(shù).

證明證(i), (ii)類似可證．任取x1,x2,使得z1(x1,y0),z2(x2,y0)∈U,?t,s∈[0,1]且tp+sp=1,有

f(tz1+sz2)≤tf(z1)+sf(z2),

即

f(tx1+sx2,(s+t)y0)≤tf(x1,y0)+sf(x2,y0).

因為t+s≤tp+sp=1,而f關于第二變元是非增的，故

f(tx1+sx2,y0)≤f(tx1+sx2,(s+t)y0).

于是,由上兩式，得

F(tx1+sx2)≤tF(x1)+sF(x2).

結(jié)論成立.

性質(zhì)1[11]對于a>0,[0,a)是一個p-凸集.

定義beta函數(shù)為

有關其性質(zhì), 參見文[12].

2 主要結(jié)果

定理3 設f:[a,b]×[c,d]→R+是一個可積的p-凸函數(shù),如果f是序減的，則

A1f(a,c)+A2f(a,d)+A3f(b,c)+A4f(b,d)

(4)

其中b>a≥0,d>c≥0,且

證明先證明式(4)的左邊.因為f為二元p-凸函數(shù), 故

(5)

因為

(6)

令t=a+b-x,則

(7)

故由式(5)～(7),得

(8)

又因為

(9)

令t=c+d-y,則

(10)

于是再由式(5), 及式(8)～(10)，得

下面，證明式(4)的右邊.作變量代換

于是

(11)

根據(jù)引理1, 有

(12)

將式(12)代入式(11), 得

(13)

再作變量代換

根據(jù)引理1,得

(14)

同理,有

(15)

將式(14)與(15)代入式(13), 得

定理4 設f:[a,b]×[c,d]→R+是一個可積的p-凸函數(shù)．令

則

(i) 如果f是一個二元序減函數(shù),那么g是一個二元p-凸函數(shù);

證明(i) 對?w1(t1,s1),w2(t2,s2)∈[0,1]×[0,1],λ,μ≥0且λp+μp=1.則有

(16)

其中

根據(jù)條件f是可積的p-凸函數(shù), 且是序減的,以及λ+μ≤1,有

(17)

將式(17)代入式(16),得

g(λw1+μw2)≤λg(w1)+μg(w2).

(ii)令

于是

(18)

其中

應用p-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard不等式(4)的左邊,可得

注3 定理4是文[11]中定理3.9的推廣.