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        阻尼系統(tǒng)的特征

        2015-07-25 06:42:56田紅亮鄭金華方子帆朱大林
        關(guān)鍵詞:響應(yīng)函數(shù)特征方程將式

        田紅亮 鄭金華 方子帆 朱大林

        (三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

        將式(4)代入式(7)得

        1 有阻尼多自由度系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)的響應(yīng)

        沖量為U(量綱是N·s)的脈沖力[1]為

        物體動(dòng)量的增量等于它所受合外力的沖量

        將式(4)代入式(7)得

        當(dāng)t>0+時(shí),脈沖力作用已結(jié)束,故t>0+時(shí)得

        將式(11)和式(12)代入式(9)得

        將式(15)代入式(13)得

        二階常系數(shù)齊次微分方程(16)的特征方程[2]為

        特征方程(17)的兩個(gè)根為

        方程(16)的通解[2]為

        P(t)在t=τ的沖量為U=P(τ)dτ,脈沖響應(yīng)為

        ++kx=P(t)在x0及下的響應(yīng)為

        若y=y(tǒng)1(x)+iy2(x)是微分方程y″+py′+qy=f1(x)+if2(x)的解,則y1(x)與y2(x)分別是微分方程y″+py′+qy=f1(x)與y″+py′+qy=f2(x)的解,其中y1(x)、y2(x)、f1(x)、f2(x)都是x的實(shí)函數(shù).

        由式(18)可得方程(41)特征方程的根r1,2=-ζωn±iωd,故iω不是根.方程(41)具有形如以下特解[2]

        則方程(40)的特解為

        根據(jù)式(20)和式(53)可得方程(40)的通解為

        將式(60)代入式(57)可得方程(40)的通解為

        將式(51)代入式(50)可得方程(40)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

        式中,φ=[φe1φe2…φen]T為特征向量.

        只有當(dāng)系統(tǒng)中存在無(wú)慣性自由度時(shí),才會(huì)出現(xiàn)半正定的情況[3].假設(shè)K為半正定實(shí)對(duì)稱矩陣,φTKφ≥0,M為正定實(shí)對(duì)稱矩陣[4],φTMφ>0.λ是非負(fù)數(shù).

        將式(75)和式(73)代入式(63)得

        方程(76)存在非零解(至少2組解)φ的條件是[5]

        根據(jù)式(76)可得第i個(gè)特征向量φi滿足

        當(dāng)是特征多項(xiàng)式的單根時(shí),式(80)的n個(gè)方程中有一個(gè)且只有一個(gè)是不獨(dú)立的,不妨設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立,將它劃去,且將含有φi的某個(gè)元素(例如φen)的項(xiàng)全部移到等號(hào)右端,得

        式(81)不同于文獻(xiàn)[1].若方程組(81)左端的系數(shù)行列式不是零,則此方程組有且僅有唯一組解[5],可以解出用φen表示的φe1,φe2,…,φe,n-1;否則應(yīng)將含φi的另一個(gè)元素(如φe,n-1)的項(xiàng)移到等號(hào)右端再解方程組.使計(jì)算簡(jiǎn)單,讓?duì)誩n=1,第i階主振型為

        根據(jù)式(73)可得第i階主振動(dòng)為

        故方程(63)的通解[2]為

        由式(76)得

        若i≠j時(shí),ωni≠ωnj,由式(94)得

        當(dāng)j=i,式(95)和式(96)分別為2個(gè)實(shí)二次型

        將式(95)和式(97)代入式(102)得

        將式(96)和式(98)代入式(104)得

        由式(86)得

        將式(101)代入式(106)得

        將式(100)代入式(119)得

        根據(jù)式(103)和式(113)得

        根據(jù)式(105)、(120)和式(108)得

        式(84)可改寫為

        將式(95)和式(97)代入式(125)得

        將式(101)代入式(124)得

        將式(128)代入式(63)得

        用正則振型矩陣作坐標(biāo)變換矩陣,式(128)成為

        將式(133)代入式(63)得

        將式(122)和式(123)代入式(135)得

        將式(15)代入式(11)得

        由式(62)可得方程(151)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

        將式(152)代入式(124)得

        將式(101)代入式(144)并考慮簡(jiǎn)諧激振力得

        2 傳遞函數(shù)與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

        初始條件為零[6],對(duì)式(139)作Laplace變換

        根據(jù)式(157)得

        式(162)不同于文獻(xiàn)[1]中的式(4.227)G(s)=

        將式(101)、(103)、(145)和式(105)代入式(164)得

        將式(161)中的s用iω取代后,可得頻率特性[7]

        對(duì)式(139)兩邊作Fourier變換[6]得

        式(148)除以式(100)得

        將φi=[φ1iφ2i…φri…φni]T和=[φ1iφ2i…φsi…φni]代入式(177)可得H(ω)的第r行第s列元素[5]

        由式(42)與式(47)可得單自由度的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

        當(dāng)k=1N/m,圖1示出單自由度復(fù)頻響應(yīng)函數(shù).

        圖1 單自由度系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

        3 工程實(shí)例與結(jié)果分析

        3.1 固有頻率相差較大時(shí)的情況

        圖2中m=1kg,其單位符號(hào)kg不同于文獻(xiàn)[8]中的 Kg,k=987N/m,k′=217N/m,c=0.628 4N·s/m,c′=0.062 8N·s/m,P1(t)=P01sinωt.

        圖2 有阻尼兩自由度系統(tǒng)

        代入式(76)得

        =987(rad/s)2,ωn1=31.42rad/s,fn1==6Hz.fn2比f(wàn)n1大20%.由式(108)和式(101)得

        由式(103)和式(143)得

        由式(110)和式(148)得

        設(shè)方程(185)具有形如以下特解

        將式(179)代入式(187)得

        將式(188)代入式(186)得

        故方程(184)的特解為

        式(190)與式(156)相同.將式(187)展開得

        由式(178)得

        圖3示出有阻尼二自由度系統(tǒng)復(fù)頻響應(yīng)函數(shù).

        圖3 固有頻率相差大時(shí)二自由度系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

        3.2 固有頻率差距較小時(shí)的情形

        將第3.1節(jié)中的兩個(gè)參數(shù)改變?yōu)椋簁′=10N/m,c′=0.003 1N·s/m,其它參數(shù)不變.

        ω2n1=987(rad/s)2,ωn1=31.42rad/s,fn1=5Hz,ω2n2=100 7(rad/s)2,ωn2=31.73rad/s,fn2=5.05Hz.fn2比f(wàn)n1僅大1%,相當(dāng)接近.由式(108)和式(101)得

        由式(103)和式(143)得

        由式(110)和式(148)得

        由式(178)得

        式(192)不同于文獻(xiàn)[1]的下面具體數(shù)據(jù)

        圖4示出有阻尼二自由度系統(tǒng)復(fù)頻響應(yīng)函數(shù).

        圖4 固有頻率偏差小時(shí)二自由度系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

        [1] 倪振華.振動(dòng)力學(xué)[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1988:61,82,185,203,243-253.

        [2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].6版.北京:高等教育出版社,2011:325-326,332-335,341-342.

        [3] 程耀東,李培玉.機(jī)械振動(dòng)學(xué)(線性系統(tǒng))[M].修訂版.杭州:浙江大學(xué)出版社,2006:99-107,159.

        [4] 諸德超,邢譽(yù)峰.工程振動(dòng)基礎(chǔ)[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2005:67.

        [5] 姚慕生,高汝熹.高等數(shù)學(xué)(二)第一分冊(cè)線性代數(shù)[M].2版.武漢:武漢大學(xué)出版社,2000:46,53,59-60.

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        [7] 楊叔子,楊克沖,吳 波,等.機(jī)械工程控制基礎(chǔ)[M].5版.武漢:華中科技大學(xué)出版社,2006:120.

        [8] 毛寬民,陳天寧,黃協(xié)清.外力沖擊二級(jí)隔離系統(tǒng)參數(shù)設(shè)計(jì) DEM 研究[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào),2000,17(2):100-104.

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