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        非自治系統(tǒng)關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性*

        2015-12-31 09:09:36
        濰坊學(xué)院學(xué)報(bào) 2015年2期
        關(guān)鍵詞:零解變?cè)?/a>學(xué)報(bào)

        劉 丹

        (山東科技大學(xué),山東 青島 266590)

        1 引言與定義

        Liapunov直接法是研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)強(qiáng)有力的方法,在一個(gè)系統(tǒng)中存在許多的變?cè)徊糠肿冊(cè)男再|(zhì)我們掌握不了,或者不需要研究和證明。這就引出了強(qiáng)穩(wěn)定性的概念,如文獻(xiàn)[1-3]提出了關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性的概念,但關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性的判定定理還不夠豐富。文中將文獻(xiàn)[4-8]中驗(yàn)證部分變?cè)€(wěn)定性方法改進(jìn),得到了一些關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定的判定定理。

        考慮n維非自治系統(tǒng)

        其中x∈Rn,f(t,x)∈C[I×Ω,Rn],I=[0,+∞),Ω 為開區(qū)域,f(t,0)≡0。記

        假設(shè)當(dāng)Ω={x∶‖y‖≤H,‖z‖≤+∞}時(shí),(1)的解唯一且可延拓到I上。

        定義1[1]稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定,如果對(duì)于任何ε>0和t0∈I,存在δ(ε,t0)>0,使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ(ε)時(shí),對(duì)一切t≥t0,有‖z(t,t0,x0)‖≤ε。

        定義2[1]稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)一致穩(wěn)定,如果對(duì)于任何ε>0,存在δ(ε)>0,使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ(ε,t0)時(shí),對(duì)一切t0∈I,當(dāng)t≥t0時(shí)有‖z(t,t0,x0)‖≤ε。

        定義3[3]稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)吸引的,如果對(duì)于任意ε>0及t0∈I,存在δ(t0)>0,使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ時(shí),存在T(ε,t0,x0)>0,當(dāng)t≥t0+T(ε,t0,x0)時(shí)有‖z(t,t0,x0)‖≤ε,即z(t,t0,x0)=0。

        定義4[3]稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)漸近穩(wěn)定的,若(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 是強(qiáng)穩(wěn)定的且z對(duì)y 是強(qiáng)吸引的。

        定義5[1]對(duì)于連續(xù)函數(shù)V(t,x)=V(t,y,z),若有V(t,0,z)≡0,則稱V(t,x)為推廣的Liapunov函數(shù)或y-V 函數(shù)。

        2 判定定理

        定理1 存在y-V 函數(shù)V(t,x)及連續(xù)函數(shù)列{Un(t,x)}滿足

        (1)Un(t,x)≥a‖z‖,a∈K,Un(t,0)=0

        下面證明對(duì)一切t≥t0均有Un(t,x(t,t0,y0,z0))<αN。

        若Un(t,x(t,t0,y0,z0))<αN不成立,故可找到t1≥t0,使得

        于是

        這與(6)式矛盾。從而

        故對(duì)一切的t≥t0,有‖z(t,t0,x0)‖<ε。則系統(tǒng)(1)的零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定。

        定理2 若存在y-V 函數(shù)V(t,x)滿足

        (1)V(t,x)≥a(‖z‖)且|V(t,x)|≤b(‖z‖),其中a,b∈K。

        (2)D+V(t,x)≤0。則系統(tǒng)(1)的零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)一致穩(wěn)定。

        由(2)D+V(t,x)≤0,故

        從而‖z(t,t0,x0)‖<ε,則系統(tǒng)(1)的零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定。

        又因?yàn)椋黇(t,x)|≤b(‖z‖),取δ(ε)=b-1(a(ε))不依賴于t0,當(dāng)‖y0‖<δ有

        從而對(duì)一切t≥t0,有‖z(t,t0,x0)‖<ε。故系統(tǒng)(1)的零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)一致穩(wěn)定。

        注:在定理2中去除|V(t,x)|≤b(‖z‖)條件后也是判定零解關(guān)于部分變?cè)獄 對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定的一個(gè)方法。

        定理3 若存在y-V 函數(shù)V(t,x)滿足

        (1)有正定函數(shù)w(z),使得V(t,x)≥θ(t,x)w(z),V(t,0)=0。

        證明 由條件(1)知由于w(z)是正定函數(shù),故存在φ∈K,使得w(z)≥φ(‖z‖),故

        從而‖z(t,t0,x0)‖<ε。即系統(tǒng)(1)零解關(guān)于部變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定。

        對(duì)任意的的ε1>0,存在T(ε1,t0,x0)>0,當(dāng)t≥t0+T 時(shí)

        即系統(tǒng)(1)零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)吸引。

        綜之,系統(tǒng)(1)零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)漸近穩(wěn)定。

        作者衷心感謝馮濱魯教授對(duì)本文的指導(dǎo)、審閱。

        [1]周康.關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性的基本定理[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1995,29(1):24-26.

        [2]張維.微分系統(tǒng)關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1992,26(4):408-412.

        [3]孟新柱.部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性研究[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,21(3):18-20.

        [4]廖曉昕.穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,1988.

        [5]馮濱魯.兩類非線性系統(tǒng)的不穩(wěn)定性[J].山東礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),1992,11(2):200-203.

        [6]馮濱魯,王向榮,王朝陽(yáng).關(guān)于部分變?cè)譂u近穩(wěn)定性的新判據(jù)[J].山東礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),1994,13(2):191-195.

        [7]么秉春,趙文凱.關(guān)于擾動(dòng)方程的零解對(duì)部分變?cè)姆€(wěn)定性[J].河北輕化工學(xué)院學(xué)報(bào),1993,14(4):29-34.

        [8]舒仲周,謝建華.Liapunov穩(wěn)定定理的一個(gè)注記[J].西南交通大學(xué)學(xué)報(bào),1988,23(2):38-44.

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