劉 丹

（山東科技大學(xué)，山東 青島 266590）

1 引言與定義

Liapunov直接法是研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)強(qiáng)有力的方法，在一個(gè)系統(tǒng)中存在許多的變?cè)徊糠肿冊(cè)男再|(zhì)我們掌握不了，或者不需要研究和證明。這就引出了強(qiáng)穩(wěn)定性的概念，如文獻(xiàn)［1-3］提出了關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性的概念，但關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性的判定定理還不夠豐富。文中將文獻(xiàn)［4-8］中驗(yàn)證部分變?cè)€(wěn)定性方法改進(jìn)，得到了一些關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定的判定定理。

考慮n維非自治系統(tǒng)

其中x∈Rn，f（t，x）∈C［I×Ω，Rn］，I=［0，+∞），Ω 為開區(qū)域，f（t，0）≡0。記

假設(shè)當(dāng)Ω=｛x∶‖y‖≤H，‖z‖≤+∞｝時(shí)，（1）的解唯一且可延拓到I上。

定義1［1］稱（1）的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定，如果對(duì)于任何ε＞0和t0∈I，存在δ（ε，t0）＞0，使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ（ε）時(shí)，對(duì)一切t≥t0，有‖z（t，t0，x0）‖≤ε。

定義2［1］稱（1）的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)一致穩(wěn)定，如果對(duì)于任何ε＞0，存在δ（ε）＞0，使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ（ε，t0）時(shí)，對(duì)一切t0∈I，當(dāng)t≥t0時(shí)有‖z（t，t0，x0）‖≤ε。

定義3［3］稱（1）的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)吸引的，如果對(duì)于任意ε＞0及t0∈I，存在δ（t0）＞0，使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ時(shí)，存在T（ε，t0，x0）＞0，當(dāng)t≥t0+T（ε，t0，x0）時(shí)有‖z（t，t0，x0）‖≤ε，即z（t，t0，x0）=0。

定義4［3］稱（1）的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)漸近穩(wěn)定的，若（1）的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 是強(qiáng)穩(wěn)定的且z對(duì)y 是強(qiáng)吸引的。

定義5［1］對(duì)于連續(xù)函數(shù)V（t，x）=V（t，y，z），若有V（t，0，z）≡0，則稱V（t，x）為推廣的Liapunov函數(shù)或y-V 函數(shù)。

2 判定定理

定理1 存在y-V 函數(shù)V（t，x）及連續(xù)函數(shù)列｛Un（t，x）｝滿足

（1）Un（t，x）≥a‖z‖，a∈K，Un（t，0）=0

下面證明對(duì)一切t≥t0均有Un（t，x（t，t0，y0，z0））＜αN。

若Un（t，x（t，t0，y0，z0））＜αN不成立，故可找到t1≥t0，使得

于是

這與（6）式矛盾。從而

故對(duì)一切的t≥t0，有‖z（t，t0，x0）‖＜ε。則系統(tǒng)（1）的零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定。

定理2 若存在y-V 函數(shù)V（t，x）滿足

（1）V（t，x）≥a（‖z‖）且｜V（t，x）｜≤b（‖z‖），其中a，b∈K。

（2）D+V（t，x）≤0。則系統(tǒng)（1）的零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)一致穩(wěn)定。

由（2）D+V（t，x）≤0，故

從而‖z（t，t0，x0）‖＜ε，則系統(tǒng)（1）的零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定。

又因?yàn)椋黇（t，x）｜≤b（‖z‖），取δ（ε）=b-1（a（ε））不依賴于t0，當(dāng)‖y0‖＜δ有

從而對(duì)一切t≥t0，有‖z（t，t0，x0）‖＜ε。故系統(tǒng)（1）的零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)一致穩(wěn)定。

注：在定理2中去除｜V（t，x）｜≤b（‖z‖）條件后也是判定零解關(guān)于部分變?cè)獄 對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定的一個(gè)方法。

定理3 若存在y-V 函數(shù)V（t，x）滿足

（1）有正定函數(shù)w（z），使得V（t，x）≥θ（t，x）w（z），V（t，0）=0。

證明 由條件（1）知由于w（z）是正定函數(shù)，故存在φ∈K，使得w（z）≥φ（‖z‖），故

從而‖z（t，t0，x0）‖＜ε。即系統(tǒng)（1）零解關(guān)于部變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)穩(wěn)定。

對(duì)任意的的ε1＞0，存在T（ε1，t0，x0）＞0，當(dāng)t≥t0+T 時(shí)

即系統(tǒng)（1）零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)吸引。

綜之，系統(tǒng)（1）零解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y 強(qiáng)漸近穩(wěn)定。

作者衷心感謝馮濱魯教授對(duì)本文的指導(dǎo)、審閱。

［1］周康.關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性的基本定理［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1995，29（1）：24-26.

［2］張維.微分系統(tǒng)關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1992，26（4）：408-412.

［3］孟新柱.部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性研究［J］.山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，21（3）：18-20.

［4］廖曉昕.穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用［M］.武漢：華中師范大學(xué)出版社，1988.

［5］馮濱魯.兩類非線性系統(tǒng)的不穩(wěn)定性［J］.山東礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1992，11（2）：200-203.

［6］馮濱魯，王向榮，王朝陽(yáng).關(guān)于部分變?cè)譂u近穩(wěn)定性的新判據(jù)［J］.山東礦業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1994，13（2）：191-195.

［7］么秉春，趙文凱.關(guān)于擾動(dòng)方程的零解對(duì)部分變?cè)姆€(wěn)定性［J］.河北輕化工學(xué)院學(xué)報(bào)，1993，14（4）：29-34.

［8］舒仲周，謝建華.Liapunov穩(wěn)定定理的一個(gè)注記［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，1988，23（2）：38-44.