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        非線性中立型積分微分方程零解的全局漸近穩(wěn)定性

        2019-08-30 02:33:16黃明輝
        關(guān)鍵詞:零解不動(dòng)點(diǎn)全局

        黃明輝, 劉 君

        (廣州城建職業(yè)學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室, 廣東 廣州 510925)

        1 預(yù)備知識(shí)

        文獻(xiàn)[3]利用不動(dòng)點(diǎn)理論,研究了非線性中立型積分微分方程

        (1)

        零解的漸近穩(wěn)定性,其中c可微,τ二次可微且τ′(t)≠1,t∈[0,+∞)。

        文獻(xiàn)[4]利用不動(dòng)點(diǎn)理論,研究了時(shí)滯非線性中立型積分微分方程

        (2)

        零解的漸近穩(wěn)定性,其中c、τ1可微,τ2二次可微且τ2′(t)≠1,t∈[0,+∞)。

        受此啟發(fā),本文考慮以下非線性中立型積分微分方程零解的全局漸近穩(wěn)定性:

        x′(t)=-a(t)x(t)+c(t)x′(t-τ1(t))+q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))+

        (3)

        為了給出本文結(jié)果,對(duì)方程(3)作出以下假設(shè):

        (H2) 對(duì)任意xi、yi∈R,存在li、hi∈C([0,+∞),R+),i=1,2,都有

        |q(t,x1,y1)-q(t,x2,y2)|≤l1(t)|x1-x2|+l2(t)|y1-y2|,

        |f(t,x1,y1)-f(t,x2,y2)|≤h1(t)|x1-x2|+h2(t)|y1-y2|,

        其中q(t,0,0)=f(t,0,0)=0,t≥0;

        (H3) 存在常數(shù)α∈(0,1),對(duì)t≥0,有

        此外,對(duì)任意t0∈[0,+∞),設(shè)方程(3)的初始函數(shù)空間為

        2 主要結(jié)論

        對(duì)任意(t0,φ)∈[0,+∞)×St0,若x∈C1([dt0,+∞))在[t0,+∞)上滿足方程(3),且當(dāng)t∈[dt0,t0]時(shí),x(t)=φ(t),則稱x為方程(3)經(jīng)過(guò)(t0,φ)的解,記為x(t)=x(t,t0,φ) 。

        定義2[5]若方程(3)的零解是穩(wěn)定的,且對(duì)任意t0≥0,φ∈St0,都有

        則稱方程(3)的零解是全局漸近穩(wěn)定的。

        證明對(duì)任意t0≥0,設(shè)

        D={x∈X:x(t)=φ(t),t∈[dt0,t0]},

        顯然,D為X的一個(gè)非空閉子集。定義算子P:D→C([dt0,+∞))如下:對(duì)任意x∈D,當(dāng)t∈[dt0,t0]時(shí),(Px)(t)=φ(t);當(dāng)t≥t0時(shí),

        q(s,x(s-τ2(s)),x′(s-τ2(s)))]ds+

        (4)

        首先證明P:D→D。對(duì)任意x∈D,當(dāng)t>t0時(shí),

        -a(t)(Px)(t)+c(t)x′(t-τ1(t))+q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))+

        (5)

        由St0的定義可知,

        max{|x(t)|,|x′(t)|,|x(t-τi(t))|,|x′(t-τi(t))|}<ε,i=1,2,

        (6)

        對(duì)于(4)式,由(H1)—(H3)和(6)式可知,對(duì)任意t≥T以及x∈D,有

        |(Px)(t)|≤

        此外,存在T1>T,使得對(duì)任意t>T1,有

        |(Px)′(t)|≤|a(t)(Px)(t)|+|c(t)x′(t-τ1(t))|+

        |a(t)(Px)(t)|+|c(t)x′(t-τ1(t))|+l1(t)|x(t-τ2(t))|+

        接著證明P:D→D是一個(gè)壓縮映射。對(duì)任意x,y∈D,當(dāng)t≥t0時(shí),

        |q(s,x(s-τ2(s)),x′(s-τ2(s))-q(s,y(s-τ2(s)),y′(s-τ2(s)))|ds]+

        (7)

        此外,由(5)式、(7)式以及(H3)可知,對(duì)任意x,y∈D,當(dāng)t≥t0時(shí),

        |(Px)′(t)-(Py)′(t)|≤|a(t)||(Px)(t)-(Py)(t)|+|c(t)||x′(t-τ1(t))-

        y′(t-τ1(t))|+|q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))-q(t,y(t-τ2(t)),y′(t-τ2(t)))|+

        (8)

        由(7)式和(8)式可知,P:D→D是一個(gè)壓縮映射。由壓縮映射原理可知,P在D中有唯一不動(dòng)點(diǎn)x。x是方程(3)經(jīng)過(guò)(t0,φ)的唯一解,且滿足

        (9)

        若x(t)=x(t,t0,φ)是方程(3)經(jīng)過(guò)(t0,φ)的一個(gè)解,其中|φ|t0<δ,則對(duì)任意t≥t0,x(t)=(Px)(t)??梢宰C明‖x‖t0<ε。否則存在t*>t0,使得max{|x(t*)|,|x′(t*)|} =ε且t

        這與t*的定義相矛盾。若|x′(t*)|=ε,則由(H2)、(H3)和(5)式可得

        |x′(t*)|≤|a(t*)x(t*)|+c(t*)x′(t*-τ1(t*))+

        l1(t*)|x(t*-τ2(t*))|+l2(t*)|x′(t*-τ2(t*))|+

        這與t*的定義相矛盾。因此(3)式的零解是穩(wěn)定的。由(9)式可知,(3)式的零解是全局漸近穩(wěn)定的。故定理1得證。

        3 實(shí) 例

        為了說(shuō)明定理1的有效性,下面給出了兩個(gè)實(shí)例。

        例1 考慮以下非線性中立型積分微分方程

        x′(t)=-a(t)x(t)+c(t)x′(t-τ1(t))+q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))+

        (10)

        令l1(t)=l2(t)=1/[20(1+t)],h1(t)=h2(t)=1/[10(1+t)],(H2)成立。

        注2 文獻(xiàn)[3-4]給出的定理不能用于判別(10)式的零解全局漸近穩(wěn)定。

        例2 考慮以下非線性中立型積分微分方程

        x′(t)=-a(t)x(t)+c(t)x′(t-τ1(t))+q(t,x(t-τ2(t)),x′(t-τ2(t)))+

        (11)

        令l1(t)=l2(t)=1/[20(1+t2)],h1(t)=h2(t)=1/[10(1+t2)],(H2)成立。

        注3 文獻(xiàn)[3-4]給出的定理不能用于判別(11)式的零解全局漸近穩(wěn)定。

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