劉丹

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東青島266590)

關(guān)于部分變?cè)獜?qiáng)穩(wěn)定性的幾個(gè)定理

劉丹

(山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東青島266590)

本文給出了微分系統(tǒng)關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)漸進(jìn)穩(wěn)定及在持續(xù)攝動(dòng)下強(qiáng)漸進(jìn)穩(wěn)定的幾個(gè)定理，改進(jìn)和推廣了已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果.

部分變?cè)?強(qiáng)漸近穩(wěn)定;持續(xù)攝動(dòng);強(qiáng)一致穩(wěn)定

1 引言

眾所周知，Liapunov直接法是研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)十分有效的方法.目前，圍繞Liapunov意義下的穩(wěn)定性、部分變?cè)姆€(wěn)定性的結(jié)果比較豐富，如文獻(xiàn)［1－5］.然而近幾十年來(lái)，人們根據(jù)實(shí)際情況的需求提出了關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性的概念.運(yùn)用Liapunov直接法研究部分變?cè)膹?qiáng)穩(wěn)定性的成果還不夠豐富.本文將借鑒文獻(xiàn)［6－9］的基本思想，討論部分變?cè)膹?qiáng)漸進(jìn)穩(wěn)定、強(qiáng)一致漸進(jìn)穩(wěn)定，并推廣到有擾動(dòng)項(xiàng)的持續(xù)攝動(dòng)下關(guān)于部分變?cè)膹?qiáng)一致穩(wěn)定和強(qiáng)漸進(jìn)穩(wěn)定.

2 定義與引理

考慮n維非自治系統(tǒng)

其中x∈Rn，f(t，x)∈C［I×Ω，Rn］，I=［0，+∞)，Ω為開(kāi)區(qū)域，f(t，0)≡0.記

時(shí)，(1)的解唯一且可延拓到I上.

對(duì)于(1)式的擾動(dòng)系統(tǒng)

其中R(t，x)∈C［I×Ω，Rn］，R(t，0)=0，R(t，0)不恒為零.

定義1［1］稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)穩(wěn)定，如果對(duì)于任何ε＞0和t0∈I，存在δ(ε，t0)＞0，使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ(ε)時(shí)，對(duì)一切t≥t0，有‖z(t，t0，x0)‖≤ε.

定義2［1］稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)一致穩(wěn)定，如果對(duì)于任何ε＞0，存在δ(ε)＞0，使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ(ε，t0)時(shí)，對(duì)一切t0∈I，當(dāng)t≥t0時(shí)有‖z(t，t0，x0)‖≤ε.

定義3［1］稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)吸引的，如果對(duì)于任意ε＞0及t0∈I，存在δ(t0)＞0，使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ時(shí)，存在T(ε，t0，x0)＞0，當(dāng)t≥t0+T(ε，t0，x0)時(shí)有‖z(t，t0，x0)‖＜ε，即

定義4［2］稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)漸近穩(wěn)定的，若(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y是強(qiáng)穩(wěn)定的且z對(duì)y是強(qiáng)吸引的.

定義5［1］稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)等度漸近穩(wěn)定的，若(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y是強(qiáng)穩(wěn)定，且對(duì)任意ε＞0及t0∈I，存在δ(t0)＞0及T(ε，t0)＞0，使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ時(shí)，對(duì)t≥t0+T(ε，t0)時(shí)有‖z(t，t0，x0)‖＜ε.

定義6［1］稱(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)一致漸近穩(wěn)定的，若(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y是強(qiáng)一致穩(wěn)定，且δ＞0，對(duì)任意ε＞0及t0∈I，存在T(ε，δ)＞0，使得當(dāng)x0滿足‖y0‖≤δ時(shí)，對(duì)t≥t0+T(ε，δ)時(shí)有‖z(t，t0，x0)‖＜ε.

定義7［1］對(duì)于連續(xù)函數(shù)V(t，x)=V(t，y，z)，若有V(t，0，z)≡0，則稱V(t，x)為推廣的Liapunov函數(shù)或y－V函數(shù).

定義8稱式(1)的平凡解在每時(shí)刻很小的經(jīng)干擾下關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)一致穩(wěn)定，若對(duì)且任意的ε＞0及t0∈I，存在δ1(ε)＞0和δ2(ε)＞0，使?jié)M足當(dāng)‖y0‖＜δ1(ε)與‖R(t，x)‖＜δ2(ε)時(shí)，對(duì)t≥t0，有‖z(t，t0，x0)‖＜ε.

定義9稱式(1)的平凡解在每時(shí)刻很小的經(jīng)干擾下關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)吸引，若對(duì)且任意的ε＞0及t0∈I，存在δ(t0)＞0和T(ε)＞0，使?jié)M足當(dāng)‖y0‖＜δ(t0)，對(duì)t≥t0+T，有‖z(t，t0，x0)‖＜ε.

引理［1］若存在y－V函數(shù)V(t，x)滿足:(1)φ(‖z‖)≤V(t，x)φ∈K;(2)D+V|(1)≤0)，稱式(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y是強(qiáng)穩(wěn)定的.

3 主要結(jié)果

定理1存在y－V函數(shù)V(t，x)滿足:

(1)φ1(‖z‖)≤V(t，x)，φ1∈K，

(2)D+V|(1)≤－g(t)φ2(‖y‖)，φ2∈K，其中g(shù)(t)≥0且

則系統(tǒng)(1)平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)漸近穩(wěn)定.

證明由引理可知，式(1)的平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y是強(qiáng)穩(wěn)定的.下面證明(1)平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y是強(qiáng)吸引的，即有?ε＞0，存在δ(t0)＞0，使得當(dāng)‖y0‖≤δ(ε，t0)時(shí)，有y0，z0))=V∞＞0.

從而φ1(‖z‖)≤V(t，x(t，t0，y0，z0))→0(t→+∞)，‖z‖→0(t→+∞).

若不然，則存在t0∈I，?δ＞0，當(dāng)‖y0‖≤δ時(shí)，有

由條件(2)可知D+V|(1)＜0，故有tlim+V(t，x(t，t0，y0，z0))△=V∞.

→∞

從而V(t，x(t，t0，y0，z0))≥V∞＞0，利用條件(1)和(2)可知，D+V|(1)≤－g(t)φ3(φ－12(V∞)).

故可得到0≤V(t，x(t，t0，y0，z0))≤V(t0，y0，z0)－φ3(δ(ε))

而當(dāng)t?t0時(shí)上式不成立.于是

證得系統(tǒng)(1)平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)漸近穩(wěn)定.

定理2存在y－V函數(shù)V(t，x)滿足:

(1)φ1(‖z‖)≤V(t，x)≤φ2(‖y‖)，φi∈K(i=1，2，3)，

(2)D+V|(1)≤－g(t)φ3(‖y‖)，其中g(shù)(t)≥0且對(duì)于?B＞0都存在b＞0使得系統(tǒng)(1)平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)一致漸近穩(wěn)定.

證明先證明系統(tǒng)(1)平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)一致穩(wěn)定性.

對(duì)?ε＞0，取δ(ε)=φ－12(φ1(ε))，當(dāng)‖y0‖＜δ(ε)時(shí)，由已知條件有

φ1(‖z(t，t0，x0)‖)≤V(t，x(t，t0，y0，z0))≤V(t0，y0，z0)≤φ2(‖y(t，t0，x0)‖)＜φ1(ε)，即‖z(t，t0，x0)‖＜ε.

下證系統(tǒng)(1)強(qiáng)一致吸引性，對(duì)?ε＞0，存在△0＞0，使得當(dāng)‖y0‖≤△0時(shí)，?T(ε)＞0，當(dāng)t≥t0+ T(ε)時(shí)，有‖z(t，t0，x0)‖≤ε.

設(shè)對(duì)于△0=δ(H)，當(dāng)‖y0‖≤△0，取有已知條件(2)，存在T＞0，當(dāng)任意t0∈I有則一定存在t1∈［t0，t0+T］，使‖y0(t1，t0，y0，z0)‖≤δ(ε).

若不然，?t∈［t0，t0+T］有‖y0(t1，t0，y0，z0)‖≥δ(ε)，由已知條件(2)有D+V|(1)≤－g(t)φ3(δ (ε))，即

這與V(t，x)正定矛盾.

因此，存在t1∈［t0，t0+T］使‖y0(t1，t0，y0，z0)‖≥δ(ε)，從而有

即當(dāng)t≥t0+T時(shí)，有‖z(t，t0，x0)‖≤ε.證得系統(tǒng)(1)平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)一致吸引.

綜上可得，系統(tǒng)(1)平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)一致漸近穩(wěn)定性.

推論1存在y－V函數(shù)V(t，x)滿足:

(1)φ1(‖z‖)≤V(t，x)≤φ2(‖y‖)，φi∈K(i=1，2，3)，

(2)D+V|(1)≤－g(t)φ3(‖y‖)，其中g(shù)(t)≥0且

則系統(tǒng)(1)平凡解關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)等度漸近穩(wěn)定.

證明由條件(1)和(2)可表示為D+V|(1)≤－g(t)φ3(φ－12(V(t，x)))

證明過(guò)程與定理2的方法類似，此定理顯然是成立的.

定理3存在y－V函數(shù)V(t，x)滿足:

(2)φ1(‖z‖)≤V(t，x)≤φ2(‖y‖)，φi∈K(i=1，2，3);

(3)D+V|(1)≤－g(t)φ3(‖y‖).

則有式(1)平凡解在每時(shí)刻很小的經(jīng)干擾下關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)一致穩(wěn)定.

證明由條件(2)有‖y‖≥φ－12(V(t，x)).由條件(3)

即‖z(t，t0，x0)‖＜ε.

對(duì)?ε＞0，‖R(t，x)‖＜δ2(ε)時(shí)，由條件(3)知D+V|(1)＜0.當(dāng)‖y0‖＜δ1(ε)時(shí)，有V(t0，y0，z0)≤φ1(‖ε‖).

需證t≥t0，V(t，x(t，t0，y0，z0))＜φ1(‖ε‖).

若不然，則存在t1∈I使V(t1，x(t1，t0，y0，z0))=φ1(‖ε‖)，于是?t'0∈(t0，t1)使

這與D+V|(1)＜0矛盾.從而有φ1(‖z(t，t0，x0)‖)≤V(t，x(t，t0，y0，z0))≤φ1(‖ε‖).

即‖z(t，t0，x0)‖＜ε(t≥t0)，式(1)平凡解在每時(shí)刻很小的經(jīng)干擾下關(guān)于部分變?cè)獄對(duì)y強(qiáng)一致穩(wěn)定.

證明對(duì)定理3中的條件(2)的解有

取T1＞T，當(dāng)t≥t0+T1時(shí)有‖R(t，x)‖≤r≤φ3(φ2－1(V∞))/N.

因此D+V|(2)≤－g(t)φ3(φ2－1(V∞))+Nrg(t).

［1］廖曉昕.穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用［M］.武漢:華中師范大學(xué)出版社，1988.

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Several Theorems of Strong Stability on Partial Variables

LIU Dan
(School of Mathematics and Systems Science，Shandong University of Science and Technology，Qingdao，266590，China)

The several theorems are given with respect to partial uniformly asymptotic stability and partial asymptotic stability under continuous perturbation，which improves and generalizes the existing conclusions in relevant literatures.

partial variables;strong asymptotic stability;continuous perturbation;strong uniformly stability

O175.21

A

1672－2590(2015)06－0030－04

2015－09－17

劉丹(1991－)，女，黑龍江方正人，山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院碩士研究生.