石煥南, 李 明

(1. 北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院 電氣信息系, 北京 100011; 2. 中國醫(yī)科大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室, 沈陽 110001)

等差數(shù)列的凸性和對數(shù)凸性

石煥南1, 李 明2

(1. 北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院 電氣信息系, 北京 100011; 2. 中國醫(yī)科大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室, 沈陽 110001)

研究了等差數(shù)列的凸性和對數(shù)凸性. 進(jìn)而利用受控理論證明了一些等差數(shù)列不等式.

等差數(shù)列; 凸性; 對數(shù)凸性; 不等式; 受控

本文研究等差數(shù)列的凸性和對數(shù)凸性并利用受控理論證明一些等差數(shù)列不等式.

設(shè){ai}是公差為d的等差數(shù)列, 則其通項(xiàng)ai=a1+(i?1)d, 前n項(xiàng)之和

在本文中, Rn和分別表示n維實(shí)數(shù)集和n維正實(shí)數(shù)集, 并記表示非負(fù)整數(shù)集.先回憶一下數(shù)列的凸性和對數(shù)凸性的定義概念.

定義1.1[1,2]若實(shí)數(shù)列{ai} (有限的或無限的滿足條件

則稱{ai}是一個凸數(shù)列. 若不等式(1.1)反向, 則稱數(shù)列{ai}是一個凹數(shù)列.

顯然, 等差數(shù)列既是凸數(shù)列, 也是凹數(shù)列.

定義1.2[1,2]若非負(fù)實(shí)數(shù)列{ai}(有限的或無限的)滿足條件

則稱{ai}是一個對數(shù)凸數(shù)列. 若不等式(1.2)反向, 則稱數(shù)列{ai}是一個對數(shù)凹數(shù)列.

1 主要結(jié)果

我們的主要結(jié)果是下述六個定理.

定理 1.1若{ai}是非負(fù)等差數(shù)列, 則{ai}是對數(shù)凹數(shù)列.

定理 1.2若{ai}是正項(xiàng)等差數(shù)列, 公差d≥0, 則既是凸數(shù)列, 也是對數(shù)凸數(shù)列.

定理 1.3若{ai}是非負(fù)等差數(shù)列, 公差d≥0, 則 {iai}既是凸數(shù)列, 也是對數(shù)凹數(shù)列.

定理 1.4若{ai}為正項(xiàng)等差數(shù)列, 則數(shù)列是凸數(shù)列.

定理1.5若非負(fù)等差數(shù)列{ai}的公差d≥0, 則其前n項(xiàng)和數(shù)列{Si}既是凸數(shù)列, 也是對數(shù)凹數(shù)列.

定理若{ai}為非負(fù)等差數(shù)列, 公差則{Ti}既是凸數(shù)列, 也是對數(shù)凸數(shù)列.

2 定義和引理

定義2.1[3,4]設(shè)x=(x1,…,xn),y=(y1,…,yn)∈Rn.

(ⅱ) x≤y表示對所有的i=1,…,n, xi≤yi.

定義 2.2[3,4]設(shè) Ω?Rn, ?:Ω→R, 若?x, y∈Ω,x≤y , 恒有?(x)≤?(y ), 則稱?為Ω上的增函數(shù); 若??是Ω上的(嚴(yán)格)增函數(shù), 則稱?為Ω上的減函數(shù).

引理2.1[3,4]設(shè)x=(x1,…,xn)∈Rn,則

引理2.2[1,5]設(shè)n≥2, 數(shù)列{ak}是凸數(shù)列的充要條件為:當(dāng)p?q時, 恒有

引理2.3[1,6]設(shè)f:I?R→R是遞增的凸函數(shù), {ak}是凸集I上的凸數(shù)列,若p?q, 則

引理2.4[5,6]非負(fù)數(shù)列{ak}是對數(shù)凸(凹)數(shù)列的充要條件為:若p?q, 則

引理2.5若{ai}是對數(shù)凸數(shù)列, 則{ai}是凸數(shù)列.

證明因{ai}是對數(shù)凸數(shù)列, 即ai+1ai?1≥ai2. 于是,故{ai}是凸數(shù)列.引理2.6若{ai}是對數(shù)凹數(shù)列, 則是凸數(shù)列.

證明若{ai}是對數(shù)凹數(shù)列, 則是凸數(shù)列.

引理2.7設(shè){ai}是單調(diào)遞增的非負(fù)數(shù)列. 若{ai}是凸數(shù)列, 則{iai}也是凸數(shù)列; 若{ai}是對數(shù)凹數(shù)列, 則{iai}也是對數(shù)凹數(shù)列.

證明若{ai}是凸數(shù)列, 則ai+1+ai?1≥2ai; 又因{ai}單調(diào)遞增, 有ai+1?ai?1≥0, 于是

故{iai}是凸數(shù)列.

若{ai}是對數(shù)凹數(shù)列, 則ai+1ai?1≤ai2, 于是

故{iai}是對數(shù)凹數(shù)列.

引理2.8[3,4]設(shè) x, y∈Rn, x1≥x2≥…≥xn,若存在k, 1≤k≤n, 當(dāng)i=1,2,…,k 時,xi≤yi, 當(dāng)i=k+1,k+2,…,n 時, xi≥yi, 則x?y.

引理2.9[3,4]設(shè)I?R為一個區(qū)間,x, y∈In?Rn, 則x?y??凸(凹)函數(shù)g: I→R, 有

3 主要結(jié)果的證明

定理1.1的證明因a?a=(a+d)?(a?d)=a2?d2≤a2, 故{a}是對數(shù)凹數(shù)列.

定理1.2的證明由定理1.1,于是

定理1.3的證明由定理1.1知, {ai}是對數(shù)凹數(shù)列; 又d≥0, {ai}是遞增的, 于是由引理2.7知{iai}既是凸數(shù)列, 也是對數(shù)凹數(shù)列.

定理1.4的證明由定理1.1知, 等差數(shù)列{ai}是對數(shù)凹數(shù)列, 由引理2.6知是凸數(shù)列.

定理1.5的證明因公差d≥0, 所以ai+1≥ai, 于是

故{Si}是凸數(shù)列.

因{ai}是對數(shù)凹數(shù)列, 所以

故{Si}也是對數(shù)凹數(shù)列.

定理1.6的證明因公差d≥0, 所以ai+1≥ai, 于是

所以{Ti}是對數(shù)凸數(shù)列. 由引理2.5知{Ti}也是凸數(shù)列.

4 應(yīng)用

命題4.1[7]設(shè){ai}是正項(xiàng)等差數(shù)列, 則當(dāng)r≥1或r≤0時, 有

當(dāng)0

證明不妨設(shè)公差d≥0, 則a1≤a2≤…≤an, 于是由引理2.1與引理2.8, 有

當(dāng)r≥1或r≤0時, xr是凸函數(shù), 由引理2.9, 有2n由此即得(4.1)式.當(dāng)0

命題4.2[8]設(shè){ai}是正項(xiàng)等差數(shù)列, 公差d≥0, n為自然數(shù), 則

證明由定理 1.2知是凸數(shù)列. 由引理2.8, 不難驗(yàn)證

事實(shí)上, 顯然x1≥x2≥…≥x2n. 又

易見對于k=2n?1, 當(dāng)i=1,2,…,k 時, xi≤yi, 當(dāng)i=k+1,k+2,…,n 時, xi≥yi.這樣x和y滿足引理2.8的條件, 故有x?y, 從而由引理2.2知(4.2)成立.

命題4.3[9]設(shè){ai}是正項(xiàng)等差數(shù)列, n為自然數(shù), 則

證明類似于(4.2), 可得

因等差數(shù)列{ai}是凸數(shù)列, 從而據(jù)引理2.2, 由(4.6), 有

因等差數(shù)列{?ai}是凸數(shù)列, 從而據(jù)引理2.2, 由(4.6), 有

即

結(jié)合(4.7)和(4.8)得(4.4).

命題4.4設(shè){ai}是正項(xiàng)等差數(shù)列, 若n

證明條件n

命題4.5[10]設(shè){ai}是正項(xiàng)等差數(shù)列, 公差d≥0, Sn是前n項(xiàng)和. 若n

證明由定理 1.5, {Si}既是凸數(shù)列, 也是對數(shù)凹數(shù)列. 由引理2.7知{iSi}既是凸數(shù)列也是對數(shù)凹數(shù)列, 余下證明類似于命題4.4, 從略.

命題4.6[11]設(shè)n>1, 則有下述階乘不等式:

證明由定理1.6知正項(xiàng)等差數(shù)列{i}的前i項(xiàng)乘積數(shù)列{i!}是對數(shù)凸數(shù)列. 利用引理2.8不難驗(yàn)證

據(jù)引理2.4, 由上式即得(4.15)式.

由引理2.1有

和

易見

據(jù)引理2.4, 由(4.20), (4.21)和(4.22)分別可得(4.16), (4.17)和(4.18).

利用引理2.8不難驗(yàn)證

據(jù)引理2.4, 由上式可得 (4.19).

命題4.7(Khinchin不等式[11]) 設(shè)nk為非負(fù)整數(shù), 且則

證明由定理1.6知正項(xiàng)等差數(shù)列{i}的前i項(xiàng)乘積數(shù)列{i!}是對數(shù)凸數(shù)列. 利用引理2.8不難驗(yàn)證

據(jù)引理2.4, 由(4.24)可得

即(4.23)成立.

命題4.8設(shè)n∈Z+, 則

證明由定理1.4知正項(xiàng)等差數(shù)列{i}的倒數(shù)數(shù)列是凸數(shù)列. 由引理2.1有

據(jù)引理2.2, 由(4.27)可得

當(dāng)n>2時, 因

成立. 而當(dāng)n=2時,故(4.25)成立.

利用引理2.8不難驗(yàn)證

于是

(4.25)和(4.26)兩式分別加細(xì)了文獻(xiàn)[12] 中第185頁的兩個不等式.

[1] 石煥南. 受控理論與解析不等式[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2012

[2] PE?ARI? J E, FRANK PROSCHAN AND TONG Y L.Convex functions, partial orderings, and statistical applications[M]. Academic Press.Inc., 1992

[3] 王伯英. 控制不等式基礎(chǔ)[M]. 北京: 北京師范大學(xué)出版社, 1990

[4] Marshall A W, Olkin I, Arnold B C.Inequalities: theory of majorization and its application(Second Edition) [M]. New York: Springer Press, 2011

[5] 石煥南, 李大矛. 凸數(shù)列的一個等價條件及其應(yīng)用[J]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報(自然版), 2001, 27(4): 4～6

[6] 石煥南. 凸數(shù)列的一個等價條件及其應(yīng)用, Ⅱ[J]. 數(shù)學(xué)雜志, 2004, 24(4): 390～394

[7] 李 明. 關(guān)于正項(xiàng)等差數(shù)列冪和式的雙邊不等式[J]. 中國初等數(shù)學(xué)研究, 2014,5:41～42

[8] 盛宏禮. 正項(xiàng)等差數(shù)列一類分式不等式[J]. 中國初等數(shù)學(xué)研究, 2014, 5: 58～61

[9] 盛宏禮. 正項(xiàng)等差數(shù)列一類新不等式[J]. 數(shù)學(xué)通訊, 2011,11(下半月): 34～35

[10] 李玉群, 李永利. 關(guān)于正項(xiàng)等差數(shù)列方冪的若干不等式研究[J]. 濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報, 2005, 4(3): 21～23

[11] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 第4版. 濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2010

[12] 甘志國. 數(shù)列與不等式[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2014

Convexity and Logarithmic Convexity of Arithmetic Sequence

SHI Huan-nan1, LI Ming2
(1. Department of Electronic Information, Teacher's College of Beijing Union University, Beijing 100011, China; 2. Teaching & Research Group of Mathematics, China Medical University, Shenyang 110001, China)

The convexity and logarithmic convexity of the arithmetic sequence are studied. And then by using methods on the theory of majorization, some arithmetic sequence inequalities are proved.

arithmetic sequence, convexity, logarithmic convexity, inequality, majorization

O178

A

1672-5298(2014)03-0001-06

2014-07-07

石煥南(1948? ), 男, 湖南祁東人, 北京聯(lián)合大學(xué)教授. 主要研究方向: 解析不等式