華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)院(510631)葉秀錦 韓彥昌

三元立方和最值問(wèn)題是數(shù)學(xué)高考和競(jìng)賽中比較常見(jiàn)的問(wèn)題,但是絕大都數(shù)是限定在一個(gè)凸性一致的區(qū)間,比如利用琴生不等式來(lái)解決問(wèn)題[1-2],對(duì)于不限定在一個(gè)凸性一致的區(qū)間的問(wèn)題甚少有文章研究.本文主要研究《數(shù)學(xué)通報(bào)》的問(wèn)題2530 的一般化,解決了三元立方和在一個(gè)非凸性一致區(qū)間的最大值問(wèn)題.

問(wèn)題(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2020年2 月號(hào)問(wèn)題2530[3])已知a,b,c ∈[?2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3的最大值.

供題人張?jiān)迫A構(gòu)造了一個(gè)函數(shù)(x?2)(x+1)2=x3?3x?2,作者利用這個(gè)函數(shù)恒不大于0,得到a3+b3+c3≤3(a+b+c)+6=6,最終指出a,b,c中有1 個(gè)2 和2 個(gè)?1時(shí)取得最大值[3].我們注意到這種方法的局限性強(qiáng),它只適合于a+b+c的和為某些定值的情形,當(dāng)我們將興趣轉(zhuǎn)到a+b+c的和為變化的值時(shí),這種方法將無(wú)法解決問(wèn)題.下面我們用磨光變換法將原題推廣到a+b+c=p(?6

引理1對(duì)于任意a≤x1≤x2≤x3≤x4≤b,x1+x4=x2+x3,若f(x)在[a,b]為下凸函數(shù),均有f(x1)+f(x4)≥f(x2)+f(x3),等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=x4.

本文研究了三元立方和在一個(gè)非凸性一致區(qū)間的最大值,研究過(guò)程可作為更多非凸性一致區(qū)間最值問(wèn)題提供參考,結(jié)論也可改編成競(jìng)賽題.