江蘇省南京市第九中學(xué)(210018)尤榮勇

1 問題提出

“微專題”是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)特別是二、三輪復(fù)習(xí)經(jīng)常采用的課型.所謂“微專題”就是指聚焦一個具體考點如重點、難點或熱點,以專題的形式組織教學(xué)活動,幫助學(xué)生內(nèi)化知識,構(gòu)建結(jié)構(gòu),再進(jìn)行知識的遷移、整合和運用的課堂授課的模式.在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)實踐中,在采用微專題課型時有部分教師還存在一些誤區(qū),筆者結(jié)合這幾年在高三一線的上課和聽課學(xué)習(xí)情況,對微專題課型中的一些誤區(qū)和同仁們探討.

2 誤區(qū)舉隅及對策

2.1 只顧題型訓(xùn)練,忽略思維關(guān)聯(lián),“反復(fù)弄小技”,“丹青妙處不可傳”.

有些老師認(rèn)為,高三復(fù)習(xí)微專題教學(xué)的基本模式就是:先梳理這節(jié)微專題知識點或有關(guān)題型,接著進(jìn)行類題訓(xùn)練.這種做法無可厚非,但只顧套用題型,忽略或縮略題型本身的分析過程和模式識別的思維過程,只是“反復(fù)弄小技”式的就題論題而沒有變式拓展,不能點破題與題之間關(guān)聯(lián)的那層紙,不去突破“類”的束縛進(jìn)入深度的探究學(xué)習(xí),就一直停留在“丹青妙處不可傳”的層面,對提高解題能力著實沒有多大幫助.

對策對于微專題教學(xué),指導(dǎo)學(xué)生要從最基本的題型出發(fā),不是追求簡單“形”上的相似,而是要挖掘思想上的“神似”,解題時擦亮眼睛、抽絲剝繭,尋找有價值的解題線索,在拓展、延伸中類化方法,提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),努力使學(xué)生從“云深不知處”到“不畏浮云遮望眼,只緣身在最高層”.

2.2 只顧結(jié)構(gòu)完整,忽略學(xué)生接受能力,“蜀道難,難于上青天”.

教學(xué)實踐中,有些老師多年任教高三,對高考的命題耳熟能詳.因為自己站得較高,過于甚至過早瞄準(zhǔn)高考要求,力圖使自己的教學(xué)能一步到位,在復(fù)習(xí)工作中不經(jīng)意間就會定位過高、選題過難來提高教學(xué)的起點.特別是在復(fù)習(xí)函數(shù)與數(shù)列等內(nèi)容,老師很容易使微專題走上將教學(xué)難點堆積之路.事實上,這些曲高和寡的專題是“?！倍弧拔ⅰ?對大多數(shù)同學(xué)來說都是望塵莫及.這樣做不但不能準(zhǔn)確解答類似問題,還會給學(xué)生的心理造成很大的壓力.

筆者曾在一個中等層次的學(xué)校學(xué)習(xí)觀摩一節(jié)“函數(shù)極值點偏移問題的處理策略”微專題復(fù)習(xí)課.教者將一些極值點問題進(jìn)行歸類,選擇3 道按照是否含有參數(shù)進(jìn)行一級分類,將極值點偏移問題分為含有參數(shù)類和不含有參數(shù)類,再進(jìn)行二級分類,按照極值點表現(xiàn)形式,將其分為極值點之和、之差、之積、之商幾類.解決問題方法進(jìn)行套路化:構(gòu)造齊次式換元、構(gòu)造新函數(shù)、分離變量、借助對數(shù)平均不等式等.當(dāng)然函數(shù)極值點問題無論是在高考還是?？贾?作為熱點題型往往以壓軸題的形式給出,但是此類問題變化多端,優(yōu)秀學(xué)生掌握都有一定難度,這樣一個專題在中等層次學(xué)校而且放在一節(jié)課上處理,學(xué)生很難接受,大多數(shù)學(xué)生望題興嘆!

課后我隨機詢問了該班的同學(xué),問是否明白了課堂上老師的講解,結(jié)果大多同學(xué)回答說,“這個太難了,考到我也放棄!”教者這種急于求成、好高鶩遠(yuǎn)的現(xiàn)象,往往會產(chǎn)生兩種結(jié)果:對于一些喜歡鉆難題的同學(xué),遇到這類問題會愛不釋手、眼高手低而忽視基本題的訓(xùn)練,事實上高考壓軸題靈活性大,不是通過這種刷題就能解決的,最終難題不得分、基礎(chǔ)題丟了分;對于中等生甚至基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生反正聽不懂、干脆就不聽了,長期以往極容易使他們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏難情緒,打擊他們的信心、喪失了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與愛好,迷失了數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)方向.事實上,學(xué)生接受知識、掌握知識、運用知識需要一個過程,他們的認(rèn)知水平和分析問題、解決問題的能力與我們老師的預(yù)想存在很大差距.

對策我們的微專題復(fù)習(xí),應(yīng)該研究學(xué)情,根據(jù)學(xué)生實際情況,在他們的“最近發(fā)展區(qū)”確定微專題的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)難度.對于過難非重點的內(nèi)容直接不用講,對于過難卻又重要的內(nèi)容可以根據(jù)實際情況循序漸進(jìn)、各個擊破、分散進(jìn)行,要從“難于上青天”到“隨風(fēng)潛入夜”.

2.3 只顧特殊技巧,忽略通性通法,“是非成敗轉(zhuǎn)頭空”.

我們都知道,高考試題強調(diào)以能力立意,盡管能力型試題沒有固定解法,但不會過分強調(diào)解題的特殊技巧.通常情況下,技巧性越強,適用范圍就越小,只有上升到思想、觀念的層面,才能具有普適性.因此,即使是技巧,也應(yīng)該置于相應(yīng)的思想方法的統(tǒng)領(lǐng)之下,使之成為實施通性通法的思維策略下的具體手段與方式.有些老師在專題教學(xué)時,會傾向于應(yīng)用解題技巧,而忽略常規(guī)的解題方法與解題思想,這樣的微專題復(fù)習(xí)課往往變成了教師自我炫技的表演,結(jié)果反而會弄巧成拙,問題變化了學(xué)生便一籌莫展,到頭來只能是“一場游戲一場夢”.

案例2微專題“三角函數(shù)的最值復(fù)習(xí)課”教學(xué)片斷:

已知函數(shù)f(x)=2 sinx+sin 2x.則f(x)的最小值是____.

師:這個題大家可以研究函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)其單調(diào)性研究最小值,課上就不再贅述,我們不妨換兩個角度.

不難看出,方法1 是通過把函數(shù)最值構(gòu)造為圓的內(nèi)接三角形面積的最值,方法2 是借助三個正數(shù)的基本不等式,把積的最值轉(zhuǎn)化為和為定值來處理.應(yīng)該說,這兩個解法的確是用時少、準(zhǔn)確性也高,但這兩個解法對解決其他三角函數(shù)最值的借鑒作用可能有限,而且方法2 的知識點也明顯超出了課程標(biāo)準(zhǔn)要求.我們說不掌握通性通法,提高能力也將是一句空話.當(dāng)我們過分關(guān)注解題技巧時,反而連基本的解題思維都弱化了,非常容易導(dǎo)致學(xué)生遇到基本數(shù)學(xué)問題時,也無法利用規(guī)律及普適性的方法加以解決,出現(xiàn)“大道如青天,我獨不得出”的窘?jīng)r也就不足為怪.

對策在微專題教學(xué)中,應(yīng)加強基本方法的教學(xué),探求解決問題路徑的一般思維方式,注重通性通法,夯實基礎(chǔ),淡化巧解特法.課堂涉及到的解題方法一定要接地氣,既要能“跳一跳夠得到”,也要能“舊時王謝堂前燕,飛入尋常百姓家”.

2.4 只顧課前預(yù)設(shè),忽略問題生成,“種豆南山下,草盛豆苗稀”.

由于微專題涉及的知識點是學(xué)生以前學(xué)過的,因此許多教師就認(rèn)為:復(fù)習(xí)課不像授課那樣具有較大的探究空間,師生間互動的不確定性也較新授課要小,這使得復(fù)習(xí)課教學(xué)過程往往遵循著教師預(yù)先設(shè)定線路進(jìn)行,把專題的每一個環(huán)節(jié)都設(shè)想得細(xì)致人微,涉及到哪些知識點,有哪些方法,通過設(shè)計好的例題逐個解決,把教學(xué)內(nèi)容也規(guī)劃得清清楚楚,以期上課時能一帆風(fēng)順.這些所謂精心的設(shè)計卻忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)需要,讓學(xué)生產(chǎn)生一種被教師牽著走的感覺,失去了學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性,這也是很多課堂缺乏生命活力的原因之一.

案例3微專題“求曲線的軌跡方程復(fù)習(xí)課”的同課異構(gòu)片斷:

教者1 通過問題串,將求動點軌跡問題一般方法:直譯法、定義法、代入法(相關(guān)點法)、參數(shù)法、交軌法,通過例題逐個對號入住.這種把自己構(gòu)建好的“標(biāo)準(zhǔn)”直接“捧給”學(xué)生,要求學(xué)生亦步亦趨地按自己預(yù)想的“科學(xué)程序”進(jìn)行“填空”,當(dāng)學(xué)生“不到位”時,教師想方設(shè)法引其“上位”,當(dāng)學(xué)生“越位”時,教師或強行拉回,或不了了之.

教者2 通過一個小題:在ΔABC中,BC=2,頂點A滿足.則頂點A的軌跡方程為____.

學(xué)生通過“直譯”得到方程后,老師突然話鋒一轉(zhuǎn):你能改變題目中的條件來提出新的問題,并嘗試解答嗎?

學(xué)生2 把B,C看成平面兩個定點,A看成動點,根據(jù)圓錐曲線的定義,把條件“AB=λAC(λ >0)”改為“AB+AC=λ(λ >2)”,頂點A的軌跡方程是去掉與x軸交點的橢圓方程;把條件“AB=λAC(λ >0)”改為“AB?AC=λ(0<λ <2)”,頂點A的軌跡方程去掉與x軸交點的雙曲線一支.

教者2 把該問題抽象為動點到兩個頂點距離之和、之差、之比,有沒有之積呢?

同學(xué)們通過運算,發(fā)現(xiàn)之積不是熟悉的曲線方程,但有生3 發(fā)現(xiàn)若AB、AC長度之積改為?→AB·?→AC=λ(λ>0),曲線的方程是去掉與x軸交點的圓的方程.的條件還可以改為哪些?

教者2 若我要求頂點A的軌跡方程是圓或圓弧,這個θ <π)”.

......

教者2 通過拋轉(zhuǎn)引玉,一石激起千層浪,學(xué)生在改變題設(shè)條件時自然的用到了求曲線方程的直譯法、定義法、代入法等方法.這種生成是課堂教學(xué)的寶貴資源,使復(fù)習(xí)課的教學(xué)不是刻板灌輸而是順學(xué)而導(dǎo),體現(xiàn)了教師的教學(xué)智慧.

對策在運用微專題模式教學(xué)時,教師在精心預(yù)設(shè)好問題時,要兼顧學(xué)生的生成,要能為學(xué)生提供展示自己的舞臺,使課堂靈動充溢,精彩飛揚.授之以魚不如授之以漁,我們給學(xué)生一片天地,他們會還我們一串驚喜!由以往的“草盛豆苗稀”發(fā)展到“忽如一夜春風(fēng)來,千樹萬樹梨花開”.

2.5 只顧糾正錯誤,忽略錯因破析,“不識廬山真面目,只緣身在此山中”.

在采用微專題教學(xué)中,我們會發(fā)現(xiàn),有一些錯誤始終是學(xué)生的共性.甚至前面復(fù)習(xí)也已三番五次強調(diào)了,到頭來仍然“不斷重復(fù)昨天的故事”.不可忽視的一個原因就是在學(xué)生出現(xiàn)錯解、在相關(guān)知識理解與應(yīng)用方面有缺失時,我們漠視了它.

案例4某節(jié)微專題“函數(shù)的最值與極值復(fù)習(xí)課”片斷:

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1 處有極值10,則a+b=____.

教師投影了某位學(xué)生的解法:f′(x)=3x2+2ax+b,因為x=1 時函數(shù)有極值10,所以有

得

教者發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的錯誤,于是反問學(xué)生,兩組解是否都可以嗎?學(xué)生便通過回代檢驗,發(fā)現(xiàn)a=3,b=?3 是增根.于是教者提醒學(xué)生以后碰到兩組解要注意檢驗.學(xué)生求解過程中出現(xiàn)這種函數(shù)極值點即為導(dǎo)數(shù)為0 時的解的外現(xiàn)錯誤,教者沒有進(jìn)行深層次挖掘.

筆者認(rèn)為,以后再碰到類似問題,學(xué)生恐怕還是會出問題.顯然,上述錯解產(chǎn)生的根源在于對函數(shù)極值的定義認(rèn)識還不全面:導(dǎo)數(shù)等于零的點只是函數(shù)的駐點,它只是函數(shù)在該點處取得極值的必要條件而非充要條件.那么,如何借助上述錯解,不僅要加深學(xué)生對函數(shù)極值點這一知識的理解與掌握,還要完善學(xué)生在解決函數(shù)極值點問題的相關(guān)思維呢?教者不妨繼續(xù)追問:

(1)a=3,b=?3 為什么是增根?一定需要檢驗回代嗎?有無其它途徑?

(2)函數(shù)f(x)在x=1 處有極值10 的充要條件除了f(1)=10 之外,究竟還需要什么?

(3)如何保證x=1 是f′(x)的變號零點?

(4)對于常見三次函數(shù)y=f(x)有極值點x0,還有什么特殊的處理辦法?

通過這樣系列問題串,讓學(xué)生真正理解函數(shù)f(x)在x=x0處有極值的充要條件為x=x0是f′(x)=0 的解,且這個解是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的變號零點,若f(x)是三次函數(shù)還有f′(x)=0 中的Δ>0 這種個性化的處理方法.為了鞏固函數(shù)極值點這個難點,不妨再借題發(fā)揮一下,增加兩個變式:

變式1f(x)=x3+2x2?ax+1 在區(qū)間(?1,1)上恰有一個極值點,求實數(shù)a的取值范圍.

變式2已知函數(shù)f(x)=(x2?2ax+a2)lnx,若f(x)不存在極值點,求實數(shù)a的取值范圍.

這種通過錯解剖析、以錯糾錯來、變式拓展,有利于學(xué)生對知識的深刻理解、訓(xùn)練學(xué)生思維批判性來改善其思維品質(zhì),反之,如果學(xué)生出現(xiàn)錯解我們只是一味強行拉回,并把正確的解法拋給他們,盡管暫時學(xué)生會理解它,但時間一長,往往又所剩無幾.若能在數(shù)學(xué)微專題教學(xué)中,從根本上尋找錯解的原因,認(rèn)清什么是錯誤的,錯在何處,為何產(chǎn)生這種錯誤,從而探索避免錯誤發(fā)生的對策以及解決問題的正確思路、提高解答數(shù)學(xué)問題的準(zhǔn)確性.

對策微專題教學(xué)時,對于易錯題,在課堂上要舍得花時間,給予學(xué)生充分展示的機會,盡可能暴露其完整的思維過程,甚至讓全班同學(xué)共享“錯解資源”,讓出錯的同學(xué)經(jīng)歷由“誤”到“悟”的蛻變,從源頭上防范錯誤的再次發(fā)生,真正做到“不識廬山真面目”到“君自故鄉(xiāng)來,應(yīng)知故鄉(xiāng)事”.

2.6 只顧一題多解,忽略題之源頭,“岸勢犬牙差互,不可知其源”.

微專題教學(xué)中注重一題多解可以開闊學(xué)生思路、發(fā)散學(xué)生思維,使學(xué)生學(xué)會多角度分析問題、解決問題,其好處毋庸置疑.但我們在微專題教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn),有些老師采用一題多解的訓(xùn)練中存在著一些問題:對各種解法的聯(lián)系和蘊含的數(shù)學(xué)思想挖掘不夠,多解之后沒有反思總結(jié),沒有發(fā)現(xiàn)規(guī)律、找出問題本質(zhì),對問題本身的源流不清,僅僅使多解成為解法的羅列,一題多解正面臨著諸多偏離初心的問題,使得教學(xué)效益大打折扣.

案例5一節(jié)微專題“圓中的定點定值問題”的教學(xué)片段:

已知圓C:(x?3)2+(y?4)2=4.過定點A(1,0)的直線若l1與圓相交于P,Q兩點,線段PQ的中點為M,又l1與l2:x+2y+2=0 的交點為N,判斷是否為定值?若是求出其定值,若不是,請說明其理由.

對策在微專題教學(xué)中采用一題多解時,不僅要關(guān)注多種解法的獲取,還要善于尋求多解之“源頭”在哪里,挖掘出知識的聯(lián)系性、系統(tǒng)性,題目哪些條件改變會導(dǎo)致哪些方法不適用,而哪些方法又會顯得更容易求解.只有這樣正本清源,才能有利于學(xué)生對知識深刻理解、掌握,改善思維品質(zhì),促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí),“問渠那得清如許,為有源頭活水來”.

3 結(jié)語

微專題復(fù)習(xí)不是對傳統(tǒng)課堂的顛覆與否定,而是對傳統(tǒng)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模式的有益補充和完善,同時對教師提出了更高的要求,促使教師去研究、思考、總結(jié),這也是促進(jìn)教師更快成長的一種有效途徑.只要我們在使用過程中能夠揚長避短,就會改變原本枯燥、乏味、重復(fù)的高三復(fù)習(xí)模式,提高復(fù)習(xí)課效益.