廣東省東莞市麻涌中學(xué)(523130)吳貞霞

對(duì)于廣義Fibonacci 數(shù)列的通項(xiàng)表示一般有三種方法,使用最多的便是采用特征方程或采用發(fā)生函數(shù)求解而得[1-5],其次還有不少學(xué)者采用類(lèi)似文獻(xiàn)[1]的行列式表示方法,且方法具有一般性.然而筆者發(fā)現(xiàn)很少有人采用組合分析法表示廣義Fibonacci 數(shù)列通項(xiàng),是否存在這樣的表示方法呢?答案是肯定的,本文將采用組合分析法給出二階廣義Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式,并且進(jìn)一步采用組合分析法研究了高階廣義Fibonacci 數(shù)列通項(xiàng)表示法.

1 準(zhǔn)備

定義1數(shù)列Fn若滿足Fn+1=uFn+vFn?1(u,v ∈+),F0=0,F1=1,則稱(chēng)數(shù)列Fn為二階廣義Fibonacci 數(shù)列.我們熟知的Fibonacci 數(shù)列實(shí)則當(dāng)u=v=1 的情況.

定義2數(shù)列Fn若滿足Fn=u1Fn?1+u2Fn?2+u3Fn?3,F0=0,F1=0,F2=1,則稱(chēng)數(shù)列Fn為三階廣義Fibonacci 數(shù)列.

定義3數(shù)列Fn若滿足Fn=u1Fn?1+···+ukFn?k,F0=0,···,Fk?2=0,Fk?1=1,則稱(chēng)數(shù)列Fn為k階廣義Fibonacci 數(shù)列.

2 主要結(jié)論及證明

定理1若數(shù)列Fn為二階廣義Fibonacci 數(shù)列,則.

證明(用組合分析法進(jìn)行證明)設(shè)G(n)表示一個(gè)司機(jī)要行駛到第n個(gè)城市的方法總數(shù),規(guī)定

1.相鄰兩個(gè)城市間有u條路線可選擇,稱(chēng)之為1 路.任意間隔一個(gè)城市的兩個(gè)城市間有v條路可選擇,稱(chēng)之為2 路,且2 路均不經(jīng)過(guò)中間那個(gè)城市.

2.司機(jī)從第i個(gè)城市開(kāi)至i+1 或開(kāi)至i+2 個(gè)城市時(shí)都必須停車(chē)加油后才能繼續(xù)前進(jìn).

3.司機(jī)每次加油后只能行駛1 個(gè)2 路,或行駛1 個(gè)1 路.

顯見(jiàn)G(1)=1,G(2)=u,且

令G(0)=0,則

因此數(shù)列(2)與二階廣義Fibonacci 數(shù)列有相同的初始值和相同的遞推關(guān)系,從而可知G(n)=Fn(n=0,1,2,···).

事實(shí)上,我們還可以采用數(shù)學(xué)歸納法證明.這類(lèi)二階廣義Fibonacci 數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中有著數(shù)學(xué)建模的作用,并且更加貼近生活.對(duì)其研究就顯得更加重要了.我們將上述定理證明過(guò)程中的模型簡(jiǎn)單地應(yīng)用于該類(lèi)數(shù)列的性質(zhì)定理,易得以下若干結(jié)論.

定理2若數(shù)列Fn為二階廣義Fibonacci 數(shù)列,則

Fm+n=FmFn+1+vFm?1Fn.

證明由定理1 證明過(guò)程中的模型,Fm+n表示司機(jī)到達(dá)第m+n個(gè)城市的線路總數(shù),則我們可將其分類(lèi),即司機(jī)恰好在第m個(gè)城市加油的路線總數(shù)為FmFn+1,而恰好不在第m個(gè)城市加油的路線總數(shù)為vFm?1Fn,故Fm+n=FmFn+1+vFm?1Fn,證畢.

例1數(shù)列Fn二階廣義Fibonacci 數(shù)列,且滿足u=2,v=3,求數(shù)列通項(xiàng)公式(采用組合分析法表示)

自然會(huì)問(wèn),對(duì)于高階廣義Fibonacci 數(shù)列的通項(xiàng)是否也能采用組合分析法進(jìn)行表達(dá)呢?

本文所給出的結(jié)論均是在初始值給定的情況下而得,其實(shí)對(duì)于任意的初始值都能用組合分析法得出相關(guān)結(jié)論,只需要將上述的模型中改變前k個(gè)城市的路線數(shù)量即可,此處從略.

3 小結(jié)

采用組合分析法不僅給出了二階廣義Fibonacci 數(shù)列的通項(xiàng)公式,還進(jìn)一步研究了高階廣義Fibonacci 數(shù)列通項(xiàng)公式.