鐘惠平

摘 要 通過(guò)對(duì)債券和債券組合所面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)的提出，引出債券利率敏感性的兩個(gè)度量工具，即修正久期和凸性。在對(duì)麥考利久期、修正久期、凸性進(jìn)行概念介紹時(shí)，同時(shí)也介紹了修正久期和凸性的適用情況，并運(yùn)用實(shí)例分析進(jìn)行說(shuō)明。

關(guān)鍵詞 利率類債券；麥考利久期；修正久期；凸性

當(dāng)投資者投資利率類債券時(shí)，總是希望獲得收益，而唯恐價(jià)格發(fā)生不利變動(dòng)導(dǎo)致自己的資產(chǎn)價(jià)值受損。市場(chǎng)上的基準(zhǔn)利率是債券價(jià)格的晴雨表，而基準(zhǔn)利率是不穩(wěn)定的，使得投資者的資產(chǎn)價(jià)值經(jīng)常發(fā)生變動(dòng)，這就是投資者面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)。投資者需要了解到自己面臨的利率風(fēng)險(xiǎn)的大小，即債券價(jià)格相對(duì)于利率變化的敏感性。通俗來(lái)說(shuō)，就是當(dāng)基準(zhǔn)利率變化發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)債券價(jià)格的變化幅度。債券價(jià)格的變動(dòng)程度越大，債券的敏感性越大，變動(dòng)程度越小，則債券的敏感性越小。比如，同樣作為利率類債券，當(dāng)利率上升（下降）0.01%，A債券的價(jià)格下降（上升）了0.5%，而B(niǎo)債券上升（下降）了0.4%，我們會(huì)說(shuō)，A債券的利率敏感性大于B債券的，即A債券的利率風(fēng)險(xiǎn)更大。

我們通常利用修正久期和凸性去表示債券的利率敏感性。當(dāng)利率水平變化幅度很小時(shí)，修正久期可以囊括利率的變化所帶來(lái)的債券價(jià)格的變化。但由于債券的價(jià)格收益率曲線并非為一條直線，而是凸型的，這就決定了當(dāng)利率水平發(fā)生較大幅度的變動(dòng)時(shí)，僅僅依靠修正久期，沒(méi)有辦法完全反映債券價(jià)格相對(duì)于利率變化的敏感性。這時(shí)，我們需要引進(jìn)一個(gè)新的概念，就是凸性，運(yùn)用修正久期和凸性去衡量債券價(jià)格相對(duì)于利率的敏感性，使得債券的預(yù)測(cè)價(jià)格和實(shí)際理論價(jià)格的誤差變得很小。以下理論的假設(shè)前提是利率期限結(jié)構(gòu)是水平的。

一、久期

首先我們引入了久期的概念，久期是最早由美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家麥考利于1938年提出，被稱為麥考利久期。最初是將麥考利久期作為衡量投資者進(jìn)行債券投資的回收期限，后來(lái)逐漸才將它作為衡量債券價(jià)格的利率敏感性的一個(gè)指標(biāo)。麥考利久期的計(jì)算是將債券現(xiàn)金流現(xiàn)值于債券現(xiàn)金流總現(xiàn)值的比值作為權(quán)重，對(duì)回收各期現(xiàn)金流的期限進(jìn)行加權(quán)平均得出來(lái)的，并且用字母D表示。按照定義，麥考利久期的計(jì)算公式為

二、修正久期

久期被描述為債券投資回收的平均年限，其單位為年，當(dāng)其用來(lái)表示利率敏感性時(shí)，其實(shí)并不是十分準(zhǔn)確的，這里我們引進(jìn)修正久期。

修正久期的推導(dǎo)如下：債券價(jià)格

將債券價(jià)格對(duì)利率進(jìn)行求導(dǎo)

兩邊除以P得到

得 得

這里的 即為修正久期，修正久期直接衡量債券價(jià)格的利率敏感性，式中表示的意義是債券價(jià)格的變動(dòng)率是修正久期與利率變動(dòng)量的乘積。負(fù)號(hào)表示債券價(jià)格變動(dòng)與利率變動(dòng)成反比關(guān)系。此時(shí)，債券價(jià)格的變化率是利率變化量的線性函數(shù)。但這個(gè)公式成立的前提條件是利率的變化量非常小，以至于我們可以忽略凸性，使得債券的預(yù)測(cè)價(jià)格和理論價(jià)格的誤差非常小。

三、凸性

在債券或者債券組合中，其久期本身也會(huì)隨著利率的變化而變化，當(dāng)利率變化很小時(shí)，久期的變化也十分小，此時(shí)我們可以直接利用久期計(jì)算債券的利率敏感性，這樣計(jì)算出來(lái)的債券價(jià)格的變化量的誤差非常小。但是當(dāng)利率變化程度較大時(shí)，久期不能完全描述債券價(jià)格對(duì)利率變動(dòng)的敏感性，于是在1984年Stanley Diller引進(jìn)了凸性的概念，表示久期對(duì)于利率變動(dòng)的敏感性。久期描述了價(jià)格收益率曲線的斜率，而凸性描述了價(jià)格收益率曲線的彎曲程度，彎曲程度越大，凸性越大。

將債券價(jià)格的變動(dòng) 對(duì)市場(chǎng)利率（i）進(jìn)行泰勒展開(kāi)

方程的兩邊同時(shí)除以債券的價(jià)格P，得到債券價(jià)格變動(dòng)率 對(duì)利率i的泰勒展開(kāi)式

上式中的一階項(xiàng)和二階項(xiàng)為債券價(jià)格對(duì)利率變動(dòng)的一節(jié)敏感性和二階敏感性，二階敏感性對(duì)應(yīng)的就是我們談到的凸性，即 。

將上式中的一階項(xiàng)和二階項(xiàng)保留下來(lái)，將其余部分剔除，即得到 。

四、修正久期和凸性的計(jì)算和應(yīng)用

假設(shè)債券面值為100，票面利率為5%，利率期限結(jié)構(gòu)為水平，到期收益率為5%，一年付息一次的五年期付息債券

（一）利率變動(dòng)幅度小， 0.01%。

1.只利用修正久期去衡量債券價(jià)格變動(dòng)。修正久期為4.329476671，當(dāng)利率增加一個(gè)基點(diǎn)時(shí)，預(yù)測(cè)債券價(jià)格為99.95670523，理論價(jià)格為99.9567172，誤差率為-0.00001197%。

2.利用修正久期和凸性預(yù)測(cè)債券價(jià)格。修正久期為4.329476671，凸性為23.9359875，當(dāng)利率增加一個(gè)基點(diǎn)時(shí)，預(yù)測(cè)債券價(jià)格為99.9567172，理論價(jià)格為99.9567172，誤差率為-0.0000000026%。

（二）利率變動(dòng)幅度較大， 0.1%

1.只利用修正久期去衡量債券價(jià)格變動(dòng)。修正久期為4.329476671，當(dāng)利率增加十個(gè)基點(diǎn)時(shí)，預(yù)測(cè)債券價(jià)格為99.56705233，理論價(jià)格為99.56824652，誤差率為-0.0011993671%。

2.利用修正久期、凸性去衡量債券價(jià)格變動(dòng)。。修正久期為4.329476671，凸性為23.9567875，當(dāng)利率增加十個(gè)基點(diǎn)時(shí)，預(yù)測(cè)債券價(jià)格為99.56824913，理論價(jià)格為99.56824652，誤差率為-0.0000026219%。

從以上利用久期和凸性衡量債券價(jià)格變化的實(shí)例中可得知，當(dāng)變動(dòng)幅度為0.01%（利率變動(dòng)幅度很?。r(shí)，只利用修正久期計(jì)算債券價(jià)格的變動(dòng)所產(chǎn)生的誤差率為-0.00001197%；利用修正久期和凸性計(jì)算債券價(jià)格的變動(dòng)所產(chǎn)生的誤差率為預(yù)測(cè)債券價(jià)格誤差率為-0.0000000026%。利用久期和凸性兩者共同所預(yù)測(cè)的債券價(jià)格更加精確，但是利用修正久期或者利用修正久期和凸性共同預(yù)測(cè)的誤差都不大。

當(dāng)變動(dòng)幅度為0.1%（利率變動(dòng)幅度較大）時(shí)，只利用修正久期計(jì)算債券價(jià)格的變動(dòng)所產(chǎn)生的誤差率為-0.0011993671%；利用修正久期和凸性計(jì)算債券價(jià)格的變動(dòng)所產(chǎn)生的誤差率為預(yù)測(cè)債券價(jià)格誤差率為-0.0000026219%。只利用修正久期去預(yù)測(cè)債券價(jià)格的誤差將會(huì)放大很多倍，誤差率達(dá)到-0.0011993671%，而利用久期和凸性兩者共同所預(yù)測(cè)的債券價(jià)格則精確得多，誤差率只有-0.0000026219%。

說(shuō)明，當(dāng)利率變動(dòng)幅度很小時(shí)，利用修正久期已經(jīng)可以囊括債券價(jià)格的絕大多數(shù)波動(dòng)，此時(shí)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果是準(zhǔn)確的。而當(dāng)利率變動(dòng)幅度很大時(shí)，只利用修正久期去預(yù)測(cè)債券價(jià)格將會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，此時(shí)，務(wù)必需要使用修正久期和凸性共同預(yù)測(cè)。