在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)試題編制方式大多是對教材習題或高考原題的模仿與改進.但這種方式由于缺乏對試題內(nèi)在本質(zhì)的深入探究，導(dǎo)致編制出的試題創(chuàng)新性不足，易使命題者陷入盲目模仿高考題的循環(huán)，不利于有效培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維與解決實際問題的能力．為打破這一困境，本文以足球游戲為例，詳細闡述如何將生活情境融入數(shù)學(xué)試題編制，并對試題進行深度挖掘，旨在探索更科學(xué)、更有效的情境化試題編制方法.

考試題的同源性，更有助于把握數(shù)學(xué)知識的核心本質(zhì)，提升試題編制的質(zhì)量與針對性.本文選取人教A版（2019）普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第七章第1節(jié)課后習題\"拓廣探索\"作為研究起點．該習題為：“證明：當 P（AB）gt;0 時， P（ABC）=P（A） ·P（B|A）P（C|AB） ，據(jù)此你能發(fā)現(xiàn)計算 P（A₁A₂...A_n） 的公式嗎？\"這一習題蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想與方法，為后續(xù)情境化試題的編制提供了堅實的知識基礎(chǔ).

基于高考評價體系的“同境異構(gòu)”情境化試題案例

題實踐中發(fā)揮著至關(guān)重要的引領(lǐng)作用.該體系強調(diào)高考命題需貫穿“核心價值金線”，即試題應(yīng)充分體現(xiàn)社會主義核心價值觀，落實立德樹人的根本任務(wù)；“能力素養(yǎng)銀線\"則著重考查學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力和實踐能力，確保高考能夠有效選拔具備核心素養(yǎng)的優(yōu)秀人才．而情境作為考查的重要載體，有機融合核心價值與能力素養(yǎng)，使試題更具現(xiàn)實性和應(yīng)用性，成為連接\"金線”和\"銀線\"的關(guān)鍵橋梁.

課本知識溯源

2020年頒布的《中國高考評價體系》作為新時代高考內(nèi)容改革的核心理論依據(jù)與實踐指南，對高考的考查內(nèi)容和考查要求進行了全面、系統(tǒng)的界定，這明確揭示了教科書習題在高考命題過程中的關(guān)鍵作用.因此，相較于單純模仿高考題，深入鉆研教材習題.

基于高考評價體系“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)\"的核心功能，情境化試題編制需圍繞這一目標制定科學(xué)合理的考查目標.具體而言，應(yīng)依據(jù)必備知識、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價值四個考查內(nèi)容維度進行價值引領(lǐng)；通過創(chuàng)設(shè)多樣化情境，運用文字、數(shù)據(jù)、圖表、圖象等多種形式，圍繞特定主題構(gòu)建情境模型，呈現(xiàn)符合基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性要求的解題信息，并設(shè)計相應(yīng)問題任務(wù)，實現(xiàn)對學(xué)生知識掌握程度、思維能力和核心素養(yǎng)的全面測評.

1.情境設(shè)置

筆者所在學(xué)校作為傳統(tǒng)的市級體育強校，女子足球項目成績卓越，多次在國家級比賽中斬獲佳績．女足隊員們無論嚴寒酷暑，始終堅持刻苦訓(xùn)練，其拼搏精神與團隊協(xié)作能力令人欽佩.基于學(xué)校這一特色資源，筆者期望設(shè)計一道融合女子足球元素的數(shù)學(xué)試題，將學(xué)生熟悉的校園生活情境與數(shù)學(xué)知識考查有機結(jié)合.恰逢高三年級階段性測試，選取足球訓(xùn)練間隙的趣味游戲作為試題背景：日常足球訓(xùn)練間隙，女足隊員常開展趣味傳球游戲.該游戲由5名隊員參與，其中1名為進攻者，4名為防守者.4名防守隊員分別站在正方形的四個頂點處，彼此間進行傳球.當任意1名防守隊員成功將球傳給其他防守隊員后，需即刻退出游戲，由接球隊員繼續(xù)主導(dǎo)傳球；若防守隊員在傳球過程中，球被進攻隊員觸碰，或出現(xiàn)傳丟球的情況，則判定為“死球”

2.條件創(chuàng)設(shè)

為使試題具有可操作性和數(shù)學(xué)邏輯性，對游戲情境設(shè)定相關(guān)條件：假設(shè)每一名防守隊員出現(xiàn)“死球\"的概率均為 ，且每一名防守隊員接到球的概率相等．這一條件設(shè)定在簡化問題的同時，也為后續(xù)的概率計算提供了統(tǒng)一的標準和基礎(chǔ).

3.有效設(shè)問

在上述情境與條件基礎(chǔ)上，設(shè)置具體問題：現(xiàn)設(shè)定A， _B，C，D 四名隊員首先作為防守者，由A隊員發(fā)球， ε_E 隊員作為進攻隊員．計算經(jīng)過3次傳球后， D 隊員才持球的概率．此問引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)的概率知識，分析和解決實際情境中的問題，考查學(xué)生對相應(yīng)知識的綜合運用能力.

4.問題求解

在中學(xué)階段，只需在理解問題的基礎(chǔ)上，運用基礎(chǔ)的概率方法，便能解決這道概率應(yīng)用題，得出該問題的一個封閉答案．假設(shè)經(jīng)過3次傳球后， D 隊員才持球為事件A，則 P（A）=

問題的深度挖掘 一數(shù)學(xué)建模 問題的構(gòu)建

盡管上述試題已經(jīng)得到解答，但其背景中仍有許多值得深入探討的問題．例如，為何選定4名防守隊員，而不是更多或更少的隊員？在現(xiàn)實情況下，隊員間足球技術(shù)的差異會導(dǎo)致“死球\"的概率不同，而且如果防守隊員長時間無法搶到球，可能會降低他們的參與積極性．此外，設(shè)計這類試題對數(shù)學(xué)教學(xué)工作有何具體意義？鑒于這些思考，有必要進一步增加試題的開放性，以充分激發(fā)學(xué)生在問題解決過程中的主動性和決策能力.

1.情境創(chuàng)設(shè)

在平時枯燥的學(xué)習與訓(xùn)練過程中，為有效激發(fā)學(xué)員更深層次的參與熱情，教練往往會安排一些游戲活動，讓學(xué)員在緊張的訓(xùn)練之余能夠得以放松.現(xiàn)根據(jù)相關(guān)情況，給出合理性建議，并形成書面報告供教練參考.

2.條件創(chuàng)設(shè)

在日常的足球訓(xùn)練中，女足隊員們常利用休息時間參與足球趣味游戲，以提高團隊協(xié)作能力和踢球技能我們對其中一款游戲進行了詳細研究，其規(guī)則如下：共有 _n+1 名隊員（分別標記為 參與游戲，其中1名為進攻隊員， n 名為防守隊員．防守隊員圍成一個圓圈，進攻隊員在圓圈內(nèi)任意位置發(fā)起進攻．每當任意1名防守隊員成功傳球后，她將立刻退出游戲，剩余隊員繼續(xù)傳球.若最后只剩1名防守隊員，或者在規(guī)定的時間內(nèi)防守方達到預(yù)定的傳球次數(shù)且未發(fā)生“死球”，則防守方獲勝，游戲結(jié)束；反之，若防守隊員在傳球過程中出現(xiàn)“死球”則進攻方獲勝若防守方獲勝，則雙方保持原有身份，繼續(xù)下一輪游戲；若進攻方獲勝，則防守隊員與進攻隊員交換身份，開始新一輪游戲.

3.有效設(shè)問

為確保游戲的公平性和可行性，提出以下問題任務(wù)：請結(jié)合每位隊員的“死球”概率，建立合理的評價模型，對該游戲的可行性進行評估．此問引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模的方法，綜合考慮多種因素，解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.

4.問題求解

要解決這個問題，我們首先需思考：防守隊員成功將球傳出去后，由誰來接球？如果進攻隊員靜止地站在圓圈內(nèi)，比如站在圓圈的中心，此時防守隊員將球傳給身邊隊員的成功率是最高的．這既保證了球能夠成功傳出，同時在隊員數(shù)量減少的情況下，防守方獲勝的概率也會增大.然而，考慮到進攻隊員可以出現(xiàn)在圓圈內(nèi)的任意位置，此時制定者可以做一個合理假設(shè)，即每一名隊員接到球的可能性相同.這樣做既能簡化問題，又能較好地還原實際情境．實際上，在數(shù)學(xué)建模中，適當做出假設(shè)是學(xué)生處理建模問題的一項重要能力.

進一步思考，在實際訓(xùn)練中，每一名隊員的傳球技巧存在差異，這顯然會對“死球”發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，也就是說，每一名隊員的“死球\"概率不同.由此，一個新的問題出現(xiàn)了：如何合理選取防守隊員的“死球\"概率呢？在這種情況下，制定者需要利用網(wǎng)絡(luò)資源，從權(quán)威數(shù)據(jù)源中挑選合適的數(shù)據(jù).在挑選數(shù)據(jù)時，為了更貼合實際情況，建議制定者根據(jù)正態(tài)分布原理進行選擇．在解決了“死球\"概率和成功接球概率的問題之后，接下來需要思考的是：建立怎樣的模型來判斷游戲是否可行？

我們在此提供一種思路供讀者參考．足球游戲通常在訓(xùn)練間隙進行，游戲時間有限.從教練的角度來看，希望既能讓隊員放松，又能較好地節(jié)省隊員體力；從隊員的角度出發(fā)，希望在有限時間內(nèi)實現(xiàn)人員多次輪換，避免某個隊員一直擔任防守隊員，以增強游戲的趣味性．由此，可以得出整個數(shù)學(xué)建模過程：

（1）模型假設(shè)

① 由于進攻隊員在圓圈內(nèi)的位置是隨機的，因此假設(shè)每一名防守隊員的接球概率相等.② 由于每一名隊員的傳球能力不同，因此假設(shè)每一名防守隊員的“死球\"概率不同.

（2）符號說明 （3）模型建立與求解

為避免防守隊員故意拖延時間導(dǎo)致游戲不公平，可增設(shè)游戲規(guī)則：在規(guī)定時間內(nèi)，防守隊員必須成功完成至少 k₀ 次傳球，否則防守失敗，進攻方獲勝.

在規(guī)定的時間內(nèi)，設(shè)防守方可傳球 k（k₀?k?n-1 ）次，記防守方傳球 k 次后獲勝的概率為 P_k ，防守方獲勝的概率為 P（A） ，則：

P_i1）?（1-P_i2）?（1-P_i3）…?（1-P_ik）=

由此可得：

（其中， （i₁，i₂，…，i_k） 為 1，2，…，n 的一個 ?k 元排列）

參考OPTA數(shù)據(jù)公司公布的歐洲專業(yè)頂尖球員失球率數(shù)據(jù)（一般在20%～30% ，結(jié)合球隊球員數(shù)量（如11名球員）及正態(tài)分布特性（如68-95-99.7規(guī)則），選取近似服從正態(tài)分布的球員數(shù)據(jù)，利用MATLAB編程計算得出 P（A）=0.006.

（4）模型的結(jié)論

由于防守方獲勝的概率 P（A）= 0.006，趨近于0，表明在一輪游戲中，防守方獲勝屬于小概率事件，即防守隊員和進攻隊員在有限時間內(nèi)進行身份輪換近乎必然．這一結(jié)果能夠較好地滿足教練節(jié)省隊員體力、促進隊員放松以及隊員希望增加輪換、提升游戲趣味性的需求，從而驗證了該游戲設(shè)計的可行性.

情境化試題的編制思路與深度思考

1.情境化試題的編制思路

教育部在《教育信息化“十三五”規(guī)劃》中明確倡導(dǎo)推動高考改革，強調(diào)使用貼近實際生活和具體情境的試題，以全面考查學(xué)生綜合素質(zhì)和解決實際問題的能力.隨著教育改革的持續(xù)推進，提升教師的命題能力已成為教師專業(yè)發(fā)展的必然趨勢.高考情境化試題對教師的教學(xué)能力和學(xué)科素養(yǎng)提出了更高要求，教師不僅要熟練傳授學(xué)科知識，更要注重培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新思維．在日常試題編制過程中，教師可遵循以下流程： ① 深入分析教材知識，選取具有代表性和啟發(fā)性的知識點作為命題基礎(chǔ)； ② 結(jié)合學(xué)生生活實際和社會熱點，創(chuàng)設(shè)生動、真實的問題情境；③ 合理設(shè)置條件，確保情境的邏輯性和問題的可解性； ④ 有效設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識分析和解決問題；⑤ 通過“同境異構(gòu)\"的方式，對試題進行拓展和優(yōu)化，豐富試題的考查維度；⑥ 對試題進行深度挖掘，引導(dǎo)學(xué)生進行探究性學(xué)習，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和綜合素養(yǎng).

2.情境化試題的深度思考

情境化試題大多以數(shù)學(xué)建模為核心，其過程是將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并運用數(shù)學(xué)方法求解.這一過程的關(guān)鍵在于對現(xiàn)實世界的抽象理解、參數(shù)確定、模型選擇和數(shù)學(xué)表達.在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)建模問題時，需要著重關(guān)注以下幾個方面.

（1）精確的數(shù)學(xué)表達：運用準確、簡潔的數(shù)學(xué)語言描述實際問題，尤其是在模型建立過程中，對關(guān)鍵信息和條件的表述必須清晰、嚴謹，避免產(chǎn)生歧義，確保學(xué)生能夠準確理解問題本質(zhì)，為模型構(gòu)建奠定基礎(chǔ)

（2）科學(xué)的參數(shù)設(shè)置：根據(jù)學(xué)生的知識水平和認知能力，合理設(shè)置和調(diào)整模型參數(shù).對于復(fù)雜問題，可通過降維、簡化等方式，降低問題難度，使學(xué)生能夠在現(xiàn)有知識框架內(nèi)解決問題，同時又能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和建模能力.

（3）多元問題的設(shè)計：基于同一問題背景，從不同維度設(shè)計問題，如評價型問題、優(yōu)化型問題、預(yù)測型問題等.通過多樣化的問題設(shè)計，培養(yǎng)學(xué)生的多角度思考能力和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

本文以足球游戲為案例，探討了情境化試題的編制思路，并進行了深度思考，為數(shù)學(xué)教學(xué)中情境化試題的編制提供了切實可行的方法與策略，這不僅有助于提升教師的命題能力，更能夠有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.