“微專題\"是高三二輪復(fù)習(xí)的重要課型，以某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)方法作為課堂探索的核心，帶領(lǐng)學(xué)生追溯其原始階段，以概念作為教學(xué)起點(diǎn)，借助明線與暗線串聯(lián)教學(xué)內(nèi)容，形成教學(xué)專題，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)、提升能力．“微\"和“?！笔俏ｎ}教學(xué)的核心特征：從教學(xué)主題來看，“微\"體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容“切口小”，它能將與探索主題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，增強(qiáng)學(xué)生的感知與理解；“專\"則主要體現(xiàn)在對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深度探索、考點(diǎn)的細(xì)致剖析、知識(shí)的精準(zhǔn)辨析以及難點(diǎn)的有效突破上.

教學(xué)分析

本節(jié)課為高三二輪復(fù)習(xí)課，執(zhí)教對(duì)象為理科班，學(xué)生具備較好的理論與解題基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣較高.但學(xué)生存在分層現(xiàn)象，部分學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，對(duì)“圓\"章節(jié)存在畏難情緒.通過課前測試分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“點(diǎn)和圓”“直線和圓”\"圓和圓\"的位置關(guān)系掌握良好，邏輯推理與運(yùn)算能力較強(qiáng)，能夠熟練運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等思想方法.基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)與現(xiàn)存不足，選擇“與圓相關(guān)的范圍問題\"作為“微專題\"展開教學(xué)，聚焦薄弱環(huán)節(jié)深化學(xué)習(xí).

教學(xué)過程

1.導(dǎo)入主題

課堂伊始，教師向?qū)W生說明“直線的方程\"“圓的方程\"的高考要求，強(qiáng)調(diào)解決“直線與圓\"問題主要有以下兩個(gè)途徑： ① 從問題的幾何背景出發(fā)，依據(jù)圖形的幾何關(guān)系，挖掘問題中的隱含條件，通過等價(jià)轉(zhuǎn)換解題；② 將問題代數(shù)化，借助方程（組）進(jìn)行求解.結(jié)合學(xué)生課前測試的情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在等價(jià)轉(zhuǎn)換方面存在較多問題，因此設(shè)計(jì)此堂專題復(fù)習(xí)課，重點(diǎn)探討如何解決與圓相關(guān)的范圍問題.

設(shè)計(jì)意圖開門見山地向?qū)W生展示教學(xué)主題、選題原因以及教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，一方面節(jié)省課堂時(shí)間，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)方向；另一方面迅速激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使其將注意力集中到課堂學(xué)習(xí)中，為后續(xù)教學(xué)做好鋪墊，

2.例題展示

例1已知圓 O：x²+y²-1=0 ，直線：2x+y=2 上存在一點(diǎn) ^C，AB 為圓0上的一條弦，且弦AB垂直平分CO這根線段，那么點(diǎn)C橫坐標(biāo)的取值范圍為

師：關(guān)于本題，你們是怎么想的？

生1：題中提到了“垂直平分\"這個(gè)詞，說明存在垂直與中點(diǎn)這兩個(gè)隱含條件.

生2：垂直能理解，但中點(diǎn)不太容易明白，若將條件轉(zhuǎn)化為線段CO的中點(diǎn)處于圓內(nèi)，倒是可以理解

生3：這是基于“形\"的視角進(jìn)行的分析，其實(shí)我們還可以基于“數(shù)\"的視角來研究.

師：哦？能不能描述得更具體一些？

生3：借助直線方程先將點(diǎn)C的坐標(biāo)設(shè)出來，然后將線段CO的中點(diǎn)M的坐標(biāo)寫出來，只要確保OM小于1即滿足條件.

設(shè)計(jì)意圖以一道簡單的問題作為學(xué)生思維的起點(diǎn)，幫助所有學(xué)生順利跨越本節(jié)課專題教學(xué)的門檻．設(shè)計(jì)這一問題，旨在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決此類問題的關(guān)鍵在于精準(zhǔn)理解題意，并靈活轉(zhuǎn)化“點(diǎn)與圓”的位置關(guān)系，從而為后續(xù)進(jìn)一步深入探究奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

3.深入探索

例2已知點(diǎn) P 為直線l： mx+y=3 上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條射線與圓 O：x²+ y²-1=0 分別相切于點(diǎn)A， B ，且 ∠BPA= 60^° ，那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是

師：如圖1所示，本題給了一個(gè)特殊角，那么在Rt△APO內(nèi)，如何借助特殊角轉(zhuǎn)化問題條件呢？

生4：可設(shè)定OP的長度為2.

師：根據(jù)0P=2可挖掘出什么條件？

生5：結(jié)合題意可知點(diǎn)0為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，若0P的長度為2，就代表了動(dòng)點(diǎn)P的活動(dòng)軌跡是半徑為2的圓（圓心為原點(diǎn)），這樣問題條件中就多了一個(gè)新的隱性軌跡一圓.

師：非常好！沿著這個(gè)思路繼續(xù)探索，會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？

生6：點(diǎn)P同處于新的圓與直線上，只要探索直線與圓的位置關(guān)系即可，也就是研究直線l： mx+y=3 與圓 C x²+y²-4=0 的公共點(diǎn).

師：上述探索過程很好地詮釋了從復(fù)雜到簡單、化未知為已知的思維路徑.接下來，讓我們共同探究以下幾個(gè)變式問題：

變式1增加條件“點(diǎn)P可令四邊形APBO為正方形”，待求結(jié)論保持不變.

變式2增加條件“點(diǎn)P可令PA· 成立”，待求結(jié)論保持不變.

設(shè)計(jì)意圖例2是在例1的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，其難度雖略有提升，但仍處于學(xué)生的認(rèn)知范圍內(nèi)．該設(shè)計(jì)一方面著重培養(yǎng)學(xué)生敏銳的“發(fā)現(xiàn)\"能力，另一方面著力提升學(xué)生靈活的“轉(zhuǎn)化”能力．通過設(shè)置變式，引導(dǎo)學(xué)生深入探究隱性軌跡在不同條件與形式下，對(duì)解題思路和方法所產(chǎn)生的影響.這種設(shè)計(jì)方式，不僅能夠深化學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解，還能有效拓寬學(xué)生的思維廣度，促使學(xué)生熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想，分析并解決各類數(shù)學(xué)問題.

4.主動(dòng)探究

例3已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別有點(diǎn)A （1，0），B（2，0），C（0，n） 點(diǎn) N 在線段BC上，且 NB=2NA ，那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是

鑒于學(xué)生已完成前兩個(gè)例題及變式的探究，積累了一定的解題經(jīng)驗(yàn)，教師可將本題的探究權(quán)交給學(xué)生，給予其充足的時(shí)間自主分析思考，必要時(shí)進(jìn)行適當(dāng)點(diǎn)撥.

生7：從點(diǎn)A，B為定點(diǎn)，以及 NB= 2NA的條件可確定點(diǎn) N 的活動(dòng)軌跡為阿波羅尼斯圓 考慮到點(diǎn)N同樣處于線段BC上，類比上一個(gè)例題的解題思路，可將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓交點(diǎn)的問題.由于直線與圓存在交點(diǎn)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知，圓心到直線的距離必然小于或等于圓的半徑，即 經(jīng)求解可得

生8：本題作為填空題，無需采用復(fù)雜的解題方法.僅根據(jù)題設(shè)條件規(guī)范作圖，通過觀察便可發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù) 的取值范圍處于點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍內(nèi)．當(dāng)明確圓與直線相切時(shí)，點(diǎn) C 的坐標(biāo)即可確定．如圖2所示，點(diǎn) D 為BC與圓相切的點(diǎn)，因?yàn)? 0所以 ∠DBN=30^°. 因?yàn)?BO=2 ，所以 CO= 即 2√3.基于對(duì)稱性，可得_2V3

設(shè)計(jì)意圖鼓勵(lì)學(xué)生自主探索解題過程，本質(zhì)上是一個(gè)持續(xù)優(yōu)化學(xué)生思維的過程，學(xué)生依托已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，不僅能探索出科學(xué)的解題方法，還能根據(jù)題型特征進(jìn)一步優(yōu)化解題路徑，顯著提高解題效率．這種能力是高考解題必備的關(guān)鍵要素，值得大力倡導(dǎo)與推廣．從更深層次來看，這正是微專題教學(xué)的意義所在—通過聚焦“微”與“?！保W(xué)生掌握解題技巧，實(shí)現(xiàn)基本素養(yǎng)的提升.

5.真題應(yīng)用

為幫助學(xué)生從思想上充分重視這部分內(nèi)容，教師可將高考真題引入課堂教學(xué)，通過帶領(lǐng)學(xué)生分析真題，直觀感知考試范圍與難度梯度，從而明確學(xué)習(xí)重點(diǎn)，提前適應(yīng)高考命題思路，為后續(xù)的高考備考奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)

例4已知平面直角坐標(biāo)系 _.xOy 內(nèi)，存在一點(diǎn)A（2，4）位于以點(diǎn)M為圓心的圓 x²-12x+y²-14y+60=0.5 ：

（1）若圓N的圓心在直線 ∣x=6 上，且與圓M外切，與坐標(biāo)橫軸相切，請(qǐng)寫出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓 M 與直線相交于點(diǎn) ^B，C 且直線與A0平行， BC=AO ，請(qǐng)寫出直線的方程；（3）若點(diǎn) T（t，0） 滿足如下條件：點(diǎn) P，Q 分別位于圓M上， 那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是什么？

鑒于前兩問學(xué)生能夠自行解決，因此選擇問題（3）進(jìn)行展開分析.

生9：如圖3所示，根據(jù) 作平行四邊形AQPT，則 ∣TA∣=∣PQ∣ 因?yàn)?QP 為圓M的弦，所以 |PQ|?10 ，|TA|?10. 所以 （t-2）²+16?100 ，解得

對(duì)于這位學(xué)生的解題方法，教師給予了充分肯定，并以該生的解題過程為切入點(diǎn)，著重向?qū)W生強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的重要性.教師指出，該生從“形”的視角觀察 這一條件，通過構(gòu)建平行四邊形建立不等關(guān)系，最終成功解決問題.同時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，嘗試從“數(shù)\"的視角重新剖析該問題.在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生給出了如下解題過程：

生10：設(shè)點(diǎn) P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） ，結(jié)合條件 ，有 所以 ．根據(jù)點(diǎn) Q 在圓M上這一條件，可得 （x₂-6）²+（y₂-7）²= 25.將方程組 （^*） 代人上式，有 （x₁-

4-t）²+（y₁-3）²=25① ，根據(jù)點(diǎn) P 在圓M上這一條件，可得 （x₁-6）²+（y₁-7）²= 25② 結(jié)合 ①② 兩個(gè)式子，明確點(diǎn) P 同時(shí)在這兩個(gè)圓上，即為兩圓的交點(diǎn)，所以 經(jīng)求解可得

設(shè)計(jì)意圖通過真題的應(yīng)用，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的題感，使其在高考專題復(fù)習(xí)中獲得深刻體驗(yàn)．本題第（3）問的設(shè)計(jì)，旨在引導(dǎo)學(xué)生的思維，促使學(xué)生在知識(shí)運(yùn)用過程中不斷優(yōu)化思維模式，學(xué)會(huì)從“數(shù)”與“形”兩個(gè)不同視角分析和解決問題．這一過程，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力、深化數(shù)學(xué)思想的過程.

教學(xué)思考

1.微專題教學(xué)更關(guān)注教學(xué)的針對(duì)性

“既微又?！笔俏ｎ}教學(xué)的顯著特點(diǎn)，這種小切口、針對(duì)性強(qiáng)的教學(xué)模式，能夠?qū)W(xué)生的思維聚焦到某個(gè)特定知識(shí)點(diǎn)或解題方法上.在本節(jié)課中，教師通過課前測試充分了解學(xué)情，將教學(xué)主題設(shè)定為“與圓相關(guān)的范圍問題”.這一主題具有明確的針對(duì)性，整堂課都圍繞該主題展開教學(xué)與探究.學(xué)生在教師引導(dǎo)下，以獨(dú)立思考與小組合作交流的方式積極探索、互動(dòng)、表達(dá)，不僅找到了思維障礙的根源，還在層層遞進(jìn)的問題引導(dǎo)下，不斷優(yōu)化解題思路，根據(jù)問題特征從不同維度探尋解題方法，有效提升了教學(xué)效果.

值得注意的是，對(duì)“與圓相關(guān)的范圍問題\"的探究，不僅需要優(yōu)化思維、掌握解題思路，還需要良好的運(yùn)算能力作為支撐．基于此，課堂上教師有意識(shí)地鼓勵(lì)學(xué)生自主計(jì)算，并引導(dǎo)學(xué)生分別從“數(shù)\"與“形\"的維度分析問題，以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不僅優(yōu)化了解題過程，簡化了計(jì)算步驟，還提高了解題效率，在爭分奪秒的高考中，這種優(yōu)勢(shì)尤為明顯.

2.微專題教學(xué)需滲透數(shù)學(xué)思想方法

縱觀近年來的高考考題，經(jīng)歷了“知識(shí)立意一能力立意一素養(yǎng)立意”的轉(zhuǎn)變，這就要求學(xué)生不僅要具備扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)與解題能力，還需要掌握良好的數(shù)學(xué)思想方法，提升各項(xiàng)能力素養(yǎng).“與圓有關(guān)的范圍問題\"是重要考點(diǎn)，解決這類問題離不開數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的輔助.以數(shù)形結(jié)合思想為例，它能借助“形\"的直觀彌補(bǔ)“數(shù)\"的抽象，同時(shí)“數(shù)\"的精確又能補(bǔ)足“形\"的模糊，兩者優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，既能深化學(xué)生對(duì)問題的理解，又能降低解題難度，提高解題效率；再如轉(zhuǎn)化與化歸思想，能將原本復(fù)雜的問題簡單化，為歸納一般性的解題方法奠定基礎(chǔ)．由此可見，在微專題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，有助于提升學(xué)生的思維層次，發(fā)展其學(xué)習(xí)能力.

3.培育核心素養(yǎng)為微專題教學(xué) 目標(biāo)

在新課標(biāo)指引下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)以培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，微專題教學(xué)同樣以此為方向．實(shí)踐表明，給予學(xué)生充足的課堂思考、表達(dá)與訓(xùn)練時(shí)間，能夠激活學(xué)生思維，增強(qiáng)學(xué)生的\"主人翁\"意識(shí)，這是培育核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).教師在充分尊重學(xué)生的前提下，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、合作交流，讓學(xué)生在互動(dòng)中形成自己的見解，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，從而獲得長期可持續(xù)發(fā)展的關(guān)鍵能力與學(xué)習(xí)品格.

總之，微專題教學(xué)對(duì)于高三二輪復(fù)習(xí)具有重要意義.作為一線數(shù)學(xué)教師，應(yīng)關(guān)注課標(biāo)要求、考點(diǎn)動(dòng)向與學(xué)情，在嚴(yán)謹(jǐn)、務(wù)實(shí)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)教學(xué)方案，讓學(xué)生通過微專題教學(xué)夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).