1試題展示

如圖1，二次函數(shù) y=-x²+ bx+c 的圖象與 Ψ_x 軸交于 A ，B（2，0） 兩點(diǎn)，與 軸交于點(diǎn) C（0，6） AP 為該圖象上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，BC

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）直接寫出 ∠ACB 的度數(shù)；

（3）當(dāng) ∠ABP=∠ACB 時(shí)，求點(diǎn) P 坐標(biāo)；

（4）如圖2，在（3）的條件下，平行于 BP 的動(dòng)直線 ξ_l 與該圖象交于 D，E 兩點(diǎn)（直線 l 與 BP 不重合），連接 PD，BE ，直線 PD 與 BE 是否在 軸上交于同一點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2解法探究

本題前三問(wèn)都是常規(guī)問(wèn)題，亮點(diǎn)在探索第（4）問(wèn)，限于文章的篇幅，前三問(wèn)直接寫出答案：

（1）二次函數(shù)解析式為 y=-x²-x+6 ： （ 2）∠ACB=45^° . （3）點(diǎn) P 坐標(biāo)為 （-2，4） 或 （-4，-6） ： 我們重點(diǎn)探索第（4）問(wèn)的解法.

方法一：順著題意自然求解.

本問(wèn)是在拋物線背景下探討直線 PD 與 BE 是否在 y 軸上交于同一點(diǎn).要討論兩個(gè)一次函數(shù)圖象與 y 軸上是否交于同一點(diǎn)，自然是求出兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式，看它們表達(dá)式中的 b 是否相同，相同則交于同一點(diǎn)，不相同則不交于同一點(diǎn).

題目條件首先提出“如圖2”，圖2中的點(diǎn) P 坐標(biāo)為（一2，4），在第二象限.

接著題目條件是“在（3）的條件下，平行于 BP 的 動(dòng)直線l”，而直線 BP 解析式為 y=-x+2 ，所以設(shè)直

線 ξ_l 解析式為 y=-x+t

再讀題目“動(dòng)直線 ξ_l 與該圖象交于 D，E 兩點(diǎn)”，聯(lián)立方程組{y=-x+t， 解方程組得，

所以點(diǎn) D 的坐標(biāo) ，點(diǎn) E 的坐標(biāo)

由點(diǎn) P，D 的坐標(biāo)可得直線 PD 的表達(dá)式為

則直線 PD 交 y 軸于點(diǎn)

由點(diǎn) B，E 的坐標(biāo)可得直線 BE 的表達(dá)式為

則直線 BE 交 y 軸于點(diǎn)

故直線 PD 與 BE 在 軸上交于同一點(diǎn).

方法一順著題意，步步為營(yíng)，對(duì)基本的運(yùn)算能力要求非常高.

方法二：換個(gè)角度簡(jiǎn)化運(yùn)算.

設(shè) D（m，-m²-m+6），E（n，-n²-n+6）

易知直線 BP 解析式為 y=-x+2 ，設(shè)直線 DE 解析式為 y=-x+t ，則由 -x²-x+6=-x+t 得 x²+t-6=0 ，所以 m+n=0 ，即 n=-m

所以 E（-m，-m²+m+6）

由點(diǎn) P（-2，4），D（m，-m²-m+6） ，得直線PD 的表達(dá)式為 y=（1-m）x+6-2m ：

由點(diǎn) B（2，0），E（-m，-m²+m+6） ，得直線BE的表達(dá)式為 y=（m-3）x+6-2m

所以，直線 PD 與直線 BE 在 軸上交于同一點(diǎn)，

即交于點(diǎn) （0，6-2m） ：

方法二換了個(gè)角度，從拋物線上的點(diǎn)入手，綜合運(yùn)用二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系等核心知

識(shí)解決問(wèn)題.此題的圖形讓我們

聯(lián)想到蘇科版教材九年級(jí)下冊(cè)

第65頁(yè)習(xí)題6.4的第3題：如圖 E G

3，在 ΔABC 中，點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分別 B（ D

在 BC，AB AC 上， EF//BC ，交 圖3

AD 于點(diǎn) G_?（1） 圖中有幾對(duì)相似

三角形？是哪幾對(duì)？ 相等嗎？為什么？

這個(gè)命題的逆命題：如圖4，點(diǎn) D，G 分別在 BC，EF 上，EF//BC ，若 ，問(wèn)射線BE，CF 與射線 DG 的交點(diǎn)是否是同一點(diǎn)？

我們能否從相似三角形、比例的性質(zhì)等幾何角度探索一下解決問(wèn)題的方法？

方法三：幾何角度回歸本質(zhì).

由方法一或方法二知，點(diǎn) B ，P 的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn) D，E 的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此線段BP 與 軸的交點(diǎn) N 是線段BP的中點(diǎn)，線段 DE 與 軸的交點(diǎn) M 是線段 DE 的中點(diǎn)，即 PN=BN ，DM=EM ，如圖5，設(shè)直線 PD 與y 軸交于點(diǎn) F，BE 與 y 軸交于點(diǎn) G

由 DE//BP ，得 ∠FDM=∠FPN ， ∠FMD= ∠FNP ，所以 ΔFDM～ΔFPN ，則 （20 =

由 DE//BP ，得 ∠GEM=∠GBN . ∠GME= ∠GNB ，所以 ΔGEM～ΔGBN ，則 （20 = （204號(hào) 因?yàn)?PN=BN，DM=EM ，所以 ： 所以 即 （204號(hào) 1 所以 FN=GN ，則 F 和 G 為同一點(diǎn). 故直線 PD 與 BE 在 y 軸上交于同一點(diǎn).

3教學(xué)思考

3.1以教材為導(dǎo)向，提品質(zhì)增實(shí)效

本題以教材題目為源頭改編而成.教材是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，對(duì)于教材習(xí)題不能簡(jiǎn)單就題論題，教材習(xí)題是學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)的保障，也是探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的源泉.對(duì)于教材上的典型習(xí)題要基于“2022新課標(biāo)\"視角對(duì)習(xí)題進(jìn)行理性重構(gòu)，如改變條件、交換條件與結(jié)論、拓展命題等，這樣的學(xué)習(xí)往往可以起到事半功倍的效果.著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“好問(wèn)題如同某種蘑菇，有些相似，它們大都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍再找找，很可能在附近就有幾個(gè).”雙減背景下，教師要充分認(rèn)識(shí)通過(guò)變式拓展，注重運(yùn)用“一題多變\"“一題多用\"“多題歸一\"等方式，幫助學(xué)生舉一反三、觸類旁通，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，提高學(xué)習(xí)效率.

3.2以課標(biāo)為抓手，重創(chuàng)新強(qiáng)素養(yǎng)

學(xué)科育人是教學(xué)的核心價(jià)值.雙減背景下，教師要注重研究課標(biāo)、研究教材、研究學(xué)生，要注重用好、用足課本，做到既鞏固知識(shí)，發(fā)展技能，同時(shí)也為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和關(guān)鍵能力打下扎實(shí)基礎(chǔ).要重視緊扣“問(wèn)題本質(zhì)”，通過(guò)變式拓展引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展多角度、多層次的問(wèn)題探究，讓學(xué)生在探究中學(xué)會(huì)觀察、比較、分析、總結(jié)，理解和掌握解決問(wèn)題的通性通法，提高思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng).

3.3理解題目隱語(yǔ)“如圖”

本題第（4）問(wèn)條件首先提出“如圖2”，如果沒(méi)有“如圖2”，則要考慮當(dāng)點(diǎn) P 坐標(biāo)為 （-4，-6） 時(shí)，直線PD 與 BE 在 軸上不交于同一點(diǎn).

理由：當(dāng)點(diǎn) P 坐標(biāo)為 （-4，-6） 時(shí)，直線 BP 解析式為 y=x-2 ，所以設(shè)直線 ξ_l 解析式為 y=x+t ：

再讀題目“動(dòng)直線 ξ_l 與該圖象交于 _D，E 兩點(diǎn)”，聯(lián)立方程組 解方程組得，

所以點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 ：

再讀題目“連接 PD，BE ，直線 PD 與 BE 是否在y 軸上交于同一點(diǎn)”，由點(diǎn) P，D 的坐標(biāo)可得直線 PD 的表達(dá)式為

則直線 PD 交 y 軸于點(diǎn)

由點(diǎn) B，E 的坐標(biāo)可得直線 BE 的表達(dá)式為

則直線 BE 交 y 軸于點(diǎn)

此時(shí)直線 PD 與 BE 在 y 軸上不交于同一點(diǎn).