《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）明確了高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)組成要素，數(shù)學(xué)運(yùn)算是其中之一.新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的描述為：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).同時(shí)，新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)運(yùn)算主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等．顯然，在新高考背景下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，需以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)，緊扣數(shù)學(xué)運(yùn)算的影響要素開展教學(xué)．高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)識(shí)到，新高考之“新”，不僅體現(xiàn)在考試模式的變化，更在于學(xué)科教學(xué)必須落實(shí)核心素養(yǎng)．尤其要明確，新課標(biāo)從頂層進(jìn)一步確認(rèn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的價(jià)值，本質(zhì)上是強(qiáng)調(diào)其重要性.在進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的時(shí)候，最關(guān)鍵的是要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算有顯著的體驗(yàn)，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要性，要讓學(xué)生掌握一些數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本方法與技巧[1]．人教版高中數(shù)學(xué)教材具有重要的風(fēng)向標(biāo)意義.在使用人教版教材的基礎(chǔ)上，研究核心素養(yǎng)導(dǎo)向下高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略，無論是對(duì)落實(shí)新課標(biāo)要求，還是對(duì)契合新高考改革需求，均具有積極意義．本文立足學(xué)生視角，通過引導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)反思、對(duì)比總結(jié)并體驗(yàn)復(fù)雜運(yùn)算，幫助其關(guān)注自身數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)與不足，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與核心素養(yǎng).

在學(xué)習(xí)反思中關(guān)注數(shù)學(xué)運(yùn)算不足

站在學(xué)生視角審視數(shù)學(xué)運(yùn)算，不難發(fā)現(xiàn)，自接觸數(shù)學(xué)伊始，學(xué)生便開始積累運(yùn)算體驗(yàn)．然而，受多種因素制約，這種體驗(yàn)多停留在經(jīng)驗(yàn)層面，導(dǎo)致相當(dāng)一部分學(xué)生將數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)單等同于計(jì)算.這一認(rèn)知偏差，直接反映在當(dāng)下高中生數(shù)理能力存在的諸多問題上：部分高中生不理解計(jì)算原理、機(jī)械地套用方程式、缺少數(shù)感、計(jì)算速度很慢、準(zhǔn)確率較低等，對(duì)計(jì)算技巧的了解也非常局限，計(jì)算步驟太復(fù)雜、合理性不足、只關(guān)注計(jì)算結(jié)果，不注意對(duì)步驟的思考，沒有對(duì)結(jié)果的可預(yù)見性等[2]．顯然，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與新高考的背景下，這樣的認(rèn)知過于狹隘.

基于數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐，需兼顧兩方面：一方面，充分尊重學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算中的主體地位；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算相關(guān)要素出發(fā)進(jìn)行反思，確保學(xué)生主體地位得以落實(shí)，這里的學(xué)習(xí)反思，特指教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞數(shù)學(xué)運(yùn)算相關(guān)要素展開的系統(tǒng)性反思.這里來看一個(gè)例子：

例1已知集合 A={-1，1，2，4} ，B={x∣∣x-1∣?1} ，則 A∩B= （ ）

A. {-1，2} B. {1，2} C. {1，4} （204號(hào) D.{-1，4}

從常規(guī)運(yùn)算的角度來看，該題有兩種解答方法： ① 直接運(yùn)算.通過對(duì)題目的分析可知， B={x∣0?x?2} ，可得 ?A∩B={1，2} ，所以答案選B. ② 代入排除．將 x=-1 代入 |x-1| 中，計(jì)算可得 |-1-1|=2 ，而 2gt;1 ，不滿足條件|x-1|?1 ，所以可以排除選項(xiàng)A和D.隨后，將 x=4 代入 |x-1| 中，計(jì)算可得|4-1|=3 ，而 3gt;1 ，同樣不滿足條件 |x- 1|?1 ，于是排除選項(xiàng)C.綜上，本題答案選B.

從常規(guī)解題的角度來看，當(dāng)確定這道題目的正確選項(xiàng)后，解題任務(wù)就完成了．然而，若從數(shù)學(xué)運(yùn)算能力培養(yǎng)的視角審視，在得出正確答案后，引導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)反思顯得尤為必要．而反思引導(dǎo)的核心，應(yīng)聚焦于新課標(biāo)著重強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)運(yùn)算四大要素：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果

以本題為例，其運(yùn)算對(duì)象為集合知識(shí)；運(yùn)算法則是交集的基本運(yùn)算規(guī)則；運(yùn)算思路包含直接運(yùn)算與代入排除兩種方法.此時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入思考這兩種方法的異同.通過對(duì)比反思不難發(fā)現(xiàn)，直接運(yùn)算是嚴(yán)格依據(jù)交集運(yùn)算法則進(jìn)行邏輯推理，而代入排除則需要綜合運(yùn)用多種運(yùn)算法則與條件進(jìn)行判斷.在日常數(shù)學(xué)運(yùn)算練習(xí)中，教師需讓學(xué)生明白，這兩種方法各有優(yōu)勢(shì)，均有助于提升運(yùn)算能力.實(shí)踐表明，通過系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)反思，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算認(rèn)知從感性層面升華至理性層面，突破常規(guī)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的局限，進(jìn)而提煉出關(guān)于運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則和運(yùn)算思路的高階經(jīng)驗(yàn)，切實(shí)促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的全面發(fā)展.

在對(duì)比總結(jié)中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

對(duì)于高中生而言，在數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)中獲得的反思，很多時(shí)候難以用專業(yè)語言進(jìn)行表述.因此，學(xué)生在提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的過程中，往往更多地獲得關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的默會(huì)知識(shí).大量教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明，對(duì)同一道題目進(jìn)行多種解法的對(duì)比總結(jié)，或者針對(duì)同一種解題方法應(yīng)用于不同題目進(jìn)行對(duì)比總結(jié)，能夠讓學(xué)生充分經(jīng)歷對(duì)比總結(jié)的過程，從而積累豐富的數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn).盡管這些經(jīng)驗(yàn)難以用語言清晰表達(dá)出來，但它們能夠有效支撐學(xué)生高效地進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算．因此，通過對(duì)比總結(jié)來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)的重要思路.在實(shí)際教學(xué)中，教師需根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)影響學(xué)生運(yùn)算能力發(fā)展的具體原因，再借助尋求簡(jiǎn)單算法、探究實(shí)際問題、總結(jié)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)、辨明圖象特征、“師徒制\"教學(xué)等方式重新打造課堂，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算自信心，保證他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高效性[3].這里同樣通過一道例題的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程及其對(duì)比總結(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)來進(jìn)行闡述與說明.

例2已知集合 A={1，2，3，4，5} ，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A} ，則 B 中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ）

A.3 B.6 C.8 D.10

在實(shí)際解題過程中，學(xué)生對(duì)這道題目的解答存在不同思路：有的學(xué)生會(huì)以 x 為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論，有的學(xué)生則通過邏輯推理尋找答案．此時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比總結(jié)這兩種方法的特點(diǎn).采用邏輯推理法解題時(shí)，學(xué)生通常先分析集合A，明確其元素的數(shù)量與具體內(nèi)容，再重點(diǎn)研究集合B.這是邏輯推理解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).通過對(duì)集合B的研究，學(xué)生不僅能梳理x，y及其關(guān)系，還能發(fā)現(xiàn)集合A與集合B之間的聯(lián)系—集合B中的元素特性在集合A中有所體現(xiàn).借助集合間的邏輯關(guān)系，學(xué)生便能推導(dǎo)出正確答案．另一種是以x為標(biāo)準(zhǔn)的分類討論法，雖然運(yùn)算量相對(duì)較大，但思路簡(jiǎn)潔明了.其基本步驟是先依據(jù)集合B的條件，確定 可取值為2，3，4，5，再分別進(jìn)行討論：當(dāng) x=2 時(shí)，滿足 x- y∈A 的y取值為1，共1個(gè)；當(dāng) x=3 時(shí)，滿足條件的y取值為1，2，共2個(gè)；當(dāng) x=4 時(shí)，滿足條件的y取值為1，2，3，共3個(gè)；當(dāng) _x=5 時(shí)，滿足條件的y取值為1，2，3，4，共4個(gè)．通過以上分類討論，將y的個(gè)數(shù)相加，即 4+3+2+1=10 ，便可確定集合B中的元素 （x，y） 的個(gè)數(shù)為10.

在這一解題過程中，有一個(gè)運(yùn)算細(xì)節(jié)可作為重要的教學(xué)資源，即 x 的取值為何不能是1.雖然在教師和許多優(yōu)秀學(xué)生眼中，這個(gè)問題或許缺乏價(jià)值，但對(duì)于集合知識(shí)掌握不牢固、對(duì)集合運(yùn)算法則理解不清晰的學(xué)生而言，利用這一問題幫助他們鞏固知識(shí)頗具意義．教師不妨引導(dǎo)學(xué)生思考：若x取值為1，會(huì)出現(xiàn)何種情況？實(shí)踐表明，給予學(xué)生充足時(shí)間進(jìn)行自主探究與體驗(yàn)，能夠有效幫助他們鞏固知識(shí)，這也是夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算基礎(chǔ)的有效方式．即便對(duì)于部分學(xué)優(yōu)生，在思考過程中迅速解答所獲得的數(shù)學(xué)運(yùn)算成就感，同樣可成為提升其數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的基石.

通過對(duì)比上述兩種解題方法可以發(fā)現(xiàn)，不同的解題思路對(duì)應(yīng)著不同的運(yùn)算方法.這自然會(huì)引發(fā)學(xué)生思考：面對(duì)具體題目時(shí)，應(yīng)如何選擇解題思路，又該運(yùn)用哪種運(yùn)算方法？這些問題能夠驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算題目進(jìn)行深入思考，而思考的結(jié)果是，學(xué)生在日常訓(xùn)練中應(yīng)珍惜一題多解與多題一解的機(jī)會(huì)，舍得花時(shí)間比較不同的解題思路與運(yùn)算方法．當(dāng)學(xué)生有了這樣的總結(jié)與發(fā)現(xiàn)后，教師應(yīng)給予充分肯定與積極評(píng)價(jià)．從新高考的要求來看，這正是尊重學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主體地位、提升包括數(shù)學(xué)運(yùn)算能力在內(nèi)的各項(xiàng)能力的有效途徑.不過，擺在學(xué)生面前的挑戰(zhàn)在于，這需要投入大量時(shí)間和精力，學(xué)生還需克服自身惰性.若學(xué)生能夠在面對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)精準(zhǔn)分析題目，提煉出適合自己的解題思路與運(yùn)算技巧，就能切實(shí)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，進(jìn)而為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

在復(fù)雜運(yùn)算中形成數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

高中數(shù)學(xué)運(yùn)算往往較為復(fù)雜，而復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算更能體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，以及與其他數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵要素相關(guān)聯(lián)的能力.因此，若想切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，復(fù)雜運(yùn)算教學(xué)是不可回避的關(guān)鍵環(huán)節(jié).需要明確的是，復(fù)雜運(yùn)算包含運(yùn)算量與運(yùn)算技巧兩個(gè)維度：前者有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的細(xì)心與嚴(yán)謹(jǐn)性，后者則反映學(xué)生的問題解決思路，在設(shè)計(jì)復(fù)雜運(yùn)算相關(guān)題目時(shí)，教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律與問題解決能力水平進(jìn)行科學(xué)篩選.例如，教師可以給學(xué)生提供這樣一道題目：

例3當(dāng) x∈[0，2π] 時(shí)，曲線 _iy=sinx 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

A.3 B.4 C.6 D.8這道題目看似簡(jiǎn)單，但其運(yùn)算思路卻頗為獨(dú)特，需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法求解.對(duì)于相當(dāng)一部分學(xué)生而言，這是一個(gè)頗具挑戰(zhàn)性的過程．從形成數(shù)形結(jié)合的解題思路，到在同一平面直角坐標(biāo)系中繪制兩條不同的正弦曲線（具體圖示略），再通過判斷曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出答案，整個(gè)過程環(huán)環(huán)相扣.

這一解題過程不僅體現(xiàn)了對(duì)三角函數(shù)知識(shí)等運(yùn)算對(duì)象的掌握，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想這一運(yùn)算法則的運(yùn)用，更彰顯了對(duì)運(yùn)算思路的把控．雖然本題并非要求學(xué)生通過復(fù)雜計(jì)算得出結(jié)果，但在高中數(shù)學(xué)的范疇內(nèi)，數(shù)學(xué)運(yùn)算并非簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算，任何基于數(shù)理邏輯的推理演繹過程，都屬于數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要組成部分.本題所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，能夠有效推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的思維品質(zhì)．同時(shí)，學(xué)生在解題過程中，需要經(jīng)歷確定運(yùn)算對(duì)象、選擇運(yùn)算方法、執(zhí)行運(yùn)算程序等環(huán)節(jié)，因此本題也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的優(yōu)質(zhì)載體.

總而言之，數(shù)學(xué)運(yùn)算在高中數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中占據(jù)重要地位[4]．在新課標(biāo)背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)需滿足新高考要求，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)高度重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．在具體教學(xué)實(shí)施過程中，教師要緊扣數(shù)學(xué)運(yùn)算的相關(guān)要素，為學(xué)生打造規(guī)范的數(shù)學(xué)運(yùn)算體驗(yàn)過程．如此一來，學(xué)生便能在自主體驗(yàn)中逐步構(gòu)建起適合自身的運(yùn)算能力，進(jìn)而夯實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的基礎(chǔ).

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