運(yùn)算律作為數(shù)運(yùn)算的核心法則，其本質(zhì)是對數(shù)量關(guān)系普適性規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)，其教學(xué)需要以數(shù)的認(rèn)識和數(shù)的運(yùn)算為基礎(chǔ)，著力構(gòu)建橫跨整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算律知識網(wǎng)絡(luò)。教師應(yīng)立足結(jié)構(gòu)化思維，通過操作活動引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“具體現(xiàn)象觀察一共性規(guī)律抽象一符號模型表達(dá)一策略遷移運(yùn)用”的過程，讓學(xué)生通過歸納方法探索并理解運(yùn)算律的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在運(yùn)算策略優(yōu)化中體會簡算之美，最終實(shí)現(xiàn)運(yùn)算能力、推理意識和創(chuàng)新思維的綜合提升。本期，我們討論大單元視域下運(yùn)算律教學(xué)整體設(shè)計與創(chuàng)新實(shí)踐。

運(yùn)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它涉及操作技能，具有外顯性和可訓(xùn)練性。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力，除了關(guān)注算理與算法的理解，還應(yīng)關(guān)注解決實(shí)際問題過程中運(yùn)用簡便算法的能力?！斑\(yùn)算律”是人教版數(shù)學(xué)四年級下冊第三單元的內(nèi)容，是確定算理和算法的重要依據(jù)，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的關(guān)鍵一環(huán)。教學(xué)本單元，教師要關(guān)注前后相關(guān)知識的聯(lián)系，結(jié)構(gòu)化地組織教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生整體架構(gòu)運(yùn)算知識技能和思想方法。筆者以運(yùn)算律單元為例，探析如何設(shè)計與實(shí)施凸顯運(yùn)算律內(nèi)涵一致性及關(guān)聯(lián)性、促進(jìn)學(xué)生整體建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)的教學(xué)。

一、整體分析教材，把握教學(xué)方向

數(shù)學(xué)教材內(nèi)容一般采取螺旋式上升的編排方式，本冊教材第一單元“四則運(yùn)算\"是對小學(xué)階段整數(shù)混合運(yùn)算的總結(jié)性學(xué)習(xí)，重在強(qiáng)化四則運(yùn)算的理性認(rèn)知，梳理混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，為接下來探究運(yùn)算律的意義與系統(tǒng)學(xué)習(xí)簡便運(yùn)算鋪設(shè)臺階。運(yùn)算律是對數(shù)的運(yùn)算基本規(guī)律的歸納和總結(jié)，運(yùn)算律內(nèi)涵的理解需要運(yùn)算的意義來支撐。因此，從“四則運(yùn)算”單元到“運(yùn)算律”單元體現(xiàn)出從一般規(guī)則到特殊方法的編排巧思。

從一年級到三年級的學(xué)習(xí)過程中，運(yùn)算律以生活實(shí)例或習(xí)題等形式零散地滲透在教材中。如：一年級上冊《5以內(nèi)的加法》 6～10 的加法》等滲透了加法交換律，一年級下冊《認(rèn)識小括號》滲透了連減的性質(zhì)、練習(xí)十六第1題滲透了加法結(jié)合律；二年級上冊第2單元《整理和復(fù)習(xí)》也滲透了加法結(jié)合律、“表內(nèi)乘法（一）\"和\"表內(nèi)乘法（二）\"兩個單元都滲透了乘法交換律，二年級下冊練習(xí)十一第10題也滲透了連減的性質(zhì)；三年級上冊“多位數(shù)乘一位數(shù)”單元和三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元滲透了乘法分配律；四年級上冊練習(xí)十七第9題滲透了連除的性質(zhì)；等等。這說明學(xué)習(xí)本單元前，學(xué)生頭腦中已有相應(yīng)的知識儲備和活動經(jīng)驗(yàn)，在解決實(shí)際問題時可以憑直覺運(yùn)用運(yùn)算律?；诖耍締卧虒W(xué)應(yīng)著重引導(dǎo)學(xué)生從零散的感性認(rèn)識上升到系統(tǒng)的理性認(rèn)知，深層次理解運(yùn)算律，熟練掌握與運(yùn)用運(yùn)算律，為學(xué)生在五、六年級學(xué)習(xí)解方程和整數(shù)運(yùn)算律推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)等的過程中，靈活處理計算問題積累豐富的知識經(jīng)驗(yàn)。

基于以上分析，教學(xué)本單元時，教師要注重知識銜接，引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)運(yùn)算知識網(wǎng)絡(luò)，強(qiáng)化運(yùn)算能力。例如，教學(xué)本單元例1\"加法交換律\"時，教師可以利用一年級上冊《分與合》主題圖導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“兩個數(shù)相加，交換兩個加數(shù)的位置，和不變\"的規(guī)律，隨后呈現(xiàn)一、二年級學(xué)習(xí)的運(yùn)算內(nèi)容的教材主題圖，引導(dǎo)學(xué)生思考還有哪種運(yùn)算有交換律。學(xué)生可以借助二年級上冊“表內(nèi)乘法 （-） ”單元主題圖，回想到計算 3×4，4×3 這類算式時使用的都是乘法口訣“三四十二”，進(jìn)而從加法交換律過渡到乘法交換律。像這樣，根據(jù)運(yùn)算律本身邏輯體系整合教學(xué)內(nèi)容，不僅可以幫助學(xué)生將已有知識有效關(guān)聯(lián)、總結(jié)提煉，還可以幫助學(xué)生將相關(guān)知識織結(jié)成網(wǎng)，促進(jìn)其認(rèn)知走向整體性和結(jié)構(gòu)化。

二、整合單元內(nèi)容，重構(gòu)知識結(jié)構(gòu)

“運(yùn)算律”單元共有8個例題，一般分為7個課時教學(xué)，教師可以對具體知識內(nèi)容做如圖1所示整合。

教材中8個例題整體上按照加、減、乘、除的序列呈現(xiàn)，雖然符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，但對各運(yùn)算律之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系關(guān)注不夠。教師可以從整體視角出發(fā)，利用這種內(nèi)在邏輯聯(lián)系，打破例題編排的固有順序，聚焦知識共性搭建關(guān)聯(lián)性教學(xué)結(jié)構(gòu)，如將加法交換律和乘法交換律等內(nèi)容整合為1個課時《交換律》，將加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律等內(nèi)容整合為1個課時一—《結(jié)合律》，然后順次安排其他課時內(nèi)容，讓學(xué)生在比較學(xué)習(xí)中系統(tǒng)構(gòu)建運(yùn)算知識體系。

整合后的教學(xué)邏輯可以沿用教材例題編排邏輯，即“情境引出算式一計算觀察算式一初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律一仿寫算式驗(yàn)證一表述應(yīng)用規(guī)律”，讓學(xué)生在用不完全歸納法概括運(yùn)算規(guī)律的基礎(chǔ)上，依托四則運(yùn)算意義理解運(yùn)算律的內(nèi)涵，形成運(yùn)算模型，積累合情推理活動經(jīng)驗(yàn)。在教學(xué)策略方面，教師可以利用并適當(dāng)放大教材中列舉的生活實(shí)例，將運(yùn)算律的學(xué)習(xí)與生活情境結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生靈活解讀算式的意義，提高解決問題的能力。

三、借助多元策略，提高理解水平

實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)基于重構(gòu)后的教學(xué)內(nèi)容，利用知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，借助多元教學(xué)策略，使學(xué)生對運(yùn)算律的認(rèn)知水平從單一理解提升到整體建構(gòu)。

1.對比關(guān)聯(lián)，理解實(shí)際意義

在教學(xué)《交換律》時，教師可以這樣引導(dǎo)：“既然這樣的算式寫不完，我們不妨換個角度，從運(yùn)算的意義上思考是否所有的加法算式都符合這樣的規(guī)律。算式中的20和27代表我們班的女生人數(shù)和男生人數(shù)，你能從求總?cè)藬?shù)的過程這個視角解釋其中的道理嗎？\"學(xué)生回答：“求總?cè)藬?shù)，可以用女生人數(shù)加男生人數(shù)，也可以用男生人數(shù)加女生人數(shù)，和是不變的，因此 20+27=27+20 。\"教師追問：“如果人數(shù)范圍擴(kuò)大，這樣的等式還成立嗎？\"學(xué)生思考后提出：“如果題目變成求四年級的總?cè)藬?shù)，這樣的運(yùn)算規(guī)律仍然存在。即使人數(shù)范圍擴(kuò)大到求全?？?cè)藬?shù)，‘男生人數(shù) + 女生人數(shù) σ=σ 女生人數(shù) + 男生人數(shù)'的數(shù)量關(guān)系同樣成立。\"隨后，教師出示5行、6列的凳子圖，要求學(xué)生求凳子總數(shù)。學(xué)生匯報：“可以橫著看，用 6×5 求5個6的和，也可以豎著看，用 5×6 求6個5的和。計算過程雖然不同，但計算結(jié)果相同，說明交換兩個因數(shù)的位置不影響乘得的結(jié)果?！?/p>

《結(jié)合律》的教學(xué)也可以做類似的引導(dǎo)，讓學(xué)生在解讀算式運(yùn)算意義的過程中理解加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律的原理。

2.數(shù)形結(jié)合，理解運(yùn)算共性

在教學(xué)《減法和除法的運(yùn)算性質(zhì)》時，教師可以創(chuàng)設(shè)核心問題“減法和除法運(yùn)算是否也存在交換律和結(jié)合律？”，引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算意義的角度理解運(yùn)算律的同時，通過數(shù)形結(jié)合展開分析，跨越知識的隔離帶，發(fā)現(xiàn)連減、連除與加法、乘法之間的共性運(yùn)算規(guī)律。

對于交換律，教師這樣引導(dǎo)：剛剛你們沒有計算，是怎樣確定減法和除法不存在交換律的？一名學(xué)生回答：“大數(shù)減小數(shù)不可能等于小數(shù)減大數(shù)，因此減法不存在交換律。\"另一名學(xué)生舉例說明：“把36顆軟糖平均分給12個人，每人會得到3顆，但把12顆軟糖平均分給36個人，每人得到的一定不是3顆，因此除法不存在交換律。\"教師繼續(xù)引導(dǎo)：“你們在畫圖表示100-30-20的計算過程時，發(fā)現(xiàn)減法運(yùn)算存在不一樣的交換律，可以具體描述一下嗎？\"學(xué)生匯報：“對于減法中的‘交換律’，我們是通過‘100-30-20=100-20-30^; 發(fā)現(xiàn)的。于是，我們又列舉幾個例子驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)連減算式中減數(shù)的位置可以交換，而被減數(shù)的位置不能變動。\"教師點(diǎn)撥：“也就是說，無論是先減第一部分還是先減第二部分，都是減去第一、第二兩個部分，因此連減運(yùn)算中減數(shù)的位置可以變換。\"學(xué)生還借助線段圖發(fā)現(xiàn)連減運(yùn)算中不一樣的結(jié)合律一一先將幾個減數(shù)相加，再用被減數(shù)減去所有減數(shù)的和，差不變。隨后，學(xué)生在教師引導(dǎo)下總結(jié)出減法運(yùn)算的性質(zhì)“被減數(shù)-減數(shù) ① -減數(shù) ②= 被減數(shù)-（減數(shù) ①+ 減數(shù) ② ”

對于連除運(yùn)算，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究導(dǎo)學(xué)單第2題“王老師買了5副羽毛球拍，花了330元。每支羽毛球拍多少錢？\"（改編自教材第29頁例8），并畫圖研究。學(xué)生畫出如圖2所示作品，并據(jù)此說明330÷2÷5=330÷5÷2=330÷（5×2） 的道理，直觀、深入地理解了除法運(yùn)算的性質(zhì)。

在舉例分析的過程中，學(xué)生將乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算的性質(zhì)建立了關(guān)聯(lián)，發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用了“等值變形”原理，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算意義一致性的認(rèn)知突破。

3.多維建構(gòu)，形成知識圖譜

運(yùn)算律的理解，既需要借助算式、實(shí)物、生活實(shí)例、文字等多元數(shù)學(xué)表征方式實(shí)現(xiàn)內(nèi)在聯(lián)結(jié)，構(gòu)成橫向知識圖譜，又需要將已有碎片化知識整合，銜接前后知識，形成縱向知識圖譜。以《乘法分配律》教學(xué)為例，在揭示其字母表達(dá)式 （a+b）×c=a×c+b×c 后，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生回頭看，沿著小學(xué)階段乘法分配律的滲透脈絡(luò)厘清思維。

首先，從“數(shù)”的層面出發(fā)，通過從三年級上冊兩位數(shù)乘一位數(shù)和多位數(shù)乘一位數(shù)到三年級下冊兩位數(shù)乘兩位數(shù)（口算乘法與筆算乘法）的算理解讀，突破乘法分配律的算理解釋難題，獲得“ a 個 ∣c∣ 和 b 個c 相加等于 a+b 個 ”的認(rèn)知。

其次，從“形”的層面出發(fā)，在圖形與幾何領(lǐng)域?qū)ふ页朔ǚ峙渎傻挠白?，如關(guān)聯(lián)三年級下冊“面積”單元內(nèi)容和五年級上冊“多邊形的面積”單元內(nèi)容，讓學(xué)生通過計算如圖3、圖4所示圖形的面積，數(shù)形結(jié)合地建構(gòu)乘法分配律直觀模型。

最后，回歸教材例題，利用植樹活動的生活實(shí)例，促進(jìn)學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中內(nèi)化乘法分配律，最終形成如圖5所示的乘法分配律知識圖譜。

算式： （4+2）×25特殊 4×25+2×25說明歸 表征納

算理解釋： 演繹 類比

6個25=4個25+2個25 乘法分配律數(shù) 類比 25 形直觀呈現(xiàn)生活實(shí)例： 實(shí)例說明同學(xué)們參加植樹活動，一共分成25個小組，每組中4人負(fù)責(zé)挖坑、種樹，2人負(fù)責(zé)抬水、澆樹。一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動？

不同的表征方式相互說明、相互補(bǔ)充，共同促進(jìn)學(xué)生理解、內(nèi)化乘法分配律。

在構(gòu)建圖譜的過程中，學(xué)生頭腦中逐步形成網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)，由此發(fā)展了高階思維，實(shí)現(xiàn)了運(yùn)算能力的深層次遷移。

（作者單位：初巖華，武漢市蔡甸區(qū)大集中心小學(xué)；李蓉，武漢市蔡甸區(qū)教育科學(xué)研究中心）

文字編輯劉佳