由于學(xué)習(xí)現(xiàn)象的復(fù)雜性，心理學(xué)家一般主張對學(xué)習(xí)進(jìn)行分類。分類可以為分析不同類型學(xué)習(xí)的條件提供依據(jù)，是認(rèn)識不同類型學(xué)習(xí)的特殊性的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既遵循數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展變化的普適規(guī)律，也會因具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的不同而有所差異。具體來說，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能與數(shù)學(xué)問題解決等。加涅將學(xué)習(xí)結(jié)果分為五類，其中屬于認(rèn)知領(lǐng)域的包括：言語信息、智慧技能與認(rèn)知策略，基本與上述學(xué)習(xí)內(nèi)容相對應(yīng)。不同的學(xué)習(xí)結(jié)果需要不同的教學(xué)方法，從這三類學(xué)習(xí)結(jié)果的本質(zhì)出發(fā)，把握各類學(xué)習(xí)結(jié)果的特點(diǎn)，實(shí)施有針對性的教學(xué)，更有利于提升學(xué)習(xí)效果。[2]

一、言語信息：基于例證建立圖式

言語信息指用陳述性語言表達(dá)的、人所共知的有關(guān)事物狀況的知識，通俗講就是關(guān)于“是什么\"的知識。數(shù)學(xué)中的概念、定理、規(guī)律等均可視為言語信息。言語信息教學(xué)常常陷人機(jī)械識記的誤區(qū)，即忽略知識的產(chǎn)生背景、發(fā)展過程以及與其他相關(guān)知識的縱橫聯(lián)系，只關(guān)注言語信息的表層內(nèi)容，忽略深層次理解。對此，學(xué)生需借助豐富的情境與例證理解言語信息，在分析提煉的基礎(chǔ)上掌握本質(zhì)特征，并且獲得的內(nèi)容應(yīng)與個體知識結(jié)構(gòu)中的其他信息建立聯(lián)系，擴(kuò)充整合以形成密切聯(lián)系、彼此互通的知識體系。

（一）借助豐富例證，建構(gòu)意義理解

言語信息是對大量具有相同本質(zhì)特征的例證或情境的集中反映，是某類事實(shí)性內(nèi)容的概括表達(dá)，具有高度的凝練與簡潔性。理解言語信息通常也需回到例證情境中，學(xué)生所感知的例證越豐富清晰，個體的理解將越深刻。因此，揭示言語信息前，要給學(xué)生提供充足的例證，包括正例、變式與反例，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)，積累必要經(jīng)驗(yàn)，

如教學(xué)“乘法分配律\"時，一般先研究具體問題（四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領(lǐng)24根跳繩。四、五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？），發(fā)現(xiàn)解決問題的兩種方法，并建立兩種方法之間的聯(lián)系，初步感知乘法分配律。這是學(xué)習(xí)言語信息的一個例證，但僅此還不能提煉出乘法分配律，所以教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索新的例證，也就是以 （6+4）×24=6×24+4×24 為范例，組織學(xué)生再寫幾組這樣的算式，并從中有所發(fā)現(xiàn)。至此，學(xué)生研究了言語信息的諸多正例，但對正例的反復(fù)強(qiáng)調(diào)并不能將認(rèn)識推向深人，教學(xué)需要引入一些

課堂實(shí)踐

變式與反例打破認(rèn)知平衡，建立新認(rèn)識。譬如教材中的習(xí)題，橫著看，圖中第3組問題是變式，第4組問題是反例，對這兩組問題的分析與解決，有利于學(xué)生從對乘法分配律形式上的感知上升到對其本質(zhì)的理解。

（二）關(guān)注本質(zhì)聯(lián)系，促進(jìn)圖式生成

圖式是某一言語信息相關(guān)認(rèn)識的整合，言語信息教學(xué)的關(guān)鍵是幫助學(xué)生形成良好的圖式，數(shù)學(xué)知識之間本身就存在密切聯(lián)系，螺旋上升的編排方式?jīng)Q定某一言語信息在后續(xù)學(xué)習(xí)中仍有相應(yīng)的深化、拓展或應(yīng)用，所以數(shù)學(xué)中言語信息的學(xué)習(xí)更要重視認(rèn)知圖式的生成。但教學(xué)中常常忽略將相關(guān)內(nèi)容建立聯(lián)系，學(xué)生習(xí)得的言語信息猶如一盤散沙，不利于掌握與運(yùn)用。對此，教師要有聯(lián)系的意識，引導(dǎo)學(xué)生在掌握新知的基礎(chǔ)上與相關(guān)的上位知識、下位知識建立聯(lián)系，形成結(jié)構(gòu)。

如教學(xué)\"乘法分配律”，當(dāng)基于豐富例證抽象出乘法分配律后，要檢索學(xué)生已掌握的知識中與乘法分配律有本質(zhì)關(guān)聯(lián)的有哪些，并建立起邏輯聯(lián)系。實(shí)際上乘法分配律的本質(zhì)是乘法意義， a× b+a×c=a×（b+c） 中，等式的左邊表示b個a加上c個a，而等式的右邊表示 b+c 個a，正好與左邊相等，乘法分配律由此成立，可見，乘法分配律是乘法意義的下位知識。隨著學(xué)習(xí)的深人，諸多實(shí)際問題（如相遇問題），可以用兩種不同方法予以解決，此時便可以引導(dǎo)學(xué)生從乘法分配律的角度理解不同方法何以成立，體會乘法分配律在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用?？梢姡朔ǚ峙渎梢彩窍嚓P(guān)實(shí)際問題的上位知識。像這樣，通過與上位知識、下位知識的關(guān)聯(lián)，學(xué)生在乘法分配律這一部分形成了有層級的認(rèn)知圖式。

二、智慧技能：理解本質(zhì)深度運(yùn)用

智慧技能是指運(yùn)用言語信息與環(huán)境相互作用的能力，即運(yùn)用所學(xué)的概念、定理、規(guī)則等去解決問題，是關(guān)于“怎么做”的知識。言語信息與智慧技能沒有嚴(yán)格的分界，把概念、定理、規(guī)則等作為一種事實(shí)靜態(tài)看待，它就是言語信息，如果應(yīng)用它解決問題，就是智慧技能。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是問題解決，即不斷運(yùn)用智慧技能的過程。因而，智慧技能的學(xué)習(xí)可看作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體部分。但智慧技能的教學(xué)常常會被簡單化處理，即將步驟方法告知學(xué)生，學(xué)生盲目訓(xùn)練、機(jī)械強(qiáng)化，卻不關(guān)心為何如此，因而習(xí)得的智慧技能不具備遷移能力，難以解決新問題。對此，教師應(yīng)關(guān)注智慧技能發(fā)生與發(fā)展的過程，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重變式運(yùn)用，使得學(xué)生掌握的智慧技能更具靈活性與應(yīng)用性，促進(jìn)新問題的解決。

（一）探明技能成因，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

智慧技能是思維中一系列步驟的有序整合。記錄在教材上或保存在教師頭腦中的智慧技能往往是提煉概括后的簡潔表征，背后必然蘊(yùn)含著豐富的思維過程。教學(xué)的重點(diǎn)在于對智慧技能的發(fā)展過程進(jìn)行教學(xué)法的加工，引導(dǎo)學(xué)生透過符號語言，把握智慧技能形成的關(guān)鍵步驟，領(lǐng)會一系列有序步驟的內(nèi)在的合理性，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，使抽象表征獲得個體意義。

如教學(xué)“角的度量\"時，用量角器量角便是一項(xiàng)智慧技能，相應(yīng)操作程序可以歸納為： ① 中心對頂點(diǎn)； ②0 度線對一邊； ③ 分清內(nèi)外圈； ④ 讀取尺中度。如果教學(xué)過程只是傳授上述方法并在習(xí)題中應(yīng)用強(qiáng)化，那學(xué)生便沒有經(jīng)歷量角技能的發(fā)展過程，沒有理解量角器度量的數(shù)學(xué)本質(zhì)。不難預(yù)見，學(xué)生的錯誤將層出不窮或者容易遺忘量角的步驟方法。恰當(dāng)?shù)姆绞绞菑牧私饬拷瞧鞯漠a(chǎn)生開始逐步過渡到掌握量角方法。量角器是由180個1角不斷疊加形成的，最初 1^° 角的底邊與頂點(diǎn)即量角器的0度線與中心，180個1角共用一個頂點(diǎn)，疊加成半圓狀。為了方便測量，第180個1^° 角的底邊也規(guī)定為 0^° 線，以適應(yīng)不同開口方向的角的測量，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生體會，量角也就是看待測角中包括多少個1°角。經(jīng)歷上述過程，學(xué)生更能明白量角器為何這樣設(shè)計(jì)，為何歸納出量角“四步”，也有利于學(xué)生感悟度量的本質(zhì)。

（二）關(guān)注變式運(yùn)用，深度解決問題

心理學(xué)家安德森等人關(guān)于知識的分類有類似觀點(diǎn)，他們認(rèn)為知識可分為兩大類，即陳述性知識與程序性知識。其中，根據(jù)是否能夠達(dá)到自動化水平，程序性知識又可分為智慧技能與認(rèn)知策略。而智慧技能的獲得分為3個階段：認(rèn)知階段、聯(lián)系階段與自動化階段。[3可見，學(xué)習(xí)智慧技能的關(guān)鍵目標(biāo)之一是達(dá)到自動化水平。實(shí)際教學(xué)中，教師比較注重智慧技能的自動化，也就是通過對同類型問題的反復(fù)解決，使得學(xué)生形成定向加工問題的思維傾向。固然，相關(guān)智慧技能達(dá)到自動化水平后，能提升學(xué)生解決問題的熟練程度，但不可避免也會影響問題解決的正確性與靈活性。對此，教師要及時地引入變式問題，引導(dǎo)學(xué)生主動分析問題，調(diào)適學(xué)生過分自動化加工信息的傾向，提升智慧技能的應(yīng)用水平。

在“角的度量\"教學(xué)中，量角技能達(dá)到自動化水平后，教師可對同類型問題進(jìn)行變式，以提升學(xué)生對于量角方法本質(zhì)的理解。譬如，量角時往往將角的一邊與量角器的 0^° 線重合，變式時可由此人手，將角的起始邊與量角器中的任意刻度線重合，測量角的度數(shù)，組織學(xué)生思考，這種情況能否測量以及如何測量。通過此類變式，促使學(xué)生從單純地動手向動腦發(fā)展，有利于學(xué)生深刻感知量角技能背后所蘊(yùn)含的度量本質(zhì)。

在\"運(yùn)算律\"教學(xué)中，基于運(yùn)算律簡便計(jì)算便體現(xiàn)為智慧技能。需要注意的是，在運(yùn)算技能達(dá)到自動化水平的過程中，學(xué)生經(jīng)過反復(fù)練習(xí)與強(qiáng)化，會對特定運(yùn)算結(jié)構(gòu)形成深刻印象，從而在運(yùn)算中更容易關(guān)注這部分信息，忽略其他重要信息。4譬如 7200÷25×4 中的 25×4^′ 屬于特定運(yùn)算結(jié)構(gòu)，學(xué)生更容易關(guān)注，從而將算式推演為7200÷100 ，導(dǎo)致錯誤; 中，學(xué)生更容易關(guān)注加號兩邊的 ，誤與乘法分配律建立聯(lián)系，從而將算式推演為 等等。因此，在關(guān)注運(yùn)算技能自動化的同時，也要注意此類干擾問題的分析與解決，促進(jìn)運(yùn)算律的深度運(yùn)用，

三、認(rèn)知策略：促進(jìn)自覺意識生發(fā)

認(rèn)知策略包括兩個方面，一是策略性知識，指解決數(shù)學(xué)問題時所遵循的方法步驟；另一個是元認(rèn)知或反省認(rèn)知，指對自己的信息表征、組織、貯存、提取等思維過程的監(jiān)控與調(diào)節(jié)。加涅指出，學(xué)生能否解決問題，既取決于是否掌握有關(guān)的規(guī)則（策略性知識），也取決于學(xué)生控制自己內(nèi)部思維過程的策略（元認(rèn)知）。但學(xué)生習(xí)得的認(rèn)知策略常常局限于某些具體問題，無法靈活地運(yùn)用于新情境或解決新問題。對此，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生在典型問題中應(yīng)用認(rèn)知策略，也要在其他問題中有意識地運(yùn)用，以此感受策略的概括性。同時也要關(guān)注對于認(rèn)知策略的及時反思，增強(qiáng)對于策略運(yùn)用的自主意識，提升策略運(yùn)用的靈活性。

（一）廣泛運(yùn)用策略，體會策略概括性

策略性知識所涉及的概念和規(guī)則一般都有較高的概括性，需在解決不同問題中不斷感悟，所以認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)一般不會短期見效?；诖?，策略性知識的教學(xué)要具有長程意識，引導(dǎo)學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中主動地運(yùn)用已掌握的策略性知識，通過例題變式或課時突破來豐富學(xué)生對于策略的體驗(yàn)，感受策略性知識的概括性，提升應(yīng)用水平。

例題變式突顯策略本質(zhì)。典型例題是促進(jìn)策略掌握的良好載體，但不是唯一適用的問題，教學(xué)還應(yīng)通過例題變式、原型與變式對比等方式深化學(xué)生對于策略本質(zhì)的感悟，促進(jìn)策略的遷移。如從“歸一\"到\"歸總\"問題的變式，有助于學(xué)生掌握\"緊扣不變量解決問題”的策略性知識。具體而言，歸一問題是小明買了3本筆記本用了18元，5本筆記本需要多少元？歸總問題是原來一本字典15元，降價后原來買20本的錢現(xiàn)在能買30本，現(xiàn)在一本字典多少元？解決問題后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，例題是先求“一倍量”，例題變式是先求“總量”，在各自問題中，“一倍量”與“總量\"都是確定的、不變的量。初步體會“緊扣不變量”是解決問題的關(guān)鍵策略。

課堂實(shí)踐

課時突破拉長策略體驗(yàn)?！皻w一\"與\"歸總\"問題基本屬于三、四年級所要研究的實(shí)際問題，但“緊扣不變量”這一策略性知識的應(yīng)用可以貫穿多個年級。比如，六年級的兩則實(shí)際問題：問題一：將棱長4分米的正方體鋼錠鍛造成長8分米、寬3分米的長方體，高多少分米？問題二：學(xué)校田徑隊(duì)原來女生人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比是1：3，后來有6名女生加人，這樣女生人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比是4：9?，F(xiàn)在田徑隊(duì)有女生多少人？運(yùn)用“緊扣不變量\"的策略，不難解決上述問題。問題一中鋼錠的體積不變，分析至此便先求正方體的體積，再求高。問題二中男生的人數(shù)不變，原來男生與總?cè)藬?shù)的比為2：3，現(xiàn)在男生與總數(shù)的比為5：9，將前項(xiàng)變?yōu)橄嗤?，?0：15與10：18。后項(xiàng)增加了3份，也就是女生的6人，分析至此便不難解決問題?？梢?，“緊扣不變量\"這一策略性知識能應(yīng)用于解決各學(xué)段各類不同的實(shí)際問題，教師若能從始至終、一以貫之地引導(dǎo)學(xué)生從這一角度分析解決問題，不僅能促使學(xué)生深度感悟與掌握“緊扣不變量\"這一策略性知識，也能實(shí)實(shí)在在地提高學(xué)生解決問題的水平。

（二）回顧反思策略，提升運(yùn)用主動性

元認(rèn)知是對認(rèn)知過程的計(jì)劃、監(jiān)控與調(diào)節(jié)，是關(guān)于“認(rèn)知\"的認(rèn)知。心理學(xué)家梅耶將幾童認(rèn)知策略的發(fā)展分為早期、過渡期與后期，依次經(jīng)歷從“不知何時何條件使用策略\"到“不能有效運(yùn)用策略\"再到“自覺運(yùn)用并能根據(jù)任務(wù)調(diào)整策略”的進(jìn)階過程。顯然，后期兒童的元認(rèn)知有了發(fā)展，在元認(rèn)知的監(jiān)控與調(diào)節(jié)下，習(xí)得的策略性知識能遷移到陌生問題情境中，策略性知識更具靈活性。為了發(fā)展元認(rèn)知，教學(xué)中可有意識地引導(dǎo)學(xué)生\"回頭看”，不斷反思，不斷總結(jié)，使得學(xué)生清晰地意識到所學(xué)習(xí)的策略是什么、適用范圍、何時使用以及怎樣使用等等。

如教學(xué)“替換的策略時”，例題主要是兩種類型，即兩個量之間是倍數(shù)關(guān)系與兩個量之間是加法關(guān)系。教材先安排第一種類型的學(xué)習(xí)，回顧時可組織學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)過程思考，“什么是替換策略”“什么情況下用替換策略”“替換后有什么好處”“如何替換”等，啟發(fā)學(xué)生理解當(dāng)問題中有兩個未知量時可借助替換策略轉(zhuǎn)化成只有一個未知量的問題，這比含有兩個未知量的問題更容易解決，替換時要根據(jù)兩個未知量間的關(guān)系等量替換。進(jìn)一步地，學(xué)完兩種類型后，組織學(xué)生比較與反思“兩種類型的問題有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)”，啟發(fā)學(xué)生理解本質(zhì)上都是將兩個未知量轉(zhuǎn)化為一個未知量，區(qū)別在于替換的數(shù)量關(guān)系不同，一種是基于倍數(shù)關(guān)系，另一種是基于加法關(guān)系，但均需進(jìn)行等量替換。通過這樣的反思，能深化學(xué)生對于策略性知識的感悟，促進(jìn)有關(guān)策略性知識的元認(rèn)知發(fā)展，提升認(rèn)知策略運(yùn)用的自覺意識。

值得注意的是，分類討論各類學(xué)習(xí)結(jié)果的特點(diǎn)及教學(xué)方法并不意味著各類學(xué)習(xí)結(jié)果涇渭分明。實(shí)際上，一節(jié)課中交織著言語信息、智慧技能與認(rèn)知策略，并且三者間相輔相成。言語信息與智慧技能是感悟認(rèn)知策略的載體，深度的理解與掌握有利于策略的有效生成；認(rèn)知策略的使用能促進(jìn)學(xué)生自覺主動地參與學(xué)習(xí)，監(jiān)控并調(diào)節(jié)言語信息與智慧技能的認(rèn)知過程，向深度學(xué)習(xí)發(fā)展。教學(xué)中既需要根據(jù)各類學(xué)習(xí)結(jié)果的特點(diǎn)實(shí)施針對性教學(xué)，也要注意幾類學(xué)習(xí)結(jié)果教學(xué)的有效組合，以提升學(xué)習(xí)效果。

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