1 問題呈現(xiàn)與求解

題目 已知在 ΔABC 中，試證明

證法1（三角函數(shù)恒等變換與均值不等式）令x=cosC ，由三角函數(shù)的相關(guān)公式可得 sin²A+sin²B

因?yàn)?-1?cos（A-B）?1 ，當(dāng) 此時(shí)cos（A-B）=1 能取到）時(shí)，原式取得最大值為2- ，故

證法2（向量法）設(shè)向量 Ψ=（sinB，sinC） ， .則 sin²A+sin²B+ +sinA）²]-（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA） .又由于 ?（sinA+sinB）²+（sinB+sinC）²+（sinC+sinA）² 1?2（sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA） ，并且在 ΔABC 中，利用三角函數(shù)的和差化積以及三角形內(nèi)角和關(guān)系可證得 所以

證法3（坐標(biāo)法）以 ΔABC 的外接圓為單位圓，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn) o 設(shè) A（cosα，sinα） . B（cosβ sinβ ）， C（cosγ，sinγ） ，且 α+β+γ=2kπ（k∈Z ，在三角形中 k=1 .則 sin²A+sin²B+sin²C=sin²α+ （20sin²β+sin²γ. ，根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系及兩角和差公式化簡得 cos2β+cos2γ， ）

再利用和差化積公式及 α+β+γ=2π 化簡可得 即 sin²A+sin²B+ （204號(hào)

證法4（琴生不等式）令 ，易得f（x） 在 ^{（0，π）} 上是凸函數(shù).故由琴生不等式有 f（A） +f（B） +f（C）≤3f（A+B+）.因?yàn)锳 +B+C =π

證法5 （三角形面積公式）由三角形面積公式得 則 sin²A+sin²B /（ 再利用海倫公式（202 其中 α+b+），三角形三邊關(guān)系及均值不等式可證明

證法6（利用三角形外接圓半徑性質(zhì)）設(shè)ΔABC 的外接圓半徑為 R ，由正弦定理可得 2R則 sin2A + sin2B + sin2C 根據(jù)三角形的外接圓性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系及均值不等式 a²+b²+c²?9R² ，可得 1

2 結(jié)論加強(qiáng)

基于上述證明過程，對(duì)原不等式進(jìn)行加強(qiáng)，得

到如下結(jié)論：

結(jié)論 在 ΔABC 中，有 sin²A+sin²B+sin²C?

證明 由證法1可知 sin²A+sin²B+sin²C=

原不等式右邊 .因?yàn)?-3? cos2A+cos2B+cos2C?3 ，所以 cos2B+cos2C）?0 ，即 .不等式得證.

3推廣探究

推廣（推廣到 n 個(gè)角的情形）若 n 個(gè)角 A₁ A₂，…，A_n ，滿足 A₁+A₂+…+A_n=π ，則 （2

證明 當(dāng) n=3 時(shí)，不等式已證.

當(dāng) ngt;3 時(shí)，利用數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)當(dāng) 時(shí)不等式成立，即對(duì)于 A₁+A₂+…+A_k=π ，有

當(dāng) n=k+1 時(shí)，令 B=A₁+A₂+…+A_k ，則 B 思路， ，所以 ，推廣成立.

4變式探究

變式1（改變?nèi)呛瘮?shù)名稱）在 ΔABC 中， （204號(hào)

證明 因?yàn)? ，且 sin²A+sin²B+sin²C 則 4，移項(xiàng) 可得 又因?yàn)?cos²A+α ，將 代人可得 cos²A+ （20

變式2（增加根式）在 ΔABC 中，有

證明 由柯西不等式 ?（1+1+1）（a₁+a₂+a₃）. 令 a₁=sin²A+sin²B a₂=sin²B+sin²C，a₃=sin²C+sin²A 則（20 + ）

因?yàn)? 所以

則 +

變式3 （分式結(jié)構(gòu)的變式）在 ΔABC 中，有

證明 因?yàn)? 且 sin²C ，所以 （204號(hào)

變式4（三角函數(shù)與指數(shù)結(jié)合的變式）在ΔABC 中，有

證明 因?yàn)楹瘮?shù) y= 2^x 是單調(diào)遞增函數(shù)，且 所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào).