題目 （2024年天津高考數(shù)學(xué)第15題）若函數(shù) 恰有一個(gè)零點(diǎn)，則a 的取值范圍為

該題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用等知識(shí)，本文從分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想入手巧解此題，以供參考.

思路1 小題小做，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理與數(shù)形結(jié)合思想.

解法1 易知，當(dāng) a=a₀ 時(shí) ??f（x） 有零點(diǎn) x₀ ，等價(jià) 于當(dāng) a=-a₀ 時(shí) f（x） 有零點(diǎn) ，故只需考慮 0.

當(dāng) a=0 時(shí) f（x）=2|x|-1 有兩個(gè)零點(diǎn) x= ，故 a≠0

當(dāng) a=2 時(shí) 關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱，且 f（1）≠0 ，不符合題意，故 a≠2

因?yàn)? 所以 f（x） 在 上總有零點(diǎn)，若 agt;2 ，則x-∞ 時(shí) f（x）?-∞ ，所以 f（x） 在 上有零點(diǎn)，與題設(shè)不符，故 0

設(shè) |ax-2|-1 ，由 y= （20 得 ，所以y=g（x） 的圖象是雙曲

圖1

線的一部分曲線 C₁ 與 C₂ （如圖1），其漸近線為 l₁ 與l₂，y=h（x） 的圖象是\" V^? 圖2形折線（實(shí)線），與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 與 ，由于 k_PC gt;k_l1 ，且點(diǎn) C 在原點(diǎn)右側(cè)，故 PC 與曲線 C₁ 始終恰有一個(gè)交點(diǎn)，要使 f（x） 恰有一個(gè)零點(diǎn)，必需 PB，PC 與曲線C沒(méi)有交點(diǎn)，故點(diǎn)A在B、C之間，即lt;αlt;，解得 ，故

思路2直接解方程 f（x）=0 是最自然的想法，同解法1，不妨設(shè) agt;0，a≠2 ，當(dāng) x?0 時(shí)，此方程易解（見(jiàn)下文）；但當(dāng) x?a 時(shí)，由于討論非常復(fù)雜，可用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究零點(diǎn)，

解法2 f（x） 的定義域?yàn)?{x∣x?0 ，或 ，當(dāng) x?0 時(shí)

（1）當(dāng) agt;2 時(shí)方程 ① 有兩個(gè)負(fù)根 與x2 不符合題意.

（2）當(dāng) 02 依題設(shè)知 f（x） 在 [a，+∞） 上沒(méi)有零點(diǎn).因?yàn)? ，所以當(dāng)xgt;a，且x≠2 時(shí)

0，所以 f（x） 在 [a，+∞） 上遞增，又 x+∞ 時(shí)，f（x）?+∞ ，所以要 f（x） 在 [a，+∞） 上沒(méi)有零點(diǎn)，只要 ，即 1-1a²-21gt;0 ，解得 ，故

思路3先分情況去絕對(duì)值再平方去根號(hào)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，最后通過(guò)分參結(jié)合圖象求出 a 的范圍.

解3由 f（0）=-1 （204號(hào)知 x=0 不是 f（x） 的零點(diǎn).當(dāng) a=0 時(shí) I（x）= 2|x|-1 有兩個(gè)零點(diǎn) x ，故a≠0.設(shè) ，則f（x）=0 ，即 ∣t-2∣+1=0②.

圖2

（1）當(dāng) t?2 時(shí)，方程 ② 可化為 設(shè) k=

（2）當(dāng) tlt;2，t≠0 時(shí)，同上得方程 ② 等價(jià)于 ，其中 ，或 klt;0 設(shè) 3'則f（x） g（k），其中k = ，作出 y=g（k） 的圖象如圖2，由圖2可知，當(dāng) 即 ， 時(shí) f（x） 恰有一個(gè)零點(diǎn).

注解法3的關(guān)鍵在于帶參換元與平方，從而簡(jiǎn)化分類討論.并且由解法3容易求出 a 在什么范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù) f（x） 有一個(gè)、二個(gè)、三個(gè)、四個(gè)零點(diǎn).