在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，學(xué)生往往難以運用綜合知識解決問題。其主要原因是：知識習(xí)得零散、碎片化，學(xué)生不清楚知識內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性和邏輯性，缺乏對知識整體和研究方法結(jié)構(gòu)化的思考。對此，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“《義教數(shù)學(xué)課標(biāo)》\"多次提到的“結(jié)構(gòu)化\"是一種有效的方法。結(jié)構(gòu)化意味著聯(lián)系、關(guān)聯(lián)，結(jié)構(gòu)化教學(xué)就是要幫助學(xué)生理解知識結(jié)構(gòu)以及學(xué)科結(jié)構(gòu)。布魯納認(rèn)為：“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解各門學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！痹趶?fù)習(xí)教學(xué)中運用結(jié)構(gòu)化這一策略，就是要基于學(xué)情，立足數(shù)學(xué)知識體系，對學(xué)習(xí)主題下的數(shù)學(xué)知識重新進(jìn)行梳理、整合，對數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納和提煉，使學(xué)生形成一種新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和研究思路，并最終指向?qū)W生核心素養(yǎng)的發(fā)展。下面，筆者以初中數(shù)學(xué)中的“函數(shù)”單元為例具體闡述結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)教學(xué)的實施。

一、基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析制訂分課時教學(xué)目標(biāo)和結(jié)構(gòu)化教學(xué)目標(biāo)

“函數(shù)”單元是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域重要的教學(xué)內(nèi)容，是解決數(shù)學(xué)實際問題重要的數(shù)學(xué)模型之一。教學(xué)內(nèi)容有函數(shù)的概念、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，要求了解三類函數(shù)的概念，掌握三類函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及能用函數(shù)知識解決簡單的應(yīng)用問題。在多年的復(fù)習(xí)教學(xué)實踐中，筆者關(guān)注到學(xué)生能很容易地利用單類函數(shù)知識解決數(shù)學(xué)問題，但遇到需要綜合運用三類函數(shù)知識才能解決的問題時，則不能找到解決問題的切入點。因此，筆者嘗試改變按照教材內(nèi)容順序分課時復(fù)習(xí)的方法，將三類函數(shù)統(tǒng)整起來設(shè)計結(jié)構(gòu)化教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生形成對知識、思想方法的整體觀念。具體做法為：先列出詳細(xì)的分課時教學(xué)目標(biāo)，找出三類函數(shù)共同的教學(xué)目標(biāo)，再將它們與分課時教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行對比分析，然后根據(jù)學(xué)情，提煉并優(yōu)化出能統(tǒng)攝它們的結(jié)構(gòu)化教學(xué)目標(biāo)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)目標(biāo)的優(yōu)勢在于：能讓學(xué)生從“函數(shù)\"單元整體視角對三類函數(shù)進(jìn)行分析比較，并重新對其進(jìn)行梳理整合，提煉它們共性的知識和研究方法，實現(xiàn)對“函數(shù)”單元知識整體的理解和內(nèi)化，進(jìn)而發(fā)展核心素養(yǎng)。“函數(shù)”單元的分課時教學(xué)目標(biāo)與結(jié)構(gòu)化教學(xué)目標(biāo)具體如表1所示

二、結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)教學(xué)的實施路徑

結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)教學(xué)有助于打破傳統(tǒng)分課時復(fù)習(xí)的局限，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識網(wǎng)絡(luò)與研究思路，從整體視角理解函數(shù)知識間的內(nèi)在邏輯，將知識與方法內(nèi)化于心，進(jìn)而提升綜合運用能力，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（一）梳理、整合單元主題內(nèi)容的學(xué)習(xí)路徑，形成結(jié)構(gòu)化的知識整體

一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)在教材中的知識結(jié)構(gòu)，都是按照“從具體的生活情境抽象出函數(shù)的概念，然后用描點法畫出函數(shù)的圖象并探究其性質(zhì)，最后是實際的應(yīng)用”這一方式展開，其編寫路徑可以梳理為“具體實例$$ 抽象概念 $$ 圖象和性質(zhì) $$ 實際應(yīng)用”，教師可由此梳理、整合單元主題內(nèi)容的學(xué)習(xí)路徑，引導(dǎo)學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化的知識整體。

1.設(shè)計相關(guān)問題串和練習(xí)，梳理“函數(shù)”單元概念

在課堂引入環(huán)節(jié)，筆者以“問題串 + 練習(xí)”的形式，引導(dǎo)學(xué)生對三類函數(shù)概念進(jìn)行梳理

問題1：初中階段，我們學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？請你說一說。

練習(xí)：我們把形如 ，叫作一次函數(shù)，當(dāng) 時，為正比例函數(shù)；把形如 ，叫作反比例函數(shù)，反比例函數(shù)也可以表示為 ；把形如叫作二次函數(shù)，二次函數(shù)的頂點式是交點式是 。拋物線的頂點在原點可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為 ；頂點在y軸上（對稱軸為y軸）可設(shè)為 ；頂點在 x 軸上的拋物線可設(shè)為 ；經(jīng)過原點的拋物線可設(shè)為 。

問題2：我們是如何研究一類函數(shù)的，比如一次函數(shù)？

間題3：能否把一次函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑類比到其他兩類函數(shù)？

設(shè)計意圖：激活舊知，引導(dǎo)學(xué)生縱向梳理三類函數(shù)概念的區(qū)別和聯(lián)系，并橫向梳理函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑“概念 $$ 圖象和性質(zhì) $$ 應(yīng)用”，初步形成“函數(shù)”單元的結(jié)構(gòu)化知識整體。

2.設(shè)計關(guān)聯(lián)性表格，整合“函數(shù)”單元重難點知識

對《義教數(shù)學(xué)課標(biāo)》相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行分析后，筆者發(fā)現(xiàn)在“函數(shù)”單元中，求函數(shù)表達(dá)式、字母系數(shù)的意義、函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的實際應(yīng)用是重難點知識，其中三類函數(shù)的實際應(yīng)用是難點知識。在解決這些重難點問題時，三類函數(shù)有共性之處，教師可據(jù)此設(shè)計關(guān)聯(lián)性表格（如表2所示），對“函數(shù)”單元相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行深度整合，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步形成結(jié)構(gòu)化的知識整體。表格可以提前發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生在課前完成，然后在課堂交流、反饋，最后在課后修正。

設(shè)計意圖：將重難點知識進(jìn)行表格化處理，可清晰地整體呈現(xiàn)三類函數(shù)知識之間的關(guān)聯(lián)性，直觀、易理解，有利于學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)，

3.設(shè)計開放性問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

設(shè)計開放性問題，可促使學(xué)生從多個角度思考，探索多種可能性，嘗試不同的方法和策略。在此過程中，學(xué)生不僅需要對已有的知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化思考，還要進(jìn)行分析和推理，這有助于其發(fā)展數(shù)學(xué)思維

開放性問題：某函數(shù)滿足當(dāng)自變量 x=1 時，函數(shù)值 y=0 ；當(dāng)自變量 x=0 時，函數(shù)值 y=1 O寫出一個滿足條件的函數(shù)表達(dá)式 。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過分析發(fā)現(xiàn)函數(shù)可以設(shè)為一次函數(shù)或二次函數(shù)，若為一次函數(shù)則是確定的，若為二次函數(shù)則是不確定的。在確定和不確定中選擇函數(shù)表達(dá)式本身就是對單元知識的結(jié)構(gòu)化思考，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

（二）對解決問題的方法、思路進(jìn)行歸納、提煉，形成結(jié)構(gòu)化的研究方法

結(jié)構(gòu)化教學(xué)設(shè)計能幫助學(xué)生更好地理解和掌握學(xué)科的基本原理，實現(xiàn)知識與方法的遷移[3]。因此，在引導(dǎo)學(xué)生解決問題的過程中，教師應(yīng)該注重對方法、思路的梳理，通過單元結(jié)構(gòu)化的方式來歸納、提煉方法，從而幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識，促進(jìn)知識和方法的遷移，提升核心素養(yǎng)。

1.示范典型例題，歸納解題的方法結(jié)構(gòu)

教師示范并引導(dǎo)學(xué)生歸納解題的方法結(jié)構(gòu)，既能幫助學(xué)生掌握特定知識的解題思路，并為后續(xù)開展單元結(jié)構(gòu)化研究奠定堅實基礎(chǔ)，也能為學(xué)生探索其他數(shù)學(xué)問題的解決策略提供思路借鑒，進(jìn)而助力學(xué)生實現(xiàn)知識的遷移與核心素養(yǎng)的發(fā)展。在“函數(shù)\"單元復(fù)習(xí)中，待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式是重點知識，因此，筆者將三類函數(shù)置于一個情境，設(shè)計典型例題，引導(dǎo)學(xué)生歸納解題步驟和方法，發(fā)展運算能力、推理能力。下面以上述開放性問題為例進(jìn)行分析。

[板書]若為一次函數(shù)，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b（k≠0） ，代入 x=1，y=0，x=0，y=1 得， {k+b=0，解得 。

若為二次函數(shù)，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式 y=ax²+ bx+c（a≠0） ，代入 x=1，y=0，x=0，y=1 得，{a+b+c=0，：a+b=-1，若a=-1，則b=0，：函數(shù)表達(dá)式為： y=-x²+1 。

師：該題求函數(shù)表達(dá)式的過程為：設(shè)函數(shù)表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)，解方程，寫出函數(shù)表示式。這種求函數(shù)表達(dá)式的方法叫作待定系數(shù)法。據(jù)此，我們可以這樣歸納解題的方法結(jié)構(gòu)：“代定系數(shù)法：設(shè) $$ 代 $$ 解 $$ 寫。”

2.剖析中考真題，揭示解題的方法結(jié)構(gòu)

中考真題具有導(dǎo)向功能。剖析真題，找到試題背后的邏輯關(guān)系，并揭示解題的方法結(jié)構(gòu)，對提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力尤為重要。二次函數(shù)的三個表達(dá)式之間是相互關(guān)聯(lián)的，一般式通過配方得到頂點式，通過求解函數(shù)圖象與 x 軸交點的坐標(biāo)得到交點式，而頂點式、交點式展開化簡即可得到一般式。下面以2022年杭州市中考數(shù)學(xué)卷第22題為例進(jìn)行分析。

設(shè)二次函數(shù) y₁=2x²+bx+c（b，c 是常數(shù)）的圖象與 x 軸交于 ^A，B 兩點。

（1）若 ^A，B 兩點的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），求函數(shù) y₁ 的表達(dá)式及其圖象的對稱軸。

（2）若函數(shù) y₁ 的表達(dá)式可以寫成 y₁=2（x- h）²-2 （ h 是常數(shù)）的形式，求 b+c 的最小值。

（3）設(shè)一次函數(shù) 是常數(shù)），若函數(shù) y₁ 的表達(dá)式還可以寫成 y₁=2（x- 的形式，當(dāng)函數(shù) 的圖象經(jīng)過點 （x₀，0） 時，求 x₀-m 的值。

對第一問，學(xué)生很容易解決。對第二問，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用公式法或配方法得到 ，消元得到 b+c 關(guān)于 h 的表達(dá)式， 再利用公式法或配方法求最小值。通過分析，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，將頂點式展開化簡，得到 b+c 關(guān)于 h 的表達(dá)式比較方便。對第三問，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過觀察表達(dá)式 ，發(fā)現(xiàn)存在公因式 ，然后提取公因式將其變形為交點式y(tǒng)=（x-m）[2（x-m-2）-1] ，這樣求解比較方便。由此可以揭示二次函數(shù)三個表達(dá)式之間的關(guān)聯(lián)，形成相互轉(zhuǎn)化的結(jié)構(gòu)化思路（如圖1所示）。

3.運用一題多解，優(yōu)化解題的方法結(jié)構(gòu)

一題多解，可以拓展學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)新性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和探索精神。例如，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點問題是函數(shù)應(yīng)用的難點內(nèi)容，反映了函數(shù)與方程之間的關(guān)系，滲透了數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，有利于發(fā)展學(xué)生幾何直觀、應(yīng)用意識等核心素養(yǎng)。這類問題往往不止一種解法，教師可以多方拓展，幫助學(xué)生優(yōu)化解題的方法結(jié)構(gòu)。下面以相關(guān)問題為例進(jìn)行分析。

已知關(guān)于 x 的二次函數(shù) y=（x-m）²- （x-m） 。求證：函數(shù)圖象與 x 軸有兩個交點。

對此類問題，學(xué)生的一般解法是：令 y=0 得到一元二次方程，用根的判別式去求解，即：

Δgt;0? 與 x 軸有兩個交點；

Δ=0? 與 x 軸只有1個交點；

Δlt;0? 與x軸無交點。

但該題涉及字母系數(shù)的恒等變形，學(xué)生很容易出錯。這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，找到其他方法來解決。通過觀察二次函數(shù)表達(dá)式發(fā)現(xiàn)，表達(dá)式中有公因式 ，可以對函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行因式分解得到： y=（x-m）²-（x- m）=（x-m）（x-m-1） 令 ，通過解方程得到 ：x₁=m ， x₁=m+1 。

ｍ≠ｍ＋１

：函數(shù)圖象與 x 軸有兩個交點。

由此可知，對于函數(shù)圖象與 x 軸交點問題，若能解出交點則優(yōu)先考慮用交點式，若不能解出交點則優(yōu)先考慮用一般式，即利用根的判別式解決（如圖2所示）。

一題多解，可以促使學(xué)生多角度思考問題，而優(yōu)化解題的方法結(jié)構(gòu)，對學(xué)生發(fā)展解決問題的綜合能力和核心素養(yǎng)有重要的促進(jìn)作用。

（三）對經(jīng)典問題進(jìn)行逆向思考，形成問題解決的結(jié)構(gòu)化思路

函數(shù)模型思想是發(fā)展學(xué)生模型觀念素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，也是中考的重點考查內(nèi)容。

有些函數(shù)問題可以進(jìn)行逆向思考，并形成問題解決的結(jié)構(gòu)化思路：解決問題 $$ 從結(jié)論出發(fā) $$ 構(gòu)建函數(shù)模型 $$ 問題解決。

1.執(zhí)果索因，逆向進(jìn)行推理

“函數(shù)”單元中，函數(shù)的增減性問題比較經(jīng)典，在問題解決的過程中，從問題的結(jié)論出發(fā)，逆向進(jìn)行推理，反而會“柳暗花明又一村”，順利解決數(shù)學(xué)問題。下面以相關(guān)問題為例進(jìn)行分析。

例1：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù) y =（x+a）（x-a-1） ，其中 a≠0 。已知點 P（x₀，m） 和 Q（1，n） 在函數(shù) y 的圖象上。若 m0 的取值范圍。

從結(jié)論逆向推理， m 和 得到{m=（xo+a）（xo-a-1），利用作差法得到 （20m-n=x₀（x₀-1）lt;0 ，從而求得范圍：00lt;1 。當(dāng)然，此題利用圖象法亦能解決。

例2：已知二次函數(shù) y₁=-x²+bx+c 與一次函數(shù) y₂=kx+c 若 k+b=3 ，當(dāng) x?2 時， y₁2° 求 k 的取值范圍。

該題也可從結(jié)論 y₁2 出發(fā)，逆向?qū)Σ坏仁竭M(jìn)行推理，利用作差法求解。所以，函數(shù)的增減性問題解決的結(jié)構(gòu)化思路是：增減性問題 $$ 逆向推理 $$ 作差法或圖象法 $$ 解決問題。

2.觀案問題特征，逆向構(gòu)建函數(shù)模型

有些數(shù)學(xué)問題，特征比較明顯，如求最值的問題。解決此類問題，可優(yōu)先考慮從代數(shù)的角度將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題來解決。如對2022年杭州市中考數(shù)學(xué)卷第22題第二問，也可通過觀察問題特征，逆向構(gòu)建二次函數(shù)模型解決。我們可以把 b+c 看作一個二次函數(shù) W ，把 y₁=2（x-h）²-2 展開，利用消元得到 W=b+c=h²-2h-1 ，然后利用配方法得到 W=b+c=h²-2h-1=（h-1）²-2 ，求得最小值。再舉兩例如下。

例3：在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù) y=x²-x+ 1，當(dāng) x=p 或 q 時，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分別為P，Q 。若 p+q=4 時，求證： P+Qgt;6 。

觀察該題特征，可以把 P+Q 看作一個二次函數(shù)W，進(jìn)而分析條件，代入數(shù)據(jù)，利用消元法得到 W=P+Q=2（q-2）²+6 ，然后利用配方法求得范圍。

例4：把一根長為1米的鉛絲折成一個矩形，并使矩形的面積最大，應(yīng)怎樣折？最大面積是多少？

該題也可逆向思考，通過構(gòu)建二次函數(shù)模型來解決問題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生把解決問題的思路遷移到利潤類、距離類等最值問題中來。

事實上，在利用函數(shù)知識解決實際問題的各種情況中，構(gòu)建函數(shù)模型求最值問題最為典型。對于函數(shù)求最值或范圍問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生逆向構(gòu)建二次函數(shù)模型：求最值或范圍$$ 構(gòu)建二次函數(shù)模型 $$ 配方法或公式法 $$ 解決問題。

三、實踐反思

在初中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)教學(xué)的實踐中，筆者有如下思考。

（一）結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑，要積極落實到數(shù)學(xué)課堂

學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展難以在單個的知識點上表現(xiàn)出來，它往往隱藏在知識及方法結(jié)構(gòu)之中。對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)，不僅可以幫助學(xué)生梳理、整合知識，找到知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，還可以培養(yǎng)學(xué)生歸納、提煉研究數(shù)學(xué)問題的方法的能力，使其形成解決問題的結(jié)構(gòu)化思路。筆者經(jīng)過教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)，在面向初三學(xué)生的復(fù)習(xí)課中，利用單元知識采用結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)顯著提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的效率，促進(jìn)了學(xué)生對知識的理解和方法的生成。因此，教師應(yīng)將其積極落實到數(shù)學(xué)課堂，并不斷探索實踐路徑，從而充分培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（二）結(jié)構(gòu)化教學(xué)需要教師具備扎實的基本功，并不斷選代更新

如果對數(shù)學(xué)知識體系不明了，對問題的研究方法不清晰，那么，教師就無法進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)。因此，教師需要具備扎實的專業(yè)知識，無論是對《義教數(shù)學(xué)課標(biāo)》的解讀，還是對教材的分析，都要進(jìn)行深度的思考和研究。同時，教師還要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋和變化，不斷地調(diào)整教學(xué)策略，對結(jié)構(gòu)化教學(xué)進(jìn)行迭代更新，確保教學(xué)設(shè)計符合學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，并能夠引領(lǐng)他們實現(xiàn)知識和能力的提升。

綜上，基于學(xué)習(xí)主題進(jìn)行結(jié)構(gòu)化復(fù)習(xí)，為核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)提供了一種新的思路和模式。教師要始終把發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)放在首位。對于如何幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)并理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，培育學(xué)生適應(yīng)未來發(fā)展所需的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)，一線教師還要不斷反思和實踐。

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