“見木又見林\"成為現(xiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)的追求，如何落實(shí)也成為教師思考的問題.本節(jié)課順承上節(jié)課學(xué)習(xí)的“角的平分線”的知識，對角的平分線進(jìn)行“深度探研”，在復(fù)習(xí)舊知的同時(shí)，對角的平分線進(jìn)行延伸拓展，與后期學(xué)習(xí)的三角形內(nèi)心相結(jié)合，讓學(xué)生感受知識的結(jié)構(gòu)化與一體化，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)反思，學(xué)會(huì)總結(jié).

1教材分析

本節(jié)課是角的平分線的第二節(jié)課，屬于章起始課統(tǒng)領(lǐng)下6課型的“深度探研課\"1].主要內(nèi)容是角平分線的應(yīng)用，是對其相關(guān)知識的鞏固與提高.角平分線的相關(guān)知識是證明角相等、線段相等常用的方法，如由角平分線的定義可以得到兩個(gè)角相等，由其性質(zhì)可以得到線段相等，由其性質(zhì)的逆定理可以證明角相等；同時(shí)，角平分線的性質(zhì)也是初三學(xué)習(xí)三角形內(nèi)切圓知識的直接基礎(chǔ).角平分線作為初中階段的基本圖形之一，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的良好載體.

2教學(xué)目標(biāo)

（1）通過練習(xí)，加深對角的平分線性質(zhì)定理及其逆定理、尺規(guī)作圖的理解；

（2）通過遞進(jìn)性的前3個(gè)問題，確定到三角形三邊距離相等的點(diǎn)，理解分類思想；

（3）通過綜合運(yùn)用角平分線的知識解決問題，提高推理能力，發(fā)展幾何直觀.

3教學(xué)實(shí)踐

環(huán)節(jié)一創(chuàng)境引悱，孕育模型

問題1展示上節(jié)課布置的選做題作業(yè)：到三角形三邊距離相等的點(diǎn)有幾個(gè)？

作業(yè)共出現(xiàn)了三種答案：1個(gè)、2個(gè)、4個(gè).

師生談話，提出問題.

追問1：要確定到三角形三邊距離相等的點(diǎn)，你想到了用什么知識？

預(yù)設(shè)：角平分線的性質(zhì).

追問：看到此題，你還聯(lián)想到了什么？以前接觸過類似問題嗎？

預(yù)設(shè)：在學(xué)習(xí)完線段的垂直平分線之后，曾經(jīng)遇到過確定到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的問題.

設(shè)計(jì)意圖：承接上節(jié)課作業(yè)設(shè)計(jì)中的選做題導(dǎo)入課題，在解決作業(yè)的同時(shí)，把學(xué)生思維引向角的平分線，再對題目進(jìn)行聯(lián)想，促使學(xué)生形成關(guān)聯(lián)意識.

環(huán)節(jié)二 設(shè)疑猜想，形成模型

問題2請各代表（作業(yè)中不同答案的代表）分別進(jìn)行講解，說明為什么到三角形三邊距離相等的點(diǎn)有1個(gè)？2個(gè)？4個(gè)？把思考的過程說出來.

預(yù)設(shè)：我們是受課本第50頁（人教版八年級上冊）練習(xí)2的啟發(fā)得出的，滿足條件的點(diǎn)有2個(gè).

師生活動(dòng)：教師對學(xué)生的回答給予評價(jià)，并結(jié)合學(xué)生的表現(xiàn)（理解情況）確定下一步的問題.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生對不同的答案進(jìn)行反思，結(jié)合答案說出思考問題的過程，以此培養(yǎng)學(xué)生的思維能力以及表達(dá)能力；通過不同點(diǎn)的確定，滲透分類思想，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

環(huán)節(jié)三 合作探究，驗(yàn)證模型

問題3請?jiān)贏BC內(nèi)部，用尺規(guī)作圖確定點(diǎn)O ，使點(diǎn) o 到 ΔABC 三邊的距離相等，并給出證明.

學(xué)生結(jié)合學(xué)案中的圖形，通過尺規(guī)作圖確定點(diǎn) O

師生交流，完成對點(diǎn) o 的分析，作出兩個(gè)角的角平分線即可，教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范解題步驟，形成解題思路.

追問：若把“點(diǎn) o 在三角形的內(nèi)部”去掉，又該如何思考問題？

預(yù)設(shè)1：這樣產(chǎn)生教科書第50頁練習(xí)2中的問題，此時(shí)，要作出 ΔABC 兩個(gè)外角的平分線，交點(diǎn) P 即為滿足條件的點(diǎn)，如圖1所示.

圖1

追問：如何用推理證明的方式說明此時(shí)的點(diǎn) P 到ΔABC 三邊的距離相等？

預(yù)設(shè)：由角平分線的性質(zhì)定理得到.先過點(diǎn) P 向ΔABC 的三邊作垂線段，借助角平分線的性質(zhì)定理，可以推理得出.

追問：這里的點(diǎn) P 只是兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn)嗎？

預(yù)設(shè)：點(diǎn) P 還在 ∠A 的平分線上，因?yàn)辄c(diǎn) P 到∠A 兩邊的距離相等.

追問：很好，那還有其他確定點(diǎn) P 的方法嗎？

預(yù)設(shè)：作出三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線，再作出與該內(nèi)角不相鄰的一個(gè)外角的平分線，兩條平分線的交點(diǎn)即為到三角形三邊距離相等的點(diǎn).

追問：請大家總結(jié)一下，確定到三角形三邊距離相等的點(diǎn)的方法共有幾種？哪種方法最簡單？

師生交流，確定最優(yōu)作法，教師借助幾何畫板進(jìn) 行輔助演示.

教師結(jié)合學(xué)生情況，進(jìn)行補(bǔ)充：這三個(gè)點(diǎn)（用幾何畫板找出的特殊點(diǎn).）在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常遇到，并且都被稱之為三角形的“心”，但名字不同.三條中線的交點(diǎn)稱重心，三條角平分線的交點(diǎn)稱內(nèi)心，三邊垂直平分線的交點(diǎn)稱外心.隨著學(xué)習(xí)的不斷深人，我們會(huì)逐步了解到這“三心\"的奧秘之所在.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把思考的結(jié)果轉(zhuǎn)化為作圖，再借助作圖總結(jié)確定“到三角形三邊距離相等的點(diǎn)”的最優(yōu)方法，讓學(xué)生體會(huì)探究的過程與樂趣.完成對“到三角形三邊距離相等的點(diǎn)的確定”之后，再打開學(xué)生思維，思考三角形內(nèi)特殊的點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生得出“三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)”“三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)”“三角形三條中線的交點(diǎn)”，教師趁勢給出“內(nèi)心、外心、重心”的說法，完善三角形內(nèi)特殊點(diǎn)的內(nèi)容，為后續(xù)研究學(xué)習(xí)埋下伏筆.

環(huán)節(jié)四 再次探究，變式模型

問題4如圖2，在 ΔABC 中， AB=10 ， AC=6 ，點(diǎn) o 在∠BAC 的平分線上，若 ΔAOB 的面積為18，請你求出 ΔAOC 的面積；若點(diǎn) o 也在 ∠ABC 的角平分線上，點(diǎn) O 是否也在∠ACB 的角平分線上？

圖2

師生活動(dòng)：教師結(jié)合學(xué)生回答，給出評價(jià).鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)猜想，大膽嘗試.

設(shè)計(jì)意圖：此題借助面積間接考查了角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理，體現(xiàn)了知識的前后聯(lián)系，克服了“單一”知識點(diǎn)的碎片化學(xué)習(xí)，學(xué)生能力在這種不斷“整合”的滲透下逐步提高.

環(huán)節(jié)五發(fā)散思維，鞏固模型

問題5通過本節(jié)應(yīng)用課，請結(jié)合所學(xué)談?wù)勀銓堑钠椒志€的新理解.

師生活動(dòng)：教師根據(jù)學(xué)生的回答情況進(jìn)行總結(jié)，并及時(shí)評價(jià).最后畫出如圖3所示的結(jié)構(gòu)圖.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從知識本體與獲取知識的過程兩個(gè)方面談收獲，引導(dǎo)他們在掌握知識的同時(shí)，感悟獲取知識的方法，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

4教學(xué)立意與闡釋

4.1落實(shí)“用教材教而不是教教材\"的理念

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)，不是拘于教材，而是對教材進(jìn)行了適切的整合與調(diào)整，循著軸對稱圖形線段到角的進(jìn)階順序，將原本\"全等三角形“一章中的角平分線內(nèi)容后移.如此一來，利用線段的垂直平分線與角的平分線的同構(gòu)性統(tǒng)籌布局，便于形成前后的一致與邏輯的連貫，并用單元結(jié)構(gòu)圖強(qiáng)化這種認(rèn)識.

4.2貫穿“基本套路”，形成學(xué)習(xí)策略

章建躍博士指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要重視基本套路的教學(xué).”角的平分線的學(xué)習(xí)套路與線段的垂直平分線的學(xué)習(xí)套路基本一致.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，沒有老師硬生生的灌輸，問題都來自于學(xué)生的以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，實(shí)際上，就是用“舊套路”去研究學(xué)習(xí)“新套路”，再用新套路學(xué)習(xí)新知識，如此承前啟后，“上伸或下探”，知識在得到豐富與延伸的同時(shí)，更實(shí)現(xiàn)了融會(huì)貫通，也豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)圖形的經(jīng)驗(yàn)，“學(xué)習(xí)套路\"也就容易形成.

參考文獻(xiàn)：

[1]邢成云.“整體統(tǒng)攝·快慢相諧”的整體化教學(xué)[J].中國教師，2021（10）：38-41.