一、課前思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)\"）強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)的一致性和階段性，“圖形的運(yùn)動(dòng)\"是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要載體。

思考之一：何為圖形運(yùn)動(dòng)的一致性？

軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)都是剛體運(yùn)動(dòng)，軸對(duì)稱是指圖形上任一點(diǎn)和其對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等，且點(diǎn)和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線垂直于對(duì)稱軸；平移是指圖形上任一點(diǎn)和其對(duì)應(yīng)點(diǎn)都是沿著某一個(gè)方向移動(dòng)一定的距離；旋轉(zhuǎn)是指圖形上任一點(diǎn)繞固定點(diǎn)（固定軸線）旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角[1。旋轉(zhuǎn)的要素分為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度，因其要素的增多在描述和刻畫上的難度值較另外兩種運(yùn)動(dòng)更高，但三種運(yùn)動(dòng)都不改變圖形的大小，歸根結(jié)底都是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的重要工具，三種運(yùn)動(dòng)可以幫助學(xué)生更好地理解空間中的位置、方向和相對(duì)位置，從運(yùn)動(dòng)視角識(shí)別理解不同圖形的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的空間推理能力等。史寧中教授認(rèn)為，小學(xué)階段學(xué)生的空間觀念應(yīng)著重“感知并描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化規(guī)律，能夠在頭腦中對(duì)圖形進(jìn)行變換\"[2]。

思考之二：旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的階段性為何？

新課標(biāo)對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)有明確的階段性要求：第二學(xué)段讓學(xué)生結(jié)合實(shí)例感受旋轉(zhuǎn)想象；第三學(xué)段讓學(xué)生在方格紙上進(jìn)行簡(jiǎn)單圖形的旋轉(zhuǎn)，從旋轉(zhuǎn)的角度欣賞生活中的圖案，借助方格紙?jiān)O(shè)計(jì)簡(jiǎn)單圖案，感受數(shù)學(xué)美，形成空間觀念；第四學(xué)段讓學(xué)生通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，探索基本性質(zhì)，運(yùn)用圖形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)等[3]。圖形的旋轉(zhuǎn)在義務(wù)教育階段形成了三個(gè)螺旋式上升的過程，各個(gè)學(xué)段雖然各有側(cè)重，但始終體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生空間觀念培養(yǎng)的重視。

筆者以空間觀念在旋轉(zhuǎn)教學(xué)中的素養(yǎng)進(jìn)階為導(dǎo)向，以理解、想象、表達(dá)和應(yīng)用四大要素為變量，進(jìn)一步細(xì)化本節(jié)課在旋轉(zhuǎn)知識(shí)序和認(rèn)知序上的目標(biāo)定位。本節(jié)課屬于學(xué)生第二次學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)，起著承上啟下的作用，能讓學(xué)生基于第一次的現(xiàn)象辨析整體感知走向特征感悟，為后續(xù)的性質(zhì)探索埋下伏筆。在直觀想象與簡(jiǎn)單分析抽象階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生：一是從元素的角度理解旋轉(zhuǎn)；二是在頭腦中對(duì)圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)想象，形成表象；三是根據(jù)要求在格子圖上正確刻畫旋轉(zhuǎn)或描述旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行多元的數(shù)學(xué)表達(dá)和關(guān)聯(lián)互譯表達(dá)；四是借助旋轉(zhuǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)單分析或解決某一相關(guān)問題。

思考之三：旋轉(zhuǎn)教學(xué)的結(jié)構(gòu)性如何？

圖形的旋轉(zhuǎn)可以化歸為關(guān)鍵線段的旋轉(zhuǎn)，而關(guān)鍵線段的旋轉(zhuǎn)本質(zhì)是關(guān)鍵點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。因此，筆者要求學(xué)生在格子圖上刻畫并描述線段 _AB 的旋轉(zhuǎn)。通過前測(cè)，筆者發(fā)現(xiàn)辨析旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象不是第三學(xué)段學(xué)生的難點(diǎn)，精準(zhǔn)描述旋轉(zhuǎn)的特征才是學(xué)生的難點(diǎn)。學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)角度為 90^° 的動(dòng)作表征旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象最熟悉，方向次之，旋轉(zhuǎn)中心最弱[4]。筆者以線段的旋轉(zhuǎn)為本節(jié)課的明線，以點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)為本節(jié)課的暗線，通過變化旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)對(duì)象，引導(dǎo)學(xué)生開展感受旋轉(zhuǎn)本質(zhì)特征的深度學(xué)習(xí)。

二、教學(xué)過程

1.立要素，經(jīng)驗(yàn)相輔

（1）精準(zhǔn)描述

師：如圖1所示，都是線段 AB 的旋轉(zhuǎn)，怎么不一樣？旋轉(zhuǎn)需要說清楚什么？你們能說清楚 ① 號(hào)圖中線段_AB 是怎么旋轉(zhuǎn)的？[5]

生1：我認(rèn)為 ① 號(hào)圖中線段 _AB 旋轉(zhuǎn)了 90^° 。

生2：我覺得你這樣沒有說清楚，②③④ 都旋轉(zhuǎn)了 90^° ，但 ① 號(hào)是向左下角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以應(yīng)該說線段_AB 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^°

生3：我同意生2的想法，雖然清楚了一些，但還不夠， ② 號(hào)也是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)呀！

生4：對(duì)，我們還需要說清楚繞著哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，線段 _AB 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

設(shè)計(jì)意圖：課前學(xué)生在格子圖上刻畫長(zhǎng)度為5格的線段 _AB 的旋轉(zhuǎn)，前測(cè)中 88.94% 的學(xué)生能將線段 _AB 旋轉(zhuǎn) 90^° ，但有 92.17% 的學(xué)生較難精準(zhǔn)描述旋轉(zhuǎn)中心，如出現(xiàn)“繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)\"這樣的表述。因此，筆者選取了學(xué)生的5幅典型作品作為本節(jié)課的主要交流素材，讓學(xué)生在對(duì)比辨析的過程中感受精準(zhǔn)描述的必要性。

（2）逆向鞏固

生3：（將作品遮擋出現(xiàn)：繞點(diǎn) B ）猜猜看，我描述的是哪幅圖的旋轉(zhuǎn)？

生4：可能是 ②③⑤ 中的一幅，我還需要更多的信息。

學(xué)生作品遮擋出現(xiàn)：繞點(diǎn) ^B 繞點(diǎn) B 順時(shí)針。

生5：還需要知道旋轉(zhuǎn)角度，可能是 ② ，也可能是 ⑤ 。

生3：繞轉(zhuǎn)點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

生4：那肯定是 ② 號(hào)， ⑤ 號(hào)是線段 _AB 繞著點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 180^° 。

生5：要說清楚旋轉(zhuǎn)，需要說清楚旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度才可以。

設(shè)計(jì)意圖：生生互動(dòng)既改變了學(xué)生交流的方式，又提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣[6。學(xué)生在猜的過程中，從原來的操作表征轉(zhuǎn)化成語言表征，到根據(jù)語言表征想象操作表征，在操作表征中進(jìn)一步感受利用三要素描述旋轉(zhuǎn)的必要性。

（3）立破并舉

師：（出示圖2）線段 _AB 是怎么 旋轉(zhuǎn)的？

生6：線段 _AB 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

生7：我覺得不對(duì)，這幅圖就不是旋轉(zhuǎn)。

生8：對(duì)啊，線段 _AB 的長(zhǎng)度是5個(gè)格子，線段 AB^′ 的長(zhǎng)度是6個(gè)格子，長(zhǎng)度發(fā)生了變化。

生6：我贊同你們的看法，旋轉(zhuǎn)后線段長(zhǎng)應(yīng)該還是5格。

師：正如你們所說，旋轉(zhuǎn)后圖形的大小和形狀是不變的。

設(shè)計(jì)意圖：旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)在第二學(xué)段著重于整體的感知，筆者通過多次實(shí)踐教學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖能夠快速看出素材中的三要素，卻未關(guān)注到線段旋轉(zhuǎn)后長(zhǎng)度變長(zhǎng)了，未能理解旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。通過錯(cuò)例的呈現(xiàn)，學(xué)生自然意識(shí)到每次描述圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)需要保證圖形的大小、形狀不變。

（4）表征互譯

① 課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)線段 _AB 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，學(xué)生描述。

② 線段 _AB 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90^° ，學(xué)生比畫。

③ 課件出示靜態(tài)圖，如圖3所示。

生9：線段 _AB 繞著點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

生10：我猜，還可能是線段 _AB 繞著點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 270^° 。

生11：我覺得都有可能，只有動(dòng)起來我們才能確定。

課件呈現(xiàn)不同方向的旋轉(zhuǎn)，學(xué)生嘗試描述。

設(shè)計(jì)意圖：圖形的旋轉(zhuǎn)往往呈現(xiàn)靜態(tài)的起始圖或終點(diǎn)圖，理解圖形旋轉(zhuǎn)需要學(xué)生在頭腦中進(jìn)行大量的想象，而想象的前提是先建立豐富的旋轉(zhuǎn)表象。借助幾何畫板的強(qiáng)交互，學(xué)生的語言表征和操作表征得以充分勾連，而動(dòng)態(tài)與靜態(tài)的實(shí)時(shí)呈現(xiàn)，既補(bǔ)足了部分學(xué)生的想象空白，又拓展了學(xué)生的想象空間。

（5）點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)① 特殊位置的點(diǎn)

師：（如圖 4① 所示）如果在線段上取一點(diǎn)，繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，對(duì)應(yīng)的 C^′ 點(diǎn)在哪里？

生12：我認(rèn)為是 C^′ 在點(diǎn) A 正下方2格，因?yàn)榫€段 _AB 剛才順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 就在這個(gè)位置，只要點(diǎn) A 再往下數(shù)2格就可以了。

生13：我贊同你的想法，我們也可以直接想象成是線段 _AC 繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，因?yàn)榫嚯x2格，所以點(diǎn)A往下數(shù)2格。

② 不同位置的點(diǎn)

師：（如圖 4② 所示）如果點(diǎn) c 在這里呢？

生14：雖然沒有畫出線段 AB^′ 了，但是我可以把 _AC 連起來，現(xiàn)在是3格，也就是 C^′ 點(diǎn)在 A 點(diǎn)下方3格。

③ 多個(gè)位置上的點(diǎn)

師：（如圖 ? 所示）它們繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后分別在哪里呢？

生15：把最遠(yuǎn)的點(diǎn)和點(diǎn) A 相連，把它旋轉(zhuǎn)后，再在線段上找點(diǎn)就可以。

生16：其實(shí)是這些點(diǎn)分別和點(diǎn) A 相連，這些線段繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)就是。

師：同學(xué)們可真有辦法！是啊，線段上任意點(diǎn)都和線段 _AB 一樣繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 90^° 。

設(shè)計(jì)意圖：聚焦到點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)是本課教學(xué)設(shè)計(jì)深入圖形旋轉(zhuǎn)本質(zhì)的關(guān)鍵，從特殊點(diǎn) c 到任意點(diǎn)，從一個(gè)點(diǎn)到多個(gè)點(diǎn)再到無數(shù)個(gè)點(diǎn)，學(xué)生在不同方法的表達(dá)中真正理解圖形上任意一點(diǎn)都在做相同的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，圖形的旋轉(zhuǎn)即為點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。

縱觀本環(huán)節(jié)，通過五步推進(jìn)，圍繞空間觀念的“想象、表達(dá)\"兩大要素推進(jìn)學(xué)生“理解\"的初步感悟。在第一步精準(zhǔn)描述中，學(xué)生的語言從粗糙走向精準(zhǔn)，感受三要素的必要性；第二步通過學(xué)生逐個(gè)呈現(xiàn)描述信息，從激趣到感悟，感受三要素在遷移鞏固中的應(yīng)用價(jià)值；第三步的立破并舉，讓學(xué)生在辨析中感受旋轉(zhuǎn)不能改變圖形大小和形狀，感受旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)性；第四步讓學(xué)生借助多媒體在語言表征和操作表征中深化理解旋轉(zhuǎn)的特征，感受旋轉(zhuǎn)的深刻性；第五步讓學(xué)生突破線的限制，由點(diǎn)出發(fā)，感受到旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)。

2.移中心，虛實(shí)相融

（1）沖突激趣

師：線段可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，也可以繞點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)，如圖5所示。（出示點(diǎn) o ））繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，想象對(duì)應(yīng)的點(diǎn) A^′ 點(diǎn) B^′ 在哪里？有困難的同學(xué)可以借助手中的筆擺一擺。

生17：（出示自己的作品）猜猜看，我是怎么找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn) .A^′ 和點(diǎn) B^′ ？

生18：我猜你把點(diǎn) o 和點(diǎn)A相連，只要把線段 OA 繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，然后再往下數(shù)5格就可以了。

生19：其實(shí)可以把線段OB繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，先找到點(diǎn) B^′ ，然后往上數(shù)5格，就可以找到點(diǎn) A 了。

生17：我是先把線段連起來，然后旋轉(zhuǎn)線段 oA ，最后旋轉(zhuǎn)線段OB，這樣也可以找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn) A^′ 和點(diǎn) B^′ 。

生18：旋轉(zhuǎn)中心在外面，一開始我不知道該怎么下手，通過你們的介紹我知道了只要把它們和旋轉(zhuǎn)中心相連，這樣就變成我會(huì)的了。

設(shè)計(jì)意圖：通過旋轉(zhuǎn)中心外移，突破原有思維定式，看似增加了學(xué)習(xí)的難度，但借助格子圖和筆的輔助，大多數(shù)學(xué)生能夠快速意識(shí)到將線段_AB 與旋轉(zhuǎn)中心 o 連接形成線段，將隱性的線顯性地連接起來，通過不同的連接方式解決相同的問題，打開了學(xué)生思考的空間。

（2）點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)

師：同學(xué)們可真有辦法！如圖6所示，如果在線段 _AB 上找一點(diǎn) c 呢？繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，想象對(duì)應(yīng)的 C^′ 在哪里？

生20：按照剛才的方法，先畫出對(duì)應(yīng)的線段，可以是點(diǎn) A 往下數(shù)2格，或者是點(diǎn) B^′ 往上數(shù)3格。

生21：還可以直接連接線段 oc 然后繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

師：如果我在線段 AB 上面找到很多個(gè)點(diǎn) c 呢？繞著點(diǎn) o 旋轉(zhuǎn) 90^° 后，它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)會(huì)在哪里？

生20：線段上所有的點(diǎn)都會(huì)繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

生21：這些點(diǎn)都可以和點(diǎn) o 連線成線段，然后繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)中心借助變式的旋轉(zhuǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生在隱性線的具象化過程中進(jìn)一步感悟圖形與其圖形上點(diǎn)的二元關(guān)系。然后教師通過兩步推進(jìn)，在沖突激趣中分層驅(qū)動(dòng)學(xué)生的多元感悟，并通過方法之間的轉(zhuǎn)化，在動(dòng)靜結(jié)合的過程中理解從點(diǎn)遷移到線段的旋轉(zhuǎn)。

3.變對(duì)象，拓展相通

師：同學(xué)們可真厲害！如圖7所示，如果我把線段 AB 傾斜一些，想象線段 _AB 繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 對(duì)應(yīng)的 A^′B^′ 在哪里？如果有困難，可以拿出錦囊（三角形）試一試。

生22：如圖8所示，我把點(diǎn)A和點(diǎn) B 都和點(diǎn) o 連成一個(gè)三角形，我利用錦囊里的三角形，繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，然后描下來，就可以找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn) A '和點(diǎn) B^′ 。

生23：我也是連起來，但是和你想的不一樣，你們猜我怎么找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn) A^′ 和點(diǎn) B^′ 的呢？

生24：我猜你像前面一樣，把線段 OA 和線段OB分別繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° ，找到對(duì)應(yīng)的線段 OA^′ 和 OB^′ ，然后連接 A^′ 與 B^′ 就是旋轉(zhuǎn)后的線段了。

生23：你猜對(duì)了，我就是把它們分別想成了兩條線段的旋轉(zhuǎn)。

生25：我沒有連成線段，我在腦海里直接想點(diǎn)A和點(diǎn) B 繞點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^°. 后的位置，然后相連就好了。

師：如果我在線段 AB 上找點(diǎn) C 呢？想象一下，對(duì)應(yīng)的點(diǎn) C^′ 會(huì)在哪里？

生26：點(diǎn) c 也和線段 AB 一樣，都會(huì)繞著點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)繼續(xù)以“繞點(diǎn)o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 為核心問題，教師引導(dǎo)學(xué)生借助“形\"整體感知，基于“線\"元素感悟，立足“點(diǎn)\"本質(zhì)體驗(yàn)，在運(yùn)動(dòng)視角中感悟圖形旋轉(zhuǎn)的多元變換。然后教師通過追問線段 _AB 上點(diǎn) c 旋轉(zhuǎn)后的位置，讓學(xué)生感悟圖形上任意的點(diǎn)都在繞點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90^° 。線段的傾斜擺放看似增加了圖形對(duì)象的復(fù)雜度，但實(shí)則與三角形的旋轉(zhuǎn)進(jìn)行隱性的銜接，將簡(jiǎn)單的線段旋轉(zhuǎn)用足用透，為后續(xù)的封閉圖形的旋轉(zhuǎn)打下基礎(chǔ)。

本節(jié)課教師以簡(jiǎn)約的素材，引導(dǎo)學(xué)生在想象、表達(dá)中逐層理解旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)，為后續(xù)的應(yīng)用埋下伏筆。

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