中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2025）08-0059-06

F.克萊因曾指出，一個(gè)數(shù)學(xué)教師的職責(zé)是應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，應(yīng)站在更高的視角來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，觀點(diǎn)高了事物才能顯得明了、簡(jiǎn)單．許多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)中才能被深刻理解．高觀點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)呈現(xiàn)出系統(tǒng)性、連續(xù)性和結(jié)構(gòu)性的特征，且注重揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)．在教學(xué)時(shí)，教師可以從高觀點(diǎn)視角分析和解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以從教育學(xué)、心理學(xué)、數(shù)學(xué)教育的基本理論等視角來(lái)理解數(shù)學(xué)．通過(guò)探析一道中考試題的多種解題思路，嘗試站在高觀點(diǎn)的視角來(lái)審視中考試題的教學(xué)方法和策略，促進(jìn)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的整體性、系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性等特征.

圖1

二、結(jié)構(gòu)分析

一、原題呈現(xiàn)

題目如圖1，在口ABCD中， AC 為對(duì)角線， AE⊥ BC 于點(diǎn) E ，點(diǎn) F 是 AE 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 ∠ACF= ∠CAF ，線段 AB ， CF 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G. 若 ，AD=4 ， tan∠ABC=2 ，則 BG 的長(zhǎng)為

該題是2024年中考山西卷第15題，以平行四邊形為背景命制，圖中包含直角三角形和等腰三角形，題干的前半部分是對(duì)圖形結(jié)構(gòu)特征的定性描述，后半部分是對(duì)線段長(zhǎng)度的定量刻畫(huà)，目標(biāo)是求出線段 BG 的長(zhǎng)度．根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，可以得到 BC= AD=4 ，進(jìn)而將平行四邊形抽象為圖2.在 RtΔABE 中，由 ， tan∠ABC=2 ，可得 BE=1 ， AE=2 則EC=3. ，因?yàn)?∠ACF=∠CAF ，所以 FA=FC 在 RtΔCEF 中， EF²=FC²-EC² ，即 EF²=（EF+2）²-3² 解得 （2

圖2

圖3

將圖2進(jìn)一步抽象得到圖3，這是與線段比例有關(guān)的圖形，這個(gè)圖形的特征是由四條不同方向的直線兩兩相交得到6個(gè)點(diǎn)，其中的已知條件是不在同一條直線上的兩組線段之比，如 AE：EF=8：5 ， BE：EC= 1：3 ，目標(biāo)是得到另外兩條直線上的線段之比，如AB：BG ， GF：FC. 下面圍繞這個(gè)圖形，從低起點(diǎn)到高觀點(diǎn)進(jìn)行解法探析與教法探討，

三、解法探析

1.低起點(diǎn)解法探析

低起點(diǎn)解法是針對(duì)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，從學(xué)生熟悉的知識(shí)出發(fā)，逐步拆解問(wèn)題，分步推導(dǎo)，降低思維難度．對(duì)于該題，從低起點(diǎn)出發(fā)，需要抽象基本圖形，并逐步建立線段之間的數(shù)量關(guān)系，通常建立至少兩個(gè)或者更多的數(shù)量關(guān)系，在解題時(shí)，需要運(yùn)用自身的數(shù)學(xué)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)，不斷挖掘題中隱含的條件，同時(shí)強(qiáng)調(diào)建立多個(gè)數(shù)量關(guān)系在解題過(guò)程中的重要性，需要有耐心、有毅力深入挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，從而得出正確答案.

思路1：平行線法.

根據(jù)圖3的結(jié)構(gòu)特征，采用平行線法解決問(wèn)題，那么平行線法是什么，如何、為何可以解決這個(gè)問(wèn)題呢？首先，觀察圖3，發(fā)現(xiàn)該圖由四條不同方向的直線兩兩相交得到6個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)與線之間又存在著關(guān)聯(lián)，即每一個(gè)點(diǎn)都是由兩條不同方向的直線相交得到的.其次，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線，一共能作多少條呢？依據(jù)基本事實(shí)“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”，即過(guò)6個(gè)點(diǎn)中的任意一點(diǎn)都可以作與另外兩條線段所在直線平行的直線，這樣可以構(gòu)造出12條不同的平行線．最后，構(gòu)造平行線后，如何解決該問(wèn)題呢？通過(guò)構(gòu)造與第三條線段平行，且與第四條線段相交形成“A字形”或“8字形”結(jié)構(gòu)，利用三角形相似的知識(shí)解決問(wèn)題.

解法1：如圖4，過(guò)點(diǎn) A 作 AH//CG ，交 CB 的延長(zhǎng)

線于點(diǎn) H ，則 ΔAEH～ΔFEC. 所以 設(shè) BH= （20號(hào)

m，所以2 ，解得m=19. ，同理，可得 ΔABH～

△GBC.所以

圖4

如圖5～9，通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形，形成比例線段，進(jìn)而求出線段 BG 的長(zhǎng)度，這6種情況相對(duì)較為簡(jiǎn)單，通過(guò)程序化方法先得到含有線段 m 與已知比例的線段組成的相似三角形，以此求出線段 m 的長(zhǎng)，然后再找到含有線段 m 與線段 BG 的相似三角形，即可求出線段 BG 的長(zhǎng).

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

【評(píng)析】為讓學(xué)生不盲目地選擇解法，教師需要引導(dǎo)學(xué)生有序思考，從4條線段的特征出發(fā)，已知 AE ：EF=8：5 ， BE：EC=1：3 ，待求 AB：BG ， GF：FC 因此，可以將這6個(gè)點(diǎn)分為兩類(lèi)，其中有3個(gè)點(diǎn)在線段 GC 外，即點(diǎn) A ， B ， E ，解法1是分別過(guò)這3個(gè)點(diǎn)作平行線，均形成兩組相似三角形結(jié)構(gòu).這樣分類(lèi)使得學(xué)生的解題思路不再無(wú)序、散亂，而是自然地解決問(wèn)題.

解法2：如圖10，過(guò)點(diǎn) C 作 CH//AF ，交 GA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H ，則 ΔBEA～ΔBCH. 所以 設(shè) CH=m，AH=n ，所以 解得 m=8 ，（204 .同理，可得 ΔGFA～ΔGCH. 所以 即 解得

圖10

如圖 11～15 的輔助線作法與圖10類(lèi)似，需要尋找兩組相似三角形.這6種情況在解決問(wèn)題時(shí)較為復(fù)雜，第一組相似三角形中含有 m ， n 兩個(gè)未知量，求出這兩個(gè)未知量的值，再將其代入第二組相似三角形，即可求出線段BG的長(zhǎng).

圖11

圖12

圖15

圖13

圖14

【評(píng)析】運(yùn)用如圖 10～15 所示的方法作輔助線解題時(shí)，要設(shè)兩個(gè)中間量求解，計(jì)算量較大，因此應(yīng)盡量回避這種方法．在解決復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察和分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生能夠靈活運(yùn)用圖形的性質(zhì)和定理尋找解題的突破口.

2.高觀點(diǎn)解法探析

高觀點(diǎn)的解題策略是將復(fù)雜的多個(gè)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行深度提煉與整合，最終優(yōu)化為簡(jiǎn)潔明了的定理或方法，這一視角超越了單純的問(wèn)題解決層面，它追求的是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的深刻理解及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的系統(tǒng)構(gòu)建.

思路2：解三角形法.

解三角形法的核心是聚焦能確定三角形形狀的三個(gè)要素，求出另外三個(gè)要素，該題要求解線段 BG 的長(zhǎng)度，因此聚焦線段BG所在的三角形即可．顯然，ΔBGC 是一個(gè)鈍角三角形，且∠GBC， ∠C 及邊 BC 這三個(gè)量是確定的．因此，需要構(gòu)造有公共直角邊的兩個(gè)直角三角形，利用解直角三角形的思路解確定形狀的三角形.

解法3：如圖16，過(guò)點(diǎn) G 作 CB 的垂線，垂足為點(diǎn) H_? 設(shè) BH=n ，因?yàn)?tan∠GBH=tan∠ABE=2 ，所以GH=2n，CH=n+4，BG=√5n.因?yàn)閠an C=EF 即 所以n=20 所以BG=√5n=20√5

圖16

【評(píng)析】掌握解三角形的本質(zhì)后，可以引導(dǎo)學(xué)生求解確定形狀的三角形，即將非直角三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，從而解決問(wèn)題，這一方法為解決更復(fù)雜的幾何問(wèn)題和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題提供了有力的支持.

思路3：面積法.

同高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊的比，在對(duì)幾何結(jié)構(gòu)的探究中，先從直觀的一維線段出發(fā)，再逐步構(gòu)建對(duì)二維平面以至三維空間的認(rèn)知.這個(gè)結(jié)論不僅簡(jiǎn)化了面積計(jì)算的過(guò)程，而且深刻揭示了空間維度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系．從一維的長(zhǎng)度到二維的面積，通過(guò)“同高”這一條件，實(shí)現(xiàn)了度量上的直接對(duì)應(yīng).

解法4：如圖17，連接 GE ，由已知，易得 1， 設(shè) S_ΔEBG=x. 因?yàn)? SAEBG =1，所以S△CE=3x.則S△E=3x- 因?yàn)镾_ΔGEA=x+1 ，所以 解得 因?yàn)? 所以

圖17

【評(píng)析】面積法能夠?qū)缀?、代?shù)和三角函數(shù)知識(shí)緊密聯(lián)系起來(lái)．面積法不僅能幫助學(xué)生更好地理解和掌握幾何知識(shí)，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力.

思路4：垂線段法.

利用垂線段法解該題時(shí)，需要從宏觀上看這四條線段的特征，其中兩組線段的比例是已知的，一組線段的比例是待求的，可以過(guò)其中三條線段的交點(diǎn)向第四條線段作垂線段，目的是將三個(gè)不同方向的線段投影到第四條線段上，然后通過(guò)設(shè)而不求的方法借助數(shù)量積的關(guān)系求出目標(biāo)線段的比例關(guān)系.

解法5：如圖18，過(guò)點(diǎn) B ， E ， A 分別作線段 CG 的 垂線，垂足分別為點(diǎn) H₁ ， H₂ ， H₃ 設(shè) H₁B=a，H₂E=b HA=c.由已知，得b 將三個(gè)比例式相乘，得 解得 BG=

圖18

【評(píng)析】平行線分線段成比例定理是將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)換為代數(shù)表達(dá)的橋梁，通過(guò)構(gòu)造三條互相平行的垂線段，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三組線段的比的乘積恰好等于1.這種構(gòu)造方法不限制垂線段的數(shù)量，根據(jù)題目已知條件和實(shí)際需要，即可構(gòu)造 n 組線段的比的乘積等于1.這就需要學(xué)生靈活運(yùn)用幾何變換和線段之間的比例關(guān)系，找到解決問(wèn)題的突破口，形成解決問(wèn)題的策略.

思路5：梅涅勞斯定理.

使用梅涅勞斯定理時(shí)，只需要保留已知比例的線段和所求比例的線段即可．如圖19，點(diǎn)A，B， E 是 ΔABE 的三個(gè)頂點(diǎn)，另外三個(gè)點(diǎn) G ， F ， c 稱(chēng)為“分點(diǎn)”，從頂點(diǎn) A 出發(fā)到分點(diǎn)，最后再回到頂點(diǎn)A，沿路徑 BCEFA ，各段路徑的比值乘積等于1，即

圖19

解法6：如圖19，由梅涅勞斯定理，得 .所以 解得

【評(píng)析】梅涅勞斯定理的發(fā)現(xiàn)及證明過(guò)程，是讓平時(shí)學(xué)有余力的學(xué)生探索的優(yōu)秀素材，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性.

思路6：解析法.

解析法是將定性的結(jié)構(gòu)分析直接轉(zhuǎn)化為定量的計(jì)算，將復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題．這種方法具有高度的直觀性和系統(tǒng)性，能夠清晰地表示幾何關(guān)系，避免傳統(tǒng)幾何法中可能出現(xiàn)的思維跳躍或邏輯漏洞，是一種高效、系統(tǒng)的解題方法，但用該種方法解題計(jì)算量較大．因此，在用解析法解題時(shí)，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力.

解法7：如圖20，以點(diǎn) E 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 BC 為x 軸，直線 AF 為 y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系．易得點(diǎn)A（0，2）， B（-1， 0） ， C（3， 0） ， .可得直線 AB ， CF 的解析式分別為 ，兩條直線交于點(diǎn) 所以求得 BG=

【評(píng)析】雖然近年來(lái)平面幾何解析化一直被初中數(shù)學(xué)教學(xué)淡化，但是這一方法是確定各個(gè)點(diǎn)位置的直觀方法．基于題中的線段之間有垂直關(guān)系，故可以構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求解問(wèn)題.

3.高觀點(diǎn)跨學(xué)科解法探析

黎曼開(kāi)創(chuàng)了“力等于幾何”的思想，這一思想不僅革新了幾何學(xué)，也為物理學(xué)提供了全新的視角．自然界中的力并非獨(dú)立于空間和時(shí)間存在，而是與空間的幾何性質(zhì)密不可分，這種深刻的見(jiàn)解不僅推動(dòng)了數(shù)學(xué)與物理的深度融合，也為現(xiàn)代宇宙學(xué)和量子場(chǎng)論的發(fā)展提供了重要的理論基礎(chǔ)．黎曼的“力等于幾何”思想，堪稱(chēng)科學(xué)史上的一座里程碑，至今仍在深刻地影響著我們對(duì)宇宙的理解.

思路7：質(zhì)點(diǎn)法.

質(zhì)點(diǎn)是力學(xué)中的一個(gè)概念．所謂質(zhì)點(diǎn)，是有位置而沒(méi)有大小但卻有質(zhì)量的點(diǎn)，設(shè)想將幾何中的點(diǎn)的意義加以推廣，在保留點(diǎn)的基本特征的同時(shí)又賦予點(diǎn)質(zhì)量，于是這個(gè)點(diǎn)就成為幾何質(zhì)點(diǎn)．幾何中的線段比可以轉(zhuǎn)化成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量比；反過(guò)來(lái)，質(zhì)量比可以轉(zhuǎn)化為所求的線段比．這種方法類(lèi)似于物理學(xué)中的杠桿原理，即杠桿平衡時(shí)，動(dòng)力 × 動(dòng)力臂 Σ=Σ 阻力 × 阻力臂.

解法8：因?yàn)?AE：EF=8：5 ，類(lèi)似于動(dòng)力臂與阻力臂的比為 8：5 ，所以阻力與動(dòng)力的比為 8：5 ，即點(diǎn) F 的質(zhì)量記為 F（8） ，點(diǎn) A 的質(zhì)量為記為 A（5） ，則支點(diǎn) E 的質(zhì)量記為 E（5+8） ．同理，因?yàn)?BE：EC=1：3 ，所以點(diǎn) C 的質(zhì)量記為 C（1） ，點(diǎn) B 的質(zhì)量記為 B（3） ，則點(diǎn) E 的質(zhì)量記為 E（3+1） ．如圖21，將點(diǎn) E 的質(zhì)量統(tǒng)一成比例后，點(diǎn) E 的質(zhì)量記為 E（52） ，此時(shí)點(diǎn) A 的質(zhì)量記為A（20） ，點(diǎn) B 的質(zhì)量記為 B（39） ，則點(diǎn) G 的質(zhì)量記為G（19），所以BG：AB=20：19.所以BG=20√5

圖20

圖21

【評(píng)析】通過(guò)引入質(zhì)點(diǎn)這一力學(xué)概念，巧妙地將幾何與物理學(xué)中的質(zhì)量概念相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的跨學(xué)科聯(lián)系．質(zhì)點(diǎn)作為有位置、無(wú)大小但有質(zhì)量的點(diǎn)，是對(duì)幾何中點(diǎn)的概念的推廣，既保留了點(diǎn)的基本特征，又賦予了其物理意義，這種轉(zhuǎn)化使得幾何中的線段比可以轉(zhuǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量比，反之亦然，為解決問(wèn)題提供了新的視角，通過(guò)質(zhì)量比與線段比的相互轉(zhuǎn)化，學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)問(wèn)題的多樣性和實(shí)用性.

四、教學(xué)建議

高觀點(diǎn)的解法并非一蹴而就的產(chǎn)物，它需要具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、敏銳的洞察力和豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，只有經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)積累與沉淀，才能在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)迅速調(diào)用自身的知識(shí)儲(chǔ)備，并運(yùn)用高觀點(diǎn)策略?xún)?yōu)化解題過(guò)程．因此，在解決問(wèn)題時(shí)不能一味地追求高觀點(diǎn)，教師需要先帶領(lǐng)學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí).

1.注重知識(shí)間的關(guān)聯(lián)性與系統(tǒng)性

在該題的解決中，教師構(gòu)建了系統(tǒng)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，采用“基礎(chǔ)一綜合一拓展”的三層次教學(xué)框架通過(guò)低起點(diǎn)的平行線法建立解法1和解法2之間的縱向聯(lián)系，讓學(xué)生感悟過(guò)不同點(diǎn)構(gòu)造平行線時(shí)，點(diǎn)的特征與線段比例之間的關(guān)聯(lián)性與系統(tǒng)性；通過(guò)高觀點(diǎn)中的初等數(shù)學(xué)方法建立思路2至思路6的解法的橫向聯(lián)系，將線段問(wèn)題置于整體圖形中觀察，理解部分與整體的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生分析不同方法間的內(nèi)在聯(lián)系；通過(guò)高觀點(diǎn)中的跨學(xué)科方法（質(zhì)點(diǎn)法），引導(dǎo)學(xué)生打破學(xué)科壁壘，嘗試將數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題．在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn)和問(wèn)題的應(yīng)用條件，幫助學(xué)生建立“方法選擇一問(wèn)題特征”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)這種系統(tǒng)關(guān)聯(lián)的設(shè)計(jì)，既能夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，又能培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，最終實(shí)現(xiàn)從具體方法掌握到數(shù)學(xué)思想領(lǐng)悟的升華，促進(jìn)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

2.注意低起點(diǎn)與高觀點(diǎn)之間的聯(lián)系

運(yùn)用低起點(diǎn)方法解題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從易到難地逐步解決問(wèn)題，注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和深化，從而深入理解和掌握知識(shí)點(diǎn)，這種方法能夠幫助學(xué)生樹(shù)立學(xué)習(xí)信心，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，是推動(dòng)他們繼續(xù)深入學(xué)習(xí)和探索的動(dòng)力．

運(yùn)用高觀點(diǎn)方法解題時(shí)，不再局限于題中給出的具體條件，而是站在更高的理論高度，審視并剖析這些條件背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，并將它們巧妙地應(yīng)用于當(dāng)前問(wèn)題的解決中，高觀點(diǎn)的解題策略還強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與系統(tǒng)性．它將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)視為一個(gè)有機(jī)整體，通過(guò)不斷地歸納、總結(jié)與提煉，發(fā)現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解與掌握.

從不同視角切入解決問(wèn)題，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的多樣性和數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)聯(lián)性，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)．在實(shí)際解題過(guò)程中，低起點(diǎn)方法為學(xué)生提供了必要的知識(shí)儲(chǔ)備和基本技能，使學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用高觀點(diǎn)方法.同時(shí)，高觀點(diǎn)方法也為學(xué)生提供了更寬廣的視野和更深入的思考方式．這兩種視角在不同層面和角度上相互促進(jìn)、相互補(bǔ)充，使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上獲得不同的發(fā)展，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力.

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