中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0026-05

作者簡介：厲斯亮（1979—），女，高級教師，主要從事初中數(shù)學教育教學研究.

一、問題緣起

1.尺規(guī)作圖與數(shù)學教學

尺規(guī)作圖是指用無刻度直尺和圓規(guī)進行作圖．歐幾里得在《幾何原本》中把無刻度直尺和圓規(guī)確立為幾何作圖的工具，因為尺規(guī)作圖的每一步背后都是有理有據(jù)的，尺規(guī)作圖一直是初中幾何教學的重要內(nèi)容，是學生進行數(shù)學邏輯思維訓練的最佳素材之一.

史寧中教授強調(diào)，尺規(guī)作圖教學要教想法，要教想象力，而非作圖技巧．尺規(guī)作圖蘊含的是嚴格的幾何證明，是邏輯推理、幾何直觀、創(chuàng)造力及豐富的數(shù)學思想.

2.隨著新課標、新教材的推進，更重視尺規(guī)作圖

比較《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）與《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》后，發(fā)現(xiàn)《標準》注重尺規(guī)作圖對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．《標準》要求的尺規(guī)作圖共有19項，分為基本作圖和復合作圖，其中有16項尺規(guī)作圖任務與《幾何原本》一致.《標準》的附錄1中收錄了93個課程內(nèi)容中的實例，其中關(guān)于尺規(guī)作圖的有4個，分別是例26、例29、例73和例76.同時，《標準》對尺規(guī)作圖提出了更高的要求，不但明確了尺規(guī)作圖的具體教學內(nèi)容，而且強調(diào)了需要理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法.

2024年滬教版《義務教育教科書（五·四學制）·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）將尺規(guī)作圖從《九年義務教育課本·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“二期課改教材”）六年級第二學期“線段與角的畫法”一章分配到相關(guān)章節(jié)，將教學目標從原來的“識記”提升為“理解、掌握” （如表1）.

表1部分尺規(guī)作圖基本操作在兩版教材中的章節(jié)與目標對比

同時，2024年滬教版教材七、八、九年級都有新增加的尺規(guī)作圖內(nèi)容，僅七年級就增加了“過直線外一點作已知直線的平行線”“過一點作已知直線的垂線”“已知底邊和底邊上的高作等腰三角形”三項操作．這些內(nèi)容既是《標準》中要求的尺規(guī)作圖，又是對基本作圖的應用，強調(diào)幾何問題的解決.

3.尺規(guī)作圖的教學難點分析

教學實踐中發(fā)現(xiàn)大部分學生在識記尺規(guī)作圖基本操作方面沒有困難，但易出現(xiàn)兩個問題：學后遺忘率高，即便多次練習也效果不佳；往往無法應對綜合性、復雜性問題．有時候?qū)W生不能解決幾何問題，原因在于沒有掌握尺規(guī)作圖，無法畫出相應的圖形，或者作圖不嚴謹導致錯解、漏解.

出現(xiàn)這些問題的根本原因是學生在學習尺規(guī)作圖時僅僅停留于淺表性的程序性知識記憶，并沒有將數(shù)學思想和思維與技能學習充分聯(lián)系起來，缺乏基于情境的尺規(guī)作圖問題解決經(jīng)驗．因此，在尺規(guī)作圖教學中，教師要同步提升學生對作圖原理的理解和應用作圖方法的能力，引導學生經(jīng)歷探究作圖方法的過程，幫助學生積累問題解決的經(jīng)驗，讓學生在直觀操作與抽象作法之間建立聯(lián)系.

二、教學實踐背景介紹

1.主題緣起

九年級學生在學到正多邊形與圓的內(nèi)容時對“如何用尺規(guī)作正五邊形”這個問題很感興趣．二期課改教材九年級第二學期“圓與正多邊形”一章的“閱讀材料”欄目介紹了用尺規(guī)作正五邊形的方法，但未提及作法蘊含的原理.

基于用尺規(guī)作正五邊形，以及對新課標、新教材的理解，筆者探索了“探究正五邊形的尺規(guī)作圖方法”一課，綜合應用學生在初中階段已經(jīng)學習的勾股定理、相似三角形、黃金分割等知識解決問題.通過構(gòu)建探究活動鏈，激發(fā)學生用尺規(guī)作圖探究的興趣，提升學生探究幾何圖形性質(zhì)的能力、推理能力和運算能力.

在初中階段對平面圖形的學習，學生接觸更多、更熟悉的是直線形圖形．此前學生已經(jīng)比較系統(tǒng)地學習了三角形、四邊形等內(nèi)容，對這些圖形的學習都經(jīng)歷了“定義一性質(zhì)一判定”的過程．因此，本節(jié)課從研究正五邊形的性質(zhì)入手．“已知正五邊形的邊長，求它的外接圓半徑”是符合學生對幾何圖形認知規(guī)律的.

2.教學目標確立

基于教學前端分析，筆者將本節(jié)課的教學目標確立為：（1）會正確運用尺規(guī)作圖畫出正五邊形，明確尺規(guī)作圖的基本方法，提高尺規(guī)作圖的基本技能；（2）提高探究幾何圖形性質(zhì)的能力，以及推理能力和運算能力；（3）體會通過研究幾何圖形的性質(zhì)探尋幾何作圖方法的過程，體會學習過程中的化歸、逆向思維等數(shù)學思想方法.

教學重點：會正確運用尺規(guī)作圖畫出正五邊形.

教學難點：體會通過研究幾何圖形的性質(zhì)探尋作圖方法的過程，體會學習過程中的化歸、逆向思維等數(shù)學思想方法.

三、教學過程

1.操作引入，創(chuàng)設探究氛圍，感受幾何直觀

本節(jié)課的教學圍繞著用尺規(guī)作圖畫一個正五邊形展開，在課堂教學的最初設計畫圖操作環(huán)節(jié)，幫助學生直觀感受正五邊形及其畫法，且允許學生使用一切需要的工具．通過這樣的引入，激發(fā)學生的學習興趣，為后續(xù)的探究學習創(chuàng)造良好的氛圍.

操作：利用刻度尺、量角器、圓規(guī)等工具畫一個正五邊形.

師生活動：學生操作畫圖，交流不同畫圖方法.

2.探究活動鏈

環(huán)節(jié)1：師生對話，實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)抽象能力，

教學是一門語言的藝術(shù).數(shù)學教師的語言一般要求規(guī)范、簡潔.有語言藝術(shù)的教師往往能夠通過師生對話潛移默化地幫助學生突破思維屏障，實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化.

本環(huán)節(jié)中，師生通過開展對話，交流不同的作圖方法，教師通過追問不斷引導學生反思和解析自己的作圖過程和方法.學生發(fā)現(xiàn)如果能求出 72^° 角所對的弦長，在圓周上不斷截取相應的弦長就可以了．通過師生間的對話，學生受到啟發(fā)，把原本的尺規(guī)作圖問題轉(zhuǎn)化成以下幾何計算問題.

問題1：如圖1，五邊形ABCDE是 ?o 的內(nèi)接正五邊形，已知 ?o 的半徑是1，求弦 AB 的長度.

圖1

通過這一環(huán)節(jié)初步實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化，把尺規(guī)作圖問題轉(zhuǎn)化為幾何計算問題，同時在師生問答和問題轉(zhuǎn)化過程中培養(yǎng)學生的抽象能力.

環(huán)節(jié)2：逆向思考，研究圖形性質(zhì)，發(fā)展推理能力，

學生嘗試思考解決問題1，但遇到了困難，暫時無法解決．這時候怎么辦呢？“反其道而行之”的說法就是逆向思維．反證法、舉反例、執(zhí)果索因都是數(shù)學中常見的逆向思維，學生對此并不陌生.

通過逆向思維及對正五邊形性質(zhì)的研究，師生共同把難以解決的問題1轉(zhuǎn)化成問題2，而問題2是學生根據(jù)已學的知識和方法能自己解決的.問題2涉及相似三角形、勾股定理等跨單元的多個數(shù)學知識點的綜合運用，對學生的幾何直觀、推理能力和運算能力都具有一定的挑戰(zhàn)性.

問題2：如圖2，五邊形ABCDE是 ?o 的內(nèi)接正五邊形，邊長為 a ，對角線AC和 BE 相交于點 F

圖2

（1）求對角線 BE 的長；

（2）求 ?o 的半徑.解：（1）易證得 ΔFAB～ΔAEB ，所以 因為 AB=AE=EF=a ，

所以

所以點 F 是線段 BE 的黃金分割點.

所以EF 即

所以BE= =

（2）如圖3，連接 OA 交 BE 于點 G ，則 OA⊥BE 于 點 G ，連接 OE

圖3

在 RtΔAEG 中， 所以 RtΔOEG 中，設 OE=r 則 解得 由此可得 所以當正五邊形外接圓的半徑為1時，該正五邊形的邊長為 環(huán)節(jié)3：喚醒活動經(jīng)驗，研究數(shù)據(jù)特征，提升模型觀念.隨著問題的轉(zhuǎn)化和推進，學生接下來要解決的是問題3.問題3：已知 ?o 的半徑是1，怎么求作邊長為 的正五邊形？

追問1：已知單位長度1，怎么畫出√5？怎么畫 和 呢？

這個問題幫助學生喚醒了已有的相關(guān)記憶，聯(lián)系到了在八年級第一學期學習勾股定理時解決的“分別作長為 ， 的線段”的例題.

在之前的課堂教學中，筆者扎扎實實地組織學生探究這道例題的解答方法，因此學生對此印象深刻.在這里，該例題的學習為學生提供了充分的基本數(shù)學活動經(jīng)驗．學生可以順利作出所有長度為 （ n 是正整數(shù)）的線段，如圖4所示.

圖4

追問2：有沒有可能用類似的方法作出長度為 的線段呢？通過計算，學生得到

這一次成功的學習體驗既豐富了學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，又加深了學生對數(shù)形結(jié)合思想的理解，

環(huán)節(jié)4：探究作圖方法，歸納作圖步驟，理解作 圖原理.

在這一環(huán)節(jié)，學生用尺規(guī)作圖的方法畫出正五邊形已經(jīng)是水到渠成，只是需要梳理出具體的作圖步驟，并用規(guī)范的數(shù)學語言描述作圖步驟．這個過程中，教師要引導學生體會尺規(guī)作圖的原理來源于圖形的性質(zhì)，以及用數(shù)學語言進行規(guī)范表達的重要性.

問題4：嘗試用尺規(guī)作圖的方法作一個正五邊形.

師生活動：學生先小組討論，嘗試作圖，之后全班交流，共同歸納作圖步驟.

學生歸納的作圖步驟如下.

① 畫一個 ?o ，作直徑 AB ，作 AB 的垂直平分線

交 ?o 于點 C

② 通過作半徑 OB 的垂直平分線找到 OB 的中點 D ③ 以點 D 為圓心，以 DC 的長為半徑畫弧，交 OA 于點 E ：④ 以點 C 為圓心，以 CE 的長為半徑畫弧，交 ?o 于點 F ， G ：⑤ 保持半徑長不變，分別以點 F ， G 為圓心，再畫弧分別交 ?o 于點H，I;⑥ 順次連接C，F(xiàn)，H，I， G ，形成的五邊形CFHIG即為正五邊形，如圖5所示.

圖5

3.教學效果

尺規(guī)作圖涉及操作活動和思維的結(jié)合，是發(fā)展學生幾何直觀和推理能力非常有效的教學資源.在這次教學實踐前后各有一次練習，其中的兩道幾何填空題難度相仿，且都需要學生自己先畫出圖形再計算相關(guān)線段的長度．筆者統(tǒng)計了教學班和對照班學生在這兩道題目上的得分率，如圖6所示.

圖6教學班和對照班前測、后測得分率統(tǒng)計圖

通過對比兩個班成績的數(shù)據(jù)可以看到，兩個班在相仿的幾何問題上的得分率均有較大幅度的增長，但教學班的增長幅度明顯高出對照班，約高 10% .在其他課堂教學、作業(yè)等因素一致的情況下，這充分說明了本節(jié)課教學的有效性.

四、教學反思

1.深入研讀教材，關(guān)注學生問題，領(lǐng)會課標精神

本次教學實踐既基于教材中的“閱讀材料”，又基于學生感興趣的問題．波利亞說過，當你有目的地向自己提出問題時，它就變成你自己的問題了，學生感興趣的問題更能激發(fā)他們的學習興趣，有利于探究活動的開展．研讀教材是每一位教師的必修課，在新課標、新教材背景下，教師更需要深人研讀教材，領(lǐng)會教材的編寫意圖.教材中的“閱讀材料”等素材或關(guān)聯(lián)數(shù)學史，或體現(xiàn)數(shù)學文化，或促進思維發(fā)展，甚至兼而有之．教師要充分利用這些素材，結(jié)合學情開展教學實踐.

2.設計教學活動，豐富學習經(jīng)驗，發(fā)展核心素養(yǎng)

本節(jié)課中，學生通過經(jīng)歷一個又一個探究學習活動，積累必要的學習經(jīng)驗，在問題的多次轉(zhuǎn)化中體會化歸思想和逆向思維，在問題解決過程中體會之前積累的學習經(jīng)驗發(fā)揮的重要作用，體會通過研究幾何圖形的性質(zhì)探尋幾何作圖方法的過程．在本節(jié)課的學習過程中，學生用數(shù)學的眼光觀察圖形、轉(zhuǎn)化問題，提高了抽象能力、幾何直觀和創(chuàng)新意識；學生研究圖形的性質(zhì)和數(shù)據(jù)特征，這是在用數(shù)學的思維進行思考，提高了運算能力和推理能力；學生通過聯(lián)系已有的學習經(jīng)驗和基本圖形，以及組織幾何作圖語言，提高了模型觀念和應用意識，實現(xiàn)了用數(shù)學的語言表達自己的觀點.

3.開發(fā)尺規(guī)作圖的主題探究教學

中學數(shù)學教學中的探究活動主要是指立足于學生已有的知識與教學內(nèi)容，引導學生自主參與并開展與某些數(shù)學問題相關(guān)的探究活動．尺規(guī)作圖對工具有較嚴格的限制，這種工具的限制相當于一種問題情境，尺規(guī)作圖能考查學生在特定條件下，通過幾何推理解決問題的能力，這符合探究活動的目標，建議教師開發(fā)尺規(guī)作圖的探究活動開展教學實踐．古希臘數(shù)學家將作圖工具限制于直尺和圓規(guī)，很大程度上是出于對數(shù)學美的追求．這一點在當下教育中美育不足、學生審美能力亟待提高的環(huán)境下是彌足珍貴的教育資源.

結(jié)合本次的教學實踐和思考，筆者針對開發(fā)尺規(guī)作圖的探究教學給出以下建議：（1）設置作圖環(huán)節(jié)并給予學生充足的時間，讓學生親身感受作圖操作，增加直觀體驗；（2）探究任務不脫離尺規(guī)作圖基本操作，教師通過追問、階段小結(jié)等方式有意識地引導學生體會作圖的原理，探究其中蘊含的數(shù)學思想；（3）教師對教學活動的開展有系統(tǒng)設計和充分的預設；（4）給學生提供充足的交流和分享的機會.

尺規(guī)作圖有效承載著對學生數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的任務，一旦尺規(guī)作圖的教學被簡化為一種程序性的技能，那便失去了數(shù)學的靈魂．尺規(guī)作圖是幾何學的一顆明珠，它熠熠生輝；尺規(guī)作圖教學是數(shù)學教學領(lǐng)域的一座寶藏，等待我們繼續(xù)探索發(fā)現(xiàn).

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