中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0047-06

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）確立了以核心素養(yǎng)為導向的課程目標并提出注重實現(xiàn)“教一學一評”一致性的要求．根據核心素養(yǎng)的階段性，界定了初中階段九個核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內涵，模型觀念是其中之一，是教學評價體系的重要組成部分．對于“如何命制試題，才能夠在紙筆測試中對學生模型觀念的發(fā)展水平進行測評”這一問題，筆者認為，《標準》中所界定的模型觀念內涵具有高度統(tǒng)攝性，落實到具體的試題命制中需依據數學建模各個環(huán)節(jié)的表現(xiàn)特征，分別設置片斷式教學任務，側重考查學生在某個建模環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)．因此，需要結合所考查的知識背景，將《標準》中的模型觀念內涵進一步細化為可操作、可觀測、可測量的行為指標．基于細化的行為指標，確定測量目標，構建試題核心結構，創(chuàng)設情境設計問題，編寫評分量表，根據學生在解決問題過程中的行為表現(xiàn)推斷學生的模型觀念發(fā)展水平．下面以一道八年級期末壓軸題的命制過程為例，談談如何基于模型觀念的行為指標進行試題命制.

一、一次函數內容中模型觀念的行為指標

《標準》將模型觀念的內涵描述為：“模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識.知道數學建模是數學與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑；初步感知數學建模的基本過程，從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規(guī)律，求出結果并討論結果的意義．模型觀念有助于開展跨學科主題學習，感悟數學應用的普遍性.”結合“一次函數”單元知識，進一步細化模型觀念的行為指標，如表1所示.

表1

二、命制過程與反思

1.命題規(guī)劃

《標準》在學業(yè)質量標準中提出第四學段學生要能從具體的生活與科技情境中抽象出函數、方程、不等式等數學表達形式，用數學的眼光發(fā)現(xiàn)并提出（或轉化為）數學問題，用數學的思維探索、分析和解決具體情境中的現(xiàn)實生活問題，給出數學描述和解釋．從實踐來看，當實際問題情境是學生不熟悉且較復雜的情境時，則對學生的模型觀念有更高能力水平的要求．此外，初中階段的函數學習遵循“實際背景一抽象函數概念一研究函數圖象和性質一解決實際問題”的路徑，因此用函數描述變化規(guī)律、解決實際問題具有重要意義，基于以上考慮，將一次函數的實際應用作為該八年級期末試卷的壓軸題，著重考查學生的模型觀念，制訂如表2所示的雙向多維細目表.

表2

2.素材選取

該試題背景選自華東師大版《義務教育教科書·數學》八年級下冊第64頁習題17.5第6題，題干如下.

藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥．經多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗.測得成人服藥后血液中藥物濃度 y （微克/毫升）與服藥后的時間 x （時）之間的函數關系如圖1所示.

圖1

3.構建試題核心結構

根據命題規(guī)劃，該壓軸題主要考查學生在不熟悉的情境中綜合運用一次函數的圖象和性質、方程與不等式等知識解決實際問題，借此評價其模型觀念的發(fā)展水平．為提高試題對學生模型觀念水平的要求，記圖1中的圖象表示的函數為 y_C ，增加一個變化過程：另一種藥物采用注射方式，注射后血液中藥物濃度達到峰值，之后該種藥物濃度隨時間下降的規(guī)律為一次函數，記作y甲

用幾何畫板軟件進行探究，如圖2，將服藥乙藥物的時刻記為0，改變甲藥物的注射時間，可以發(fā)現(xiàn)兩個新的變化過程： ① 兩種藥物濃度相同的兩個時刻之差 |t₂-t₁| 會隨甲藥物的注射時間變化而發(fā)生變化，|t₂-t₁| 也可以理解為乙藥物濃度高于甲藥物濃度的時長； ② 乙藥物和甲藥物濃度的差值 y_Z-y_H 的最大值隨甲藥物的注射時間發(fā)生變化.

圖2

從考查目標來看，這兩個變化過程都需要假設新參數，即甲藥物的注射時間，完善甲藥物濃度隨時間變化的模型，在構建新函數、求解的過程中需要綜合運用一次函數與方程、不等式的聯(lián)系，以及一次函數的圖象和性質進行求解．為了使試題有較高的實際應用意義，筆者選擇過程 ① 作為該試題的核心結構，

4.情境設計

該題是一道綜合性試題，需要將更多的行為指標融入試題．一次函數內容中模型觀念的行為指標既有水平層次較低的行為指標，側重考查基礎知識和基本技能，如用待定系數法建立一次函數模型，也有水平層次較高的行為指標，側重考查數學關鍵能力，如假設參數、完善一次函數模型等．基于以上考慮設計問題情境，覆蓋更豐富的行為指標．行為指標對應的問題情境如表3所示.

表3

5.完善情境與設問

根據以上分析，對試題的核心結構賦予實際意義，將測量目標具體化為試題情境和設問，形成如下初稿.

表4

初稿：治療某種疾病需要同時使用甲、乙兩種藥品，甲種藥品采用注射的方式給藥，乙種藥品采用口服的方式給藥.臨床實驗研究數據表明，注射甲種藥品后，血液中甲種藥品的濃度（單位：微克/毫升）隨注射時間（單位：時）的變化規(guī)律如表4所示；服用乙種藥品后，血液中乙種藥品的濃度（單位：微克/毫升）隨服藥時間（單位：時）的變化圖象如圖3所示（圖象由兩條有公共端點的線段組成）.

圖3

（1）當服藥時間超過1小時后，求血液中乙種藥品的濃度隨服藥時間變化的函數關系式；

（2）科研人員發(fā)現(xiàn)當血液中同時存在兩種藥品，且乙種藥品的濃度比甲種藥品的濃度高時，能夠產生較好的療效，試估計產生較好療效的時長的最大值.

賦予實際背景后，函數的定義域發(fā)生改變， t₁ 和 t₂ 不一定是 y_H=y_Z 的解，可能出現(xiàn) t₁ 是甲種藥品注射的時刻或 t₂ 是甲種藥品濃度為0的時刻等情形，因此需要分情況討論.這時解答難度增加，對學生分析問題、完善模型的水平要求更高．從實際情況來考慮，要產生較好的療效，藥物需要有一定的濃度，而初稿的第（2）小題僅要求“同時存在兩種藥品”，顯然與實際情境不符．從嚴謹性來考慮，一方面，如果有重復用藥，那么無法確定產生較好療效的時長的取值范圍；另一方面，根據實際情境，所求得的參數取值范圍可能是開區(qū)間，僅能夠求得 |t₂-t₁| 的取值范圍，而無法確定最值.基于以上考慮，將該題第（2）小題最終修改如下.

第（2）小題終稿：科研人員發(fā)現(xiàn)當血液中同時存在兩種藥品，且乙種藥品的濃度比甲種藥品濃度至少高2微克/毫升時，能夠產生較好的療效．由于藥物本身存在副作用，因此在24小時內這兩種藥品都只能使用一次，試估計產生較好療效的時長是否有可能超過6小時，并說明理由.

6.解答簡析

（1） （2（2）設在服用乙種藥品 ah 后注射甲種藥品，則

（204 y_Ψ=-t+8+a （ ）.設產生較好療效的時

長為 f ① 當 t₁=a ， t₂ 是 y_Z-y_H=2 的解，即注射甲藥品

后，立即產生較好療效，產生較好療效的時刻為 t=a 因為當 0Z=12t ，所以 y_Z-y_#?2 ，即 12t-（-t+8+a）≥2 ：因為當 a?tlt;1 時式子恒成立，所以a≤13a-10.解得a≥5當 1Z-y_#?2 解得 t?4-a ，即 t₂=4-a 因為 t=4-a 時， _y⊥）0 ，解得 agt;-2 業(yè)所以較好療效的時長 f=-2a+4 #所以當 時， =② 當 t₁ ， t₂ 都是 y_Z-y_H=2 的解.

令 y_Z-y_#?2 ，解得 =因為 ，所以 -10?a?3 當 t=4-a 時，即 y_Hgt;0 ，解得 agt;-2 所以 -2 所以 （20 ③ 當 t₁ 是難 y_Z-y_#=2 的解，即 ， t₂=8+a ， ：同理，可得 -10?alt;-2 當 a=-2 時， ，所以flt;700綜上所述， ，故產生較好療效的時長不可能超過6小時.

7.基于行為指標編寫評分量表

為增強實測數據的可解釋性，使測評結果客觀反映學生模型觀念的發(fā)展水平，研制基于模型觀念行為指標賦分的評分量表．由于解答過程中每個環(huán)節(jié)需要的技能、能力要素存在差異，因此對每個環(huán)節(jié)的賦分也需要考慮技能與能力的要求，制訂相應的評分量表.

第（1）小題（滿分為5分）的測量目標是：知道一次函數的圖象特征和性質，會從情境中提取解決問題所需要的信息，會用待定系數法求一次函數解析式表達變化規(guī)律.

第（1）小題評分量表如表5所示.

表5

第（2）小題（滿分為7分）的測量目標是：分析情境，從函數的角度理解現(xiàn)實情境中的數學含義，能夠正確表達情境中信息之間的內在關聯(lián)；根據情境的需要假設參數，完善模型，綜合應用一次函數的性質、方程、不等式的知識解決問題，第（2）小題評分量表如表6所示.

表6

8.試題命制反思

初中階段的代數式、方程、不等式、函數都是研究現(xiàn)實世界數量關系和變化規(guī)律的模型．因此，教學和評價都要圍繞著從現(xiàn)實問題中抽象出數學模型，應用模型的性質解決問題來開展．在行為指標上設置思維難點，是命制一次函數應用題的關鍵抓手，可以從幾個方面來考慮：選用信息豐富、呈現(xiàn)形式多樣、關系復雜的真實情境考查學生梳理信息并表達的能力；設計開放性、實踐性設問，考查學生的數學應用能力；設計多變量的含參數的函數模型，考查學生綜合運用函數性質解決數學問題的能力；還可以與統(tǒng)計知識結合，利用統(tǒng)計結果確定擬合函數的參數，考查學生完善模型的能力；等等.

提煉試題命制流程如圖4所示.

研究階段 命制階段 完善階段結合單元內容分解核心素養(yǎng) 選取試題情境背景 依據行為指標，表現(xiàn)行為指標 編寫能力要素賦分的評分量表制訂雙向多維 依據行為指標，構細目表 建試題核心結構編寫參考答案確定測量的行完善試題情境和設為指標，形成問，設置進階問題試題規(guī)劃

三、基于行為指標的命題啟示

1.試題命制思路源于對行為指標的理解

初中階段數學核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)落實到教學、評價的實踐中，還需要搭建一個橋梁，即結合具體的內容或任務，將核心素養(yǎng)具體化為可操作、可觀測、可測量的行為指標，從而確定試題的測量目標，形成命題規(guī)劃，再進一步具體化為試題的情境和設問．鮑建生教授在在第十三屆初中青年數學教師課例展示活動總結報告中提到的基于數學核心素養(yǎng)的題庫建設路徑如圖5所示.

使用該框架進行命題時，在實操的層面上，研讀核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)的內涵，理解數學知識的本質及蘊含的數學思想方法，理解《標準》中描述結果目標和過程目標的行為動詞的內涵，形成行為指標，這是素養(yǎng)導向的試題命制的一般步驟，是與疊加結構模型、人為制造解題困難的命題方式的不同之處.

2.以行為指標命制試題，避免套路化

以考查模型觀念的試題為例，往往會看到教師將其簡單歸類為應用題，在教學中存在通過對知識應用的各種情境進行分類試圖獲得求解考查模型觀念試題的解答套路的現(xiàn)象．這樣的教學方式之所以有“市場”，一方面，大量考查模型觀念的試題是“套路題”；另一方面，教師未能認識到這類試題主要考查的是數學建模中的模型求解和應用環(huán)節(jié)．從行為指標來看，模型觀念還包含了觀察實際情境、發(fā)現(xiàn)和提出問題、假設參數、建立模型、完善模型、運算求解等要素．從細化的行為指標人手，思考試題的情境和設問，往往能夠獲得考查核心素養(yǎng)水平的命題思路，避免學生在測評中只需要根據解題記憶或是按照既定步驟進行解答，偏離測量目標，導致對核心素養(yǎng)發(fā)展水平的評價失真，核心素養(yǎng)培養(yǎng)乏力.

3.以行為指標編寫評分量表，形成評價閉環(huán)

學業(yè)水平考試或階段性測試都承載著評價核心素養(yǎng)發(fā)展水平、引導教學的功能．試題的評分設置需要符合測量目標要求．與過去只根據最終答案判定對錯，或對學生的解答過程按照步驟給分的方式不同，對核心素養(yǎng)的循證評價需要依據測試題中蘊含的行為指標．設計評分量表，使測試的結果能反映學生各個指標的達成情況，從而對學生的核心素養(yǎng)發(fā)展水平具有可解釋性，反饋到教學中，教師能夠有針對性地凝練經驗、改進教學．在實際操作中，還需要考慮達成每個行為指標所需要的技能或思維過程的繁雜程度，從而對各個環(huán)節(jié)進行賦分．以行為指標賦分的評分量表的評價結果，能夠為優(yōu)化行為指標或試題命制提供重要的參考依據．因此，編制評分量表也應當是試題命制中的重要一環(huán).

參考文獻：

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