編者按：為推進中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革與發(fā)展，促進教育工作者理論素養(yǎng)和專業(yè)水平的提升，搭建優(yōu)秀教學(xué)交流平臺，在中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會的支持下，中國數(shù)學(xué)教育雜志社舉辦了“2024年度中國數(shù)學(xué)教育論文評選活動”．在此次活動中，多篇選題新穎、內(nèi)涵豐富的文章脫穎而出．為進一步激發(fā)教育工作者的寫作熱情，并對此次活動中的獲獎?wù)弑硎咀ＹR，特將“2024年度中國數(shù)學(xué)教育論文評選活動”中的獲獎文章?lián)駜?yōu)刊登．“2025年度中國數(shù)學(xué)教育論文評選活動”已經(jīng)開啟，歡迎各位讀者積極參與.

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0014-05

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在關(guān)于初中階段綜合與實踐領(lǐng)域的“學(xué)業(yè)要求”中指出，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識，完成跨學(xué)科實踐活動，發(fā)展學(xué)習(xí)能力、實踐能力和創(chuàng)新意識．學(xué)生在學(xué)習(xí)完浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）九年級上冊第3章“圓的基本性質(zhì)”后，仍難以把握一些實際應(yīng)用問題，如“船過拱橋”問題．其中，對于拱橋的模型是圓弧形還是拋物線形，學(xué)生容易混淆，教師通過學(xué)情分析，設(shè)計相關(guān)主題的學(xué)科實踐活動，通過真實情境讓學(xué)生去解決問題．但教師如果通過大量、重復(fù)的紙質(zhì)訓(xùn)練題讓學(xué)生鞏固知識，這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維和綜合能力的提升沒有太多促進作用．在本次學(xué)科實踐活動中，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》要求、“教一學(xué)一評”一致性和學(xué)生學(xué)情，設(shè)計了相關(guān)的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生探究和優(yōu)化拱橋的數(shù)學(xué)模型，從而促進學(xué)生核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

一、教學(xué)內(nèi)容與解析

1．內(nèi)容要求

《標(biāo)準(zhǔn)》中對于二次函數(shù)和圓的內(nèi)容要求分別是：通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義；探索并證明垂徑定理；了解三角形的外心；能用尺規(guī)作圖過不在同一直線上的三點作圓．在二次函數(shù)的教學(xué)過程中，教師要關(guān)注數(shù)學(xué)知識與實際的結(jié)合，讓學(xué)生經(jīng)歷在實際問題中建立數(shù)學(xué)模型、驗證模型、歸納反思的過程，從而形成模型觀念，在圓的教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過實驗探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圓的基本性質(zhì)及其實際應(yīng)用.

2.地位作用

函數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)，是連接數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實問題的橋梁．從知識結(jié)構(gòu)來看，會運用二次函數(shù)的知識解決實際問題是教學(xué)難點．而對于圓的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)，在培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力、幾何直觀、運算能力、推理能力等方面都有重要作用．通過本次學(xué)科實踐活動，學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)據(jù)收集、模型構(gòu)建、驗證和優(yōu)化拱橋數(shù)學(xué)模型的過程，既促進了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和數(shù)學(xué)思維的提升，又培養(yǎng)了學(xué)生解決實際問題的實踐能力和應(yīng)用能力.這個過程有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、學(xué)情分析和可行性分析

1．學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)、圓的基本性質(zhì)內(nèi)容后，已經(jīng)了解了二次函數(shù)與圓的相關(guān)概念，探究了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及垂徑定理等知識，初步具備了利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識解決簡單實際問題的基礎(chǔ).

2.教學(xué)可行性分析

開展“探究拱橋的數(shù)學(xué)模型”的學(xué)科實踐活動，主要分為課前的實地考察和課上的探究活動．學(xué)生在之前的項目式學(xué)習(xí)“拱橋中的數(shù)學(xué)”中積累了有關(guān)拱橋的歷史文化和數(shù)據(jù)資料，且這些學(xué)習(xí)素材和數(shù)據(jù)的查詢、獲取都比較方便．另外，當(dāng)學(xué)生利用信息技術(shù)處理測量的數(shù)據(jù)時，都有教師給予指導(dǎo)，如對拱橋進行等比例縮小，以及用函數(shù)擬合工具來優(yōu)化拱橋的數(shù)學(xué)模型等.

三、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點和教學(xué)難點分析

“探究拱橋的數(shù)學(xué)模型”學(xué)科實踐活動的教學(xué)目標(biāo)如下.

（1）通過觀察等比例縮小的拱橋圖片，猜想拱橋的數(shù)學(xué)模型，發(fā)展抽象能力和空間觀念.

（2）通過建立平面直角坐標(biāo)系，測量相關(guān)數(shù)據(jù)，求拋物線的表達式和圓的半徑，提升運算能力．

（3）通過經(jīng)歷“猜想一獲取數(shù)據(jù)一驗證模型一優(yōu)化模型”的數(shù)學(xué)建模過程，發(fā)展模型觀念.

（4）通過利用信息技術(shù)處理數(shù)據(jù)，感受拱橋數(shù)學(xué)模型優(yōu)化的過程，成功修復(fù)破損的拱橋及解決“船過拱橋”問題，發(fā)展應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

教學(xué)重點：如何利用測得的數(shù)據(jù)驗證拱橋的數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)難點：如何優(yōu)化拱橋的數(shù)學(xué)模型，

四、教學(xué)過程設(shè)計

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計旨在通過對破損拱橋的數(shù)學(xué)模型探究，引導(dǎo)學(xué)生深入理解和應(yīng)用二次函數(shù)和圓等數(shù)學(xué)知識，進一步提升學(xué)生解決實際問題的能力．該教學(xué)過程設(shè)計分為五個環(huán)節(jié)，分別為回顧舊知、分組探究、模型優(yōu)化、方法歸納和作業(yè)布置.

環(huán)節(jié)1：回顧舊知.

在上一節(jié)課，學(xué)生分組對如何用數(shù)學(xué)的方法修復(fù)學(xué)校附近一座破損的拱橋提出了一些問題，且為了確定拱橋的形狀進行了實地考察和網(wǎng)絡(luò)查詢．許多學(xué)生獲取了一些該拱橋的相關(guān)數(shù)據(jù)和資料，并利用計算機軟件對拱橋原圖進行了等比例縮小.這節(jié)課我們主要探究該拱橋的數(shù)學(xué)模型，

如圖1所示的衣錦橋位于杭州半山下，又名半山橋，南北向橫跨上塘河，距今已有1000多年．橋通長29.5米，寬4.48米，幾經(jīng)破損和修復(fù)．現(xiàn)查詢資料得該橋的跨徑約為12.6米，拱高約為5.2米.

圖1

【設(shè)計意圖】通過完成前置性的學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生觀察、猜想拱橋的數(shù)學(xué)模型可能是拋物線形或圓弧形，然后利用信息技術(shù)對拱橋原圖進行等比例縮小，并用A4紙打印圖片供學(xué)生進行探究，發(fā)展學(xué)生的抽象能力和空間觀念.

環(huán)節(jié)2：分組探究.

學(xué)生被分成不同的探究小組，每組根據(jù)測量獲得的數(shù)據(jù)，分別選擇一個假設(shè)（拱橋的數(shù)學(xué)模型是圓弧形或拋物線形）進行探究.各小組內(nèi)成員之間需要共同討論，選定測量方案并進行驗證，最終確定拱橋的數(shù)學(xué)模型.

小組A代表：我們小組猜想該拱橋的數(shù)學(xué)模型為圓弧形，先在拱橋的圓弧形上任取三個點，利用尺規(guī)作出其圓心，并測量點到圓心的距離，即半徑的長，然后建立平面直角坐標(biāo)系，擬定圓心的坐標(biāo)，在圓弧上等距分別取不同的點（0.5，2），（1，2.4），（1.5，3.3），（2，3.7），計算出各點與圓心的距離，最后將所得距離與半徑進行比較，發(fā)現(xiàn)它們比較接近.

小組B代表：我們小組也猜想該拱橋為圓弧形，但我們發(fā)現(xiàn)根據(jù)橋的跨徑為12.6米，拱高為5.2米，可以先計算出拱橋的半徑．如圖2，設(shè)圓弧的圓心為點 o 半徑為 r ，連接 OA ， ，拱高 MN=5.2 ，由垂徑定理，得 r²=6.3²+（r-5.2）² ，解得 r≈6.42 ．以拱橋跨徑的一個端點A為原點，跨徑所在直線為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，確定圓心 o 的坐標(biāo)為（6.3，-1.22）．驗證測得的幾組數(shù)據(jù)（0.5，2），（1，2.4），（1.5，3.3），（2，3.7）是否在圓弧形線上，運用兩點之間距離公式計算測得點到圓心的距離，并比較該距離與半徑的差值，最后得出破損拱橋的數(shù)學(xué)模型與圓弧形比較接近.

圖2

小組C代表：我們小組猜想該拱橋為拋物線形，以破損拱橋的一端為原點建立平面直角坐標(biāo)系．此時，可設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為 ．將頂點坐標(biāo)（6.3，5.2）代入函數(shù)表達式，得 a≈-0.131 所以拋物線的表達式為 y=-0.131x²+1.650 6x ，然后驗證測得的幾組數(shù)據(jù)（0.5，2），（1，2.4），（1.5，3.3），（2，3.7）是否在拋物線上，發(fā)現(xiàn) x 越大， y 越大，點偏離拋物線越遠(yuǎn).

【設(shè)計意圖】通過對拱橋不同數(shù)學(xué)模型的假設(shè)和驗證，以及小組派代表進行匯報并對有關(guān)數(shù)據(jù)糾錯，提升學(xué)生的運算能力．小組合作的形式促進了學(xué)生之間的交流與協(xié)作，培養(yǎng)了他們探究數(shù)學(xué)問題的實踐能力，發(fā)展了學(xué)生的模型觀念.

環(huán)節(jié)3：模型優(yōu)化.

教師指導(dǎo)學(xué)生將之前測量得到的數(shù)據(jù)輸人電子表格（如表1）進行數(shù)據(jù)分析，并利用Excel對拱橋數(shù)學(xué)模型進行擬合和優(yōu)化．若拱橋為拋物線形，如圖3，擬合和優(yōu)化后的函數(shù)表達式為 y=-0.1263x²+1.517x+ 0.8763；若拱橋為圓弧形，如圖4，優(yōu)化后的半徑 r 取值為6.3703.

表1

圖3擬合、優(yōu)化后的函數(shù)表達式

圖4點到圓心的距離

【設(shè)計意圖】學(xué)生運用信息技術(shù)對拱橋的數(shù)學(xué)模型進行擬合和優(yōu)化，了解驗證和修正數(shù)學(xué)模型的重要性，從而提升問題解決能力，發(fā)展批判性思維，促進數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展．

環(huán)節(jié)4：方法歸納.

在完成拱橋數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化后，教師引導(dǎo)學(xué)生共同討論并歸納在本次活動中使用的數(shù)學(xué)建模方法.

（1）若拱橋為拋物線形.

先建立平面直角坐標(biāo)系，再通過測量獲取點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，最后驗證其他的點是否符合函數(shù)表達式.

（2）若拱橋為圓弧形.

先作出圓弧的圓心，求出半徑，然后計算點到圓心的距離，最后驗證這些距離是否相等.

（3）優(yōu)化模型.

在Excel中輸入點的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，擬合函數(shù)的表達式和圓的半徑，從而優(yōu)化拱橋的數(shù)學(xué)模型，

【設(shè)計意圖】通過引導(dǎo)學(xué)生歸納拱橋中的數(shù)學(xué)建模方法，提升學(xué)生的反思、歸納能力，讓學(xué)生找到優(yōu)化數(shù)學(xué)建模過程的學(xué)習(xí)路徑，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的元認(rèn)知水平，促進其解決問題能力的提升.

環(huán)節(jié)5：作業(yè)布置.

在該教學(xué)活動中，學(xué)生經(jīng)歷了探究和實踐的過程，深入了解了拱橋的數(shù)學(xué)模型，通過小組合作，不僅提高了學(xué)生解決實際問題的能力，而且加深了學(xué)生對二次函數(shù)和圓的相關(guān)知識的理解．為了體現(xiàn)“教一學(xué)一評”的一致性，課后作業(yè)布置如下.

（1）完善驗證拱橋數(shù)學(xué)模型的方案.

基于在小組探究活動中的發(fā)現(xiàn)和討論，每個小組需要完善自己的方案，明確說明選擇的模型（拱橋是圓弧形或拋物線形），并且給出驗證該模型正確性的詳細(xì)步驟和理由，要求方案中包含必要的數(shù)學(xué)計算和邏輯推理過程.

（2）提交設(shè)計作品.

每個小組根據(jù)自己的探究結(jié)果設(shè)計一份關(guān)于如何修復(fù)破損拱橋的方案設(shè)計作品，提交的作品需包含設(shè)計圖及其計算過程.

（3）解決相關(guān)實際應(yīng)用問題.

選擇一類實際問題，如“船過拱橋”問題，應(yīng)用拱橋的數(shù)學(xué)模型來解決，需要詳細(xì)描述問題背景、數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用過程、計算步驟和最終解決方案，要求提供問題解決的圖示和相關(guān)計算過程，確保解答過程清晰、邏輯嚴(yán)密.

五、教學(xué)延伸

對拱橋數(shù)學(xué)模型的深人探究，不僅促進了學(xué)生對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解，而且培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的關(guān)鍵能力．學(xué)生從拱橋的現(xiàn)實原型抽象出拱橋的數(shù)學(xué)模型，發(fā)展了抽象能力和空間觀念，經(jīng)歷了從問題發(fā)現(xiàn)到問題解決的全過程．這對于學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和生活具有重要意義．為了進一步鞏固和拓展該次教學(xué)實踐活動的學(xué)習(xí)成果，我們可以考慮以下幾個方面的教學(xué)延伸.

一是跨學(xué)科學(xué)習(xí)．探索數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的結(jié)合，如物理學(xué)中的拱橋受力問題、橋梁的歷史文化等，讓學(xué)生在跨學(xué)科的學(xué)習(xí)過程中深化對知識的理解，促進核心素養(yǎng)的發(fā)展.

二是數(shù)學(xué)建模競賽.鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽，可以將拱橋模型作為研究對象之一．通過設(shè)計模型競賽，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和團隊合作精神.

三是參加專家講座.組織學(xué)生參加相關(guān)的公開課或聆聽專家的學(xué)術(shù)報告，聽取專家對于橋梁設(shè)計、數(shù)學(xué)建模的深人講解，拓寬學(xué)生的視野.

六、教學(xué)反思

本次“探究拱橋的數(shù)學(xué)模型”是一次富有成效的學(xué)科實踐教學(xué)嘗試，它深刻體現(xiàn)了“做中學(xué)”的教學(xué)理念，通過本次活動，學(xué)生親身參與到實際問題的探究中，通過實地考察、數(shù)據(jù)收集和模型構(gòu)建等一系列實踐活動，將學(xué)生所學(xué)知識與現(xiàn)實問題相結(jié)合，并在課堂進行數(shù)學(xué)模型的探究和優(yōu)化．這種課堂內(nèi)外結(jié)合探究知識的學(xué)習(xí)方式極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，以下是對本次教學(xué)活動的幾點反思.

1．學(xué)科實踐的有效性

從實地考察、數(shù)據(jù)收集到拱橋數(shù)學(xué)模型的探究和優(yōu)化，深化了學(xué)生對二次函數(shù)和圓的相關(guān)知識的理解．從后續(xù)作業(yè)的提交和檢測情況來看，大多數(shù)學(xué)生能夠區(qū)分拱橋的不同數(shù)學(xué)模型，并能解決相關(guān)的實際應(yīng)用問題，從而證實了此次學(xué)科實踐教學(xué)活動的有效性.

2.存在的問題

本次學(xué)科實踐教學(xué)活動是項目式學(xué)習(xí)“拱橋中的數(shù)學(xué)”的一部分．如何把學(xué)科實踐和項目式學(xué)習(xí)有機結(jié)合，并確定相關(guān)的學(xué)習(xí)主題，需要教師進行梳理和思考．另外，本次學(xué)科實踐活動中存在部分學(xué)生對信息技術(shù)應(yīng)用不熟練，以及小組合作學(xué)習(xí)中分工不均、作業(yè)應(yīng)付等問題．后續(xù)，教師要對學(xué)科實踐的主題內(nèi)容進行遴選，合理設(shè)計教學(xué)活動，要提前對學(xué)生進行相關(guān)的指導(dǎo)，充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效率，從而促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

綜上，通過本次學(xué)科實踐教學(xué)活動，筆者深刻認(rèn)識到實踐教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生綜合能力、創(chuàng)新能力等方面的重要作用.未來，我們要繼續(xù)積極探索學(xué)科實踐活動的教學(xué)，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，促進學(xué)生關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)的真正發(fā)展.

參考文獻：

［1］歐彥榮.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中實現(xiàn)“做中學(xué)”的策略探究[J].考試周刊，2020（66）：83-84.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3」朱良辰．從做中學(xué)在學(xué)中樂：初中數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的實踐探索[J].數(shù)理化解題研究，2023（11）： 17-19.

[4]何勇明．項目式學(xué)習(xí)中表現(xiàn)性評價的實施探究：以“拱橋中的數(shù)學(xué)”為例[J]．教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2024（1/2）：43-47.