中圖分類號(hào)：O174.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1671-5489（2025）04-1011-07

Boundedness of Parameterized Marcinkiewicz Integrals with Rough Kernels on Central Morrey Spaces with Variable Exponent

YANG Yanqi，YANG Lulu，TAO Shuangping （College of Mathematics and Statistics，Northwest Normal University，Lanzhou 73007o， China）

Abstract： By using the function decomposition of the central Morrey spaces with variable exponent and hierarchical estimation methods，and with the help of the boundedness of the parameterized Marcinkiewicz integral operators with rough kernels on the Lebesgue spaces with variable exponent， we gave the boundedness on the central Morrey spaces with variable exponent.

Keywords： parameterized Marcinkiewicz integral； central Morrey spaces with variable exponent; boundedness;rough kernel

目前關(guān)于Marcinkiewicz積分在一些經(jīng)典函數(shù)空間上的有界性研究已有很多結(jié)果．例如：Stein[1]首次提出了 Rⁿ 上與 Littlewood-Paley g. -函數(shù)相關(guān)的Marcinkiewicz積分，并證明了它是 （?_P，?_P） 型（1 且連續(xù)可微時(shí)，Benedek等2證明了 μ_Ω^ρ 是 （Π_P，Φ） 型；Ding等3證明了一類具有粗糙核的Marcinkiewicz積分的加權(quán) L^p 有界性；Ding等4證明了Hardy空間上的Marcinkiewicz 積分的 L^ρ 有界性；陳冬香等[5證明了當(dāng) Ω∈Lip_β（S^n-1） 0 （0lt;β?1） 時(shí)，由Marcinkiewicz積分和Lipschitz 生成的交換子從Lebesgue空間到 Triebel-Lizorkin 空間是有界的；Chen 等[6]證明了當(dāng) 是粗糙核時(shí)，Marcinkiewicz 積分算子在Herz 空間上是有界的；陸善鎮(zhèn)等[7]證明了當(dāng)Ω∈L¹（S^n-1） 是 Rⁿ 上的零次齊次函數(shù)且滿足 條件時(shí)，Marcinkiewicz積分交換子是從Lebesgue空間到Triebel-Lizorkin空間有界的；王洪彬等[8]證明了當(dāng) Ω∈Lip_β（S^n-1） ） （0lt;β?1） 是零次齊次函數(shù)且 時(shí)，Marcinkiewicz 積分及其交換子在變指標(biāo) Lebesgue 空間上的有界性；

Wang^[9] 證明了當(dāng) Ω∈Lip_β（S^n-1）（0lt;β?1） 時(shí)，Marcinkiewicz積分算子及其交換子從變指標(biāo)Herz-Hardy空間到變指標(biāo)Herz空間是有界的；王洪彬[10]證明了當(dāng) Ω∈Lip_β（S^n-1） 0 0lt;β?1/2） 時(shí)，Marcinkiewicz 積分算子從變指標(biāo) Herz-Hardy空間到變指標(biāo) Herz空間是有界的；陶雙平等[]證明了當(dāng) Ω∈Lip_β（S^n-1） （ _0lt;β?1） 時(shí)，Marcinkiewicz 積分算子及其交換子在變指標(biāo)Morrey空間上是有界的；張愛翠等[12]研究了一類帶粗糙核的參數(shù)型Marcinkiewicz 積分算子與 BMO（Rⁿ） 函數(shù)生成的交換子 μ_Ω，b^ρ 在齊次Morrey-Herz 空間 上的有界性；韋營營等[13]證明了Marcinkiewicz 積分交換子在變指標(biāo) Herz Triebel-Lizorkin 空間上的有界性．Mizuta 等[14]引人了變指數(shù)非齊次中心 Morrey 空間； Fu 等[15]引人了變指數(shù)中心BMO空間和中心Morrey 空間，并研究了某些經(jīng)典算子的有界性.

受上述研究結(jié)果的啟發(fā)，本文研究參數(shù)型 Marcinkiewicz積分算子在變指數(shù)中心Morrey空間上的有界性．本文 C 表示與參數(shù)無關(guān)的常數(shù)，在不同之處可取不同值．用 |A| 和 χ_A 分別表示可測集合A?Rⁿ 的 Lebesgue 測度及其上的特征函數(shù)，符號(hào) f≈_g 表示存在常數(shù) C₁ C₂gt;0 ，使得 C₁g?f?C₂g

1預(yù)備知識(shí)

空間 L_loc^ρ（??）（Rⁿ） 定義為 ，緊致子集 .記 （204 （0，∞） ，則

集合 P（Rⁿ） 包含所有滿足 ?^-gt;1 和 p⁺lt;∞ 的 _p（?） ； P₀（Rⁿ） 包含所有滿足 p^-gt;0 和 p⁺lt;∞ 的_p^′（?） ．對于 p^（?）∈P₀（Rⁿ） ，類似可定義空間 p^′（?） ．記 p^′（?） 為 _p^′（?） 的共軛指數(shù)，即 1/ρ^′（??）=1 ·

設(shè) L_loc¹（Rⁿ） 是 Rⁿ 上所有局部可積函數(shù)的集合，給定一個(gè)函數(shù) f∈L_loc¹（Rⁿ） ，則Hardy-Littlewood極大算子 M 定義為

這里

定義 1^[15] 設(shè) _p（?） 是定義在 Rⁿ 上取值于 [1，∞） 內(nèi)的可測函數(shù)，則變指數(shù)Lebesgue 空間 定義為

顯然 是一個(gè)Banach 函數(shù)空間，其中

定義 2^[15] 設(shè) q（α?α）∈P（Rⁿ），λ∈R ，則變指數(shù)中心Morrey空間定義為

其中

定義3[16] 給定函數(shù) p^（?）：ΩRⁿ ，若存在常數(shù) Cgt;0 ，使得

成立，則稱 _p^′（???） 是局部log-Holder連續(xù)的，并記 p（?）∈LH₀ ．若存在 cgt;0 ，使得對所有的 x∈Rⁿ ，有

則稱 _p^′（?） 在原點(diǎn)處是log-Holder連續(xù)的．當(dāng)集合 無界時(shí)，若存在常數(shù) cgt;0 和 _p∞∈R ，使得

成立，則稱 _p（?） 在無窮遠(yuǎn)處log-Holder連續(xù)，并記 p（??）∈LH_∞ ．若 ，則稱_p^′（?） 是全局log-Holder連續(xù)的，并記 ·

下列條件與條件（3）等價(jià)：

當(dāng)集合 有界時(shí)，易驗(yàn)證條件（1）蘊(yùn)含條件（4）.

定義 4^[12] 設(shè) S^n-1 為 Rⁿ（n）^≥2 ）上具有標(biāo)準(zhǔn)Lebesgue 測度的單位球面， Ω∈L¹（R^n-1） 是零次齊次函數(shù)，且滿足

其中 ， x≠0 ，帶粗糙核的參數(shù)型 Marcinkiewicz 積分算子定義為

其中

引理1（廣義H?lder不等式）[17] 設(shè)

1）對任意的 f∈L^ρ（?）（Rⁿ） ， g∈L^′（?）（Rⁿ） ，有

其中

2）對任意的 ，若 p2（x），則

其中

引理 2^[18] 設(shè) p（?θ）∈B（Rⁿ） ，則存在常數(shù) Cgt;0 ，使得對任意的球 B∈Rⁿ ，有

引理 3^[18] 若 ，則存在常數(shù) δ₁，δ₂，Cgt;0 ，使得對所有的球 B?Rⁿ 以及可測集S?B ，有

引理 4^[19] 設(shè) γ（?）∈P（Rⁿ）?LH ，則對每個(gè)立方體（或球體） Q?Rⁿ ，有

其中 p（∞）=lim_x∞?p（x）

2 主要結(jié)果

定理1設(shè) Ω∈L^s（S^n-1） ，其中 1?slt;∞ ， ， μ_Ω^ρ 是一個(gè)參數(shù)型的 Marcinkiewicz 積分算

子，假設(shè)

則 μ_Ω^ρ 是從 到 的有界算子.

對任意給定的 Rgt;0 ，記 B（0，R） 為 B ，要證明定理1，只需證明：

其中 C 是一個(gè)與 R 無關(guān)的常數(shù)，

證明：首先，將 f（x） 分解為 f₁ 和 f₂ 兩部分： f₁=fχ_2B ， f₂=fχ_（2B）c ．利用 Minkowski不等式，記 （20

對于 I₁ ，由于 μ_Ω^ρ 是從 L^{ρ（Ω?Ω）}（Rⁿ） 到 L^{ρ（Ω?Ω）}（Rⁿ） 有界的[20]．因此由 引理4，可得

其中

下面估計(jì) I₂ ，記

利用Minkowski不等式，可得

當(dāng) x∈B ， ， k∈N^* 時(shí)，有

因此

從而可得

其中

對于 x∈B 及 y∈2^k+1B ， x^-y∈2^k+2B .由 是零次齊次的且 Ω∈L^s（S^n-1） ，可得

因此，有

$$

當(dāng) ∣2^k+1B∣?2ⁿ ， x∈2^k+1B 時(shí)，由引理4和 ，有

當(dāng) ∣2^k+1B∣?1 時(shí)，有

因此

下面估計(jì) J₂ ．利用Minkowski不等式，有

因此

于是有

結(jié)合 I₁ 和 I₂ 的估計(jì)，有

則

證畢.

參考文獻(xiàn)

[1]STEIN E M. On the Functions of Litlewood-Plaey，Lusin and Marcinkiewicz[J].Trans Amer Math Soc，1958，88（2）：430-466.

[2]BENEDEK A， CALDERON A P，PANZONE R. Convolution Operators on Banach Space Valued Functions [J].Proc NatAcad Sci，1962，48（3）：356-365.

[3]DING Y，F(xiàn)AN D S，PAN YB. Weighted Boundednessfor a Classof Rough Marcinkiewicz Integrals [J]. IndianaUnivMathJ，1999，48（3）：1037-1055.

[4]DING Y，F(xiàn)ANDS，PANY B. L^p Boundedness of Marcinkiewicz Integrals with Hardy Space Kernel [J]. ActaMath Sin（Eng Ser），2000，16（4）：593-600.

[5］陳冬香，王婭昕．Marcinkiewicz 交換子在 Triebel-Lizorkin空間中的有界性［J]．浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2003，30（5）：481-484. （CHEN D X，WANG Y X. Boundedness of the Commutators for the Marcinkiewicz Integral inTriebel-Lizorkin Space[J]. Journal of Zhejiang University （Science Edition），2003，30（5）： 481-484.）

[6]CHEN D X，CHEN JC. Boundedness of Marcinkiewicz Integrals with Rough Kernel on Herz Space [J]．AdvMath（China），2005，34（5）：591-599.

[7]陸善鎮(zhèn)，默會(huì)霞．Marcinkiewicz積分交換子的有界性［J]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)報(bào)（中文版），2006，49（3）：481-490.（LU SZ，MO H X. The Boundedness of Commutators for the Marcinkiewicz Integrals [J]. Acta Mathematica Sinca（ChineseSeries），2006，49（3）：481-490.）

[8］王洪彬，傅尊偉，劉宗光．變指標(biāo)Lebesgue 空間上的 Marcinkiewicz 積分高階交換子［J]．?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2012，32A（6）：1092-1101. （WANG HB，F(xiàn)U Z W，LIU ZG. Higher-Order Commutators of Marcinkiewicz Integral onVariable Lebesgue Spaces [J]. Acta Mathematica Scientia，2012，32A（6）：1092-1101.）

[ 9]WANG L W. Marcinkiewicz Integrals Operators and Commutators on Herz Spaces with Variable Exponents [J].JFunct Spaces，2014，2014：430365-1-430365-9.

[10］王洪彬．變指標(biāo) Herz型 Hardy 空間上的 Marcinkiewicz 積分[J]．山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，29（4）：16-20. （WANG H B. Marcinkiewicz Integrals on Herz-Type Hardy Spaces with Variable Exponent [J].Journal of Shandong University of Technology （Natural Science Edition），2O15，29（4）：16-20.）

[11］陶雙平，李露露．變指標(biāo) Morrey空間上的 Marcinkiewicz積分及交換子的有界性［J]．?dāng)?shù)學(xué)年刊（A輯），2016，37（1）： 55-7o. （TAO S P，LI L L. Boundedness of Marcinkiewicz Integrals and Commutators on Morrey Spaceswith Variable Exponents [J]. Chinese Annals of Mathematics （Series A），2O16，37（1）： 55-70.）

[12]張愛翠，陳金陽，王松柏，等．帶粗糙核的參數(shù)型 Marcinkiewicz 積分交換子在齊次 Morrey-Herz 空間上的有界性[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2018，31（1）：141-147.（ZHANG A C，CHEN JY，WANG S B，et al. Boundedness ofCommutators of the Parametric Marcinkiewicz Integral with Rough Kernels on the Homogeneous Morrey-HerzSpaces [J].Mathematica Applicata，2018，31（1）：141-147.）

[13］韋營營，張婧．Marcinkiewicz 積分交換子在變指標(biāo) Herz Triebel-Lizorkin 空間的有界性[J]．山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2022，57（12）： 55-63.（WEI Y Y，ZHANG J. Boundedness of Commutators for the MarcinkiewiczIntegral Operators on Herz Triebel-Lizorkin Spaces with Variable Exponent [J].Journal of Shandong University（Natural Science），2022，57（12）：55-63.）

[14]MIZUTA Y，OHNO T，SHIMOMURA T. Boundedness of Maximal Operators and Sobolev's Theorem forNon-homogeneous Central Morrey Spaces of Variable Exponent [J].Hokkaido Math J，2O15，44（2）：185-201.

[15]FU Z W，LUS Z，WANG H B，et al. Singular Integral Operators with Rough Kernels on Central Morrey Spaceswith Variable Exponent [J]. Ann Acad Sci Fenn Math，2019，44（1）：505-522.

[16]NEKVINDA A. Hardy-Litlewood Maximal Operator on L^p（x） （R）[J]．Math Inequal Appl，2004，7（2）：255-266.

[17] KOVACIK O，RAKOSNIK J. On Spaces L^p（x） and W^{k，p（x）} [J].Czechoslovak Math J，1991，41（4）： 592-618.

[18] IZUKI M. Boundedness of Sublinear Operators on Herz Spaces with Variable Exponent and Application toWavelet Characterization [J]. Anal Math，2010，36（1）：33-50.

[19] WANG H B，XU J S，TAN J. Boundedness of Multilinear Singular Integrals on Central Morrey Spaces withVariable Exponents[J]. Front Math China，2020，15（5）：1011-1034.

[20]WANG H B，YAN D Y. Higher-Order Commutators of Parametric Marcinkiewicz Integrals on Herz Spaces withVariable Exponent [J]. JFunc Spaces，2018，2018（1）：7319093-1-7319093-11.

（責(zé)任編輯：趙立芹）