關(guān)鍵詞：三圈圖； D（2） -點和可區(qū)別全染色； D（2）. -點和可區(qū)別全色數(shù)中圖分類號：0157.5 文獻標志碼：A文章編號：1671-5489（2025）04-1075-08

D（2）-Vertex Sum Distinguishing Total Coloring Tricyclic Graph with Non Zero Tree Height

BAI Yu，QIANG Huiying，HE Jing （ University， ）

Abstract： We study the D（2） -vertex sum distinguishing total coloring problem a tricyclic graph with non zero tree height by using analytic method，contradiction method， the Combinatorial Nullstellensatz， obtain an upper bound on the D（2） -vertex sum distinguishing total coloring for this type graphs is Δ（G）+3 ：

Keywords： tricyclic graph； D （2）-vertex sum distinguishing total coloring； D（2） -vertex sum distinguishing total chromatic number

目前，關(guān)于圖可區(qū)別全染色的研究已取得了許多結(jié)果．張忠輔等[1提出了圖的 D（β）_- 點可區(qū)別全染色的概念，并研究了一些圖的 D（β）_- 點可區(qū)別全色數(shù)；Pilsniak等2提出了圖的鄰和可區(qū)別全染色的概念，并給出猜想：對 |V（G）|?2 的圖 G ，有 χ_Σ^′′（G）?Δ（G）+3 ；袁清厚[3]對隨機圖的 D（β）_- 點和可區(qū)別全染色算法進行了研究，并得出了路圖、圈圖等相關(guān)結(jié)論；譚鈞銘4研究了三圈圖的鄰和可區(qū)別全染色，得到了三圈圖的鄰和可區(qū)別全色數(shù)；劉歡[5]研究了單圈圖與雙圈圖的2-距離和可區(qū)別全色數(shù).

基于上述研究，本文討論樹高不為零的三圈圖的 D（2）_- 點和可區(qū)別全色數(shù)．本文討論的圖均為有限、無向的簡單連通圖，其中 V（G），E（G） 分別表示圖 G 的點集和邊集， ?（G） 表示全染色中點集與邊集之間的關(guān)聯(lián)函數(shù)， d（u） 表示點 u 的度， Δ（G） 表示圖 G 的最大度， d（u，v） 表示 u 和 υ 兩點之間的距離，d（Δ，Δ） 表示圖中兩個最大度點之間的距離， 1^- 表示度為1的點， ∣S₁∣ 表示色集合所含元素的個數(shù)，三圈圖的樹高是指三圈圖中所含的樹上點到根點 v_n 間最長路的長度．其他未說明的符號參考文獻[6-7].

1預(yù)備知識

定義 1^[3] 若圖 G 的一個 k^- 正常全染色 ? 滿足： ?u，v∈V（G） ，當 d_G（u，v）?2 時，有 S（u）≠ S（ρ_v） ，其中 ，則 ? 稱為圖 G 的 k-D（2） -點和可區(qū)別全染色，簡記為kD（2）-VSDTC ， G 的 D（2）_- 點和可區(qū)別的全色數(shù)記為 χ_2-Σ^′′（G） ，即

引理 1^[2] 設(shè)圖 K_n 是 n?2 的完全圖，則

引理 2^[2] 設(shè) T 是階數(shù) n?3 的樹，則其2-距離和可區(qū)別全色數(shù) χ_2-Σ^′′（T）?Δ（T）+2 ，其中等號成立的條件是樹 T 存在兩個距離不超過2的最大度點.

引理 3^[6] 對于簡單圖 G ， χ_2-Σ^′′（G）?χ_Σ^′′（G）?Δ（G）+1 若圖 G 存在兩個距離不超過2的最大度點，則 χ_2-Σ^′′（G）≥Δ（G）+2 ，其中 χ_Σ^′′（G） 表示圖 G 的鄰和可區(qū)別全色數(shù).

引理 4^[5] 若圖 G 中存在一個圈 C_m 上只有一個3度點（圈上其余點為2度點），如圖1中 G^?? 所示，則當 m≡2（mod4） 時，有 χ_2-Σ^′′（G）?5

引理 5^[5] （204 設(shè) G 是 Δ（G）=3 且樹高大于0的雙圈圖，則

或 ?x，y∈V（G） ， d（x）=d（y）=Δ 且 d（x，y）?2 ：

引理 6^[5] 若 G 是無懸掛邊的雙圈圖 B_i （ 1?i?5） ，如圖1中 B₁～B₅ 所示，則 χ_2-Σ^′′（B₁）=4 ，x-（B）=5（=2，4，5），x（B?）={5，至少存在一個單圈的圈長為g=2（mod4）；

引理7（組合零點定理）[8]設(shè) F 為任一數(shù)域， Q=Q（x₁，x₂，…，x_n） 是 F 上的多項式，設(shè) ，其中 k_i 為非負整數(shù)，且 ，若 S₁，S₂，…，S_n?F 且 ∣S_i∣gt;k_i（1?i?n） ，則存在 s₁∈S₁ ， s₂∈S₂ ，…， s_n∈S_n ，使得 Q（s₁，s₂，…，s_n）≠0

引理 8^[9] 設(shè) 是關(guān)于 n 個變量的多項式，其中 n?2 ，則多項式 Q 中最高次項 （x₁x₂x₃…x_n）ⁿ 的系數(shù) C_Q（（x₁x₂x₃…x_n）ⁿ）≠0

定義 2^[10] 邊數(shù)等于頂點數(shù)加二的簡單連通圖稱為三圈圖.

2 主要結(jié)果

將樹高為0的三圈圖記為 H={H₁，H₂，…，H₁₅} ，如圖2所示.

定理1若 G=G_i 是由 H_i（i=5，6，7，14，15） 連接有根樹形成的三圈圖，且 Δ（G）=3 ，則

， ，其他. G^**?G 或 d（Δ，Δ）?2 ：

證明：根據(jù)有根樹的樹高分兩種情形討論.

情形1）圖 G 的樹高為1，即 G 有懸掛邊.

①d（Δ，Δ）≥3 ，且

此時，由引理3得 χ_2-Σ^′′（G）?4 ，易證對圖 H_i（i=5，6，7，14，15） ，有 χ_2-Σ^′′（H_i）=4 ，則在 H_i 的4–D（2）-VSDTC 基礎(chǔ)上，給懸掛邊進行正常全染色，即可得到 G 的一個4-D（2）-VSDTC.

②d（Δ，Δ）?2.

此時，由引理3得 χ_2-Σ^′′（G）?5 ，易驗證 χ_2-Σ^′′（H_i）=5 ．在圖 H_i（i=5，6，7，14，15） 的 5-D（2）-

VSDTC基礎(chǔ)上，給所有懸掛邊進行正常全染色，不妨令 d（v）=3 ，點 υ 在2-距離內(nèi)的最大度點至多有7個，且這7個點中至少有3對點之間的距離超過2，至少需要4種不同的和值數(shù)，而 ，5種顏色的4元集合包含5種不同的和值數(shù)， 5gt;4 ，最大度點之間易和可區(qū)別．此外，由于 包含12種不同的和值數(shù)，3度點與2度點之間易和可區(qū)別，故圖 G 存在一個 5–D（2）–VSDTC

③G^**?G.

若 G^**?G ，則由引理4得 x_2-Σ^′′（G）?5 ．易證圖 H_i（i=5，6，7，14，15） 存在 5–D（2）–VSDTC ，在H_i（i=5，6，7，14，15） 的5-D（2）-VSDTC基礎(chǔ)上，給 G 的懸掛邊正常全染色，對于圖 G 中的懸掛點，即 1^- 點，需要2種不同色， ，包含7種不同的和值數(shù)， 1^- 點易與其余點和可區(qū)別，故（204號 χ_2-Σ^′′（G）=5

情形2）有根樹樹高大于1.

反證法．假設(shè)圖 G 是一個極小反例，即 Δ（G）=3 ，且 G 是使 |V（G）|+|E（G）| 最小的不存在kD（2）-VSDTC 的圖， G 的任何真子圖 G^′ 有一個 ，其中

選擇樹上最長的路，其懸掛點為 的鄰點 u 不在圈上， u 僅有一個非懸掛鄰點 ω .令 G^′=G-uv ，在?^' 的基礎(chǔ)上，給邊 uv 及點 υ 染色，將 ?^' 拓展為 G 的 5-D（2）-VSDTC? ，其中 2?d_G（u）?3

① 當 d（Δ，Δ）≥3 ，且 時， χ_2-Σ^′′（G）?4

當 d_G（u）=2 時，在 G^′ 染色下，擦去點 u 和邊 uv 的顏色，對邊 uv 和點 u 進行重新染色，有3種不同的和值數(shù)．由于 G 中 d（Δ，Δ）?3 ，點 u 在2-距離以內(nèi)至多有2個同度點， ，且3度點與2度點易和可區(qū)別．因此至少存在一種染法使得圖 G 滿足 D（2）- 點和可區(qū)別全染色的條件.

當 d_G（u）=3 時，在 G^′ 染色下，從色集合 1，2，3，4 中選取點 u 未表現(xiàn)的顏色染邊 uv ，則S（u）=10 ，點 u 在 2-距離以內(nèi)只有一個最大度點，與2度點之間易和可區(qū)別，即可得圖 G 的一個4–D（2）-VSDTC ，與 G 是極小反例矛盾.

② 當 d（Δ，Δ）?2 或 G^**?G 時， x_2-Σ^′′（G）?5

當 d_G（u）=2 時，在 G^′ 染色下，擦去點 u 和邊 uv 的顏色，對邊 uv 和點 u 進行重新染色，有5種不同的和值數(shù)．點 u 在2-距離以內(nèi)至多與3個點要和可區(qū)別， 5gt;3 ．因此存在一種染色方法使得圖 G 滿足 D（2）- 點和可區(qū)別全染色的條件.

當 d_G（u）=3 時，點 u 的懸掛點為 v?v₁ ，在 G^′ 染色下，擦去點 u 和邊 uv，uv₁ 的顏色，對邊 uv，uv₁ 和點 u 進行重新染色，有4種不同的和值數(shù)．點 u 在2-距離以內(nèi)至多與3個點要和可區(qū)別， 4gt;3 因此存在一種染色方法使得圖 G 滿足 D（2）_- 點和可區(qū)別全染色的條件，與 G 是極小反例矛盾．故χ_2-Σ^′′（G）=5 ，

定理2若圖 G=G_i 是由 H_i I_i（1?i?15） 連接有根樹形成的，且 Δ（G）?4 ，則有 x_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+3 特別地，當圖 G 中樹高大于1時，有

證明：根據(jù)圖 G 有根樹的樹高分以下兩種情形討論.

情形1）圖 G 的有根樹樹高為1.

① 懸掛邊不在2度點上.

當 G=G₁ 時，由引理3知， χ_2-Σ^′′（G）{≥Δ（G）+1 ；若圖 G 存在兩個距離不超過2的最大度點，則χ_2-Σ^′′（G）≥Δ（G）+2 ，下面只需證明 G₁ 有一個

若 Δ（H₁）=4 ，且有唯一最大度點，則易知 χ_2-Σ^′（H₁）=Δ（H₁）+1=5 ，故 H₁ 有一個

VSDTC.對 ?u，v∈V（H₁） ，若 u，v 無懸掛邊，則 u，v 是 的．又由于 Δ（G）? Δ（H₁）=4 ，則 u，v 是 Δ（G）-D（2）-VSDTC 的．若 u，v 有懸掛邊，則根據(jù) d（u），d（v） 的大小分類.

若 d_G（u）=d_G（v）=Δ（G） ，則當 d（Δ，Δ）≥3 時， χ_2-Σ^′′（G₁）≥Δ（G₁）+1 ，給 u，v 的懸掛邊和懸掛點正常全染色， Δ（G₁）+1 色可染，故 u，v 是 （Δ（G）+1）-D（2）-VSDTC 的；當 d（Δ，Δ）?2 時，（204號 χ_2-Σ^′′（G₁）≥Δ（G₁）+2 ，在 H₁ 的 （Δ（H₁）+1）-D（2）-VSDTC 染色基礎(chǔ)上，給 u，v 的懸掛邊和懸掛點正常全染色，使得 ，可得 u，v 是 （Δ（G）+2）-D（2）-VSDTC 的.

若 d_G（u）≠d_G（v） ，則不妨令 d_G（u）G（v）=l ，當圖中存在 d（Δ，Δ）≥3 時，在圖 H₁ 的 5-D（2）- VSDTC染色基礎(chǔ)上，給 v 的懸掛邊和點 v 染集合 {1，2，…，Δ+1} 中所缺的顏色，因此必有S（u）?S（v） ，故 u，v 是 的；當 d（Δ，Δ）?2 時，給 u，v 的懸掛邊和點 u，v 在集合 {1，2，…，Δ（G）+3} 中選色，進行正常全染色，使得 S_G（u）≠S_G（v） ，則 u，v 是 （Δ（G）+3）-D（2）- VSDTC 的.

綜上可知，當 G=G₁ 時結(jié)論成立．對圖 G_i （ 2?i?15 ），證明方法同 G₁ ，故略.

② 懸掛邊在2度點上.

（i）對任意滿足該條件的點 z ，有如圖3所示結(jié)構(gòu)，其中

d_G（z）=d_G（x₁）=d_G（x₂）=d_G（y₁）=d_G（y₂）=Δ（G）.

由于 G 在2-距離內(nèi)至少有2個最大度點，故（20 Δ（G）+2?χ_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+3， ，反證法．設(shè)圖 G 是一個極小反例，即 Δ（G）?4 ，且 G 是使得|V（G）|+|E（G）| 最小的不存在 （Δ（G）+3）- D（2）-VSDTC 的圖，則 G 的任何真子圖 G^′ 都有一個 （20

令 G^′=G-zz₁-zz₂ ，圖 G 中邊 zz₁，zz₂ 用色x₁，x₂ 進行染色，懸掛點 z₁，z₂ 正常全染色，用S^′（z） 表示在 G^′ 中點 z 色集合的所有元素的色和，邊 zz₁，zz₂ 可用顏色集記為 S₁，S₂ ．根據(jù)正常邊染色條件可知

|S₁|=|S₂|=（Δ（G）+3）-（Δ（G）-2）=5，

再根據(jù)染色條件可得多項式

去掉 Q（x₁，x₂） 中的常數(shù)得

Q^′（x₁，x₂）=x₁x₂（x₁-x₂）（x₁+x₂）⁴.

用MATLAB軟件計算得到 x₁⁴x₂³ 的系數(shù)為 2≠0 ， 4lt;5 ， 3lt;5 ．根據(jù)組合零點定理知，可在 S₁，S₂ 中選取滿足 D（2）_- 點和可區(qū)別全染色條件的 x₁，x₂ ，即可得到圖 G 的一個

對圖 G 中的懸掛點 z₁，z₂ ，需要2種不同色，

其中和值數(shù)最小為3，最大為 （2Δ+5） ，存在 （2Δ+3） 種不同的和值數(shù)， 2Δ+3≥Δ ， 1^- 點易與其余點和可區(qū)別，故 χ_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+3

（ii）當圖 G 中的最大度點都不在圖 H_i 的2度點上時，圈上存在一個2度點 z ，且 3?d（z）? Δ-1 ．同理可得 x_2-Σ^′′（G）?Δ+3

③ 圖 H_i （ 1?i?15 上存在一個2度點 z ，使得 d_Hi（z）=2 且 d_G（z）?3 ，且點 z 的2-距離內(nèi)僅有一個最大度點.

（i）圖 G 中 d（Δ，Δ）≥3 ， χ_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+3 ，反證法．假設(shè)圖 G 是一個極小反例，且 G 是使得|V（G）|+|E（G）| 最小的不存在 的圖，則 G 的任何真子圖 G^′ 都有一個（Δ（G）+3）-D（2）-VSDTC.

當 Δ（G）gt;Δ（H_i） 0 （1?i?15） ，或存在圖 H_i（1?i?15） 的一個2度點是圖 G 的最大度點時，不妨設(shè)圖 G 中的最大度點為點 z ，點 z 的懸掛邊為 zz_i（i≥1） .令 G^′=G-zz_i ，則圖 G^′ 有 （Δ（G）+1）-D（2）- VSDTC.增加邊 zz_i 后對其進行正常全染色即可得 G 的一個 （Δ（G）+1）-D（2）-VSDTC ， （Δ（G）+1） （2色即可染，與 G 不存在 矛盾.

當 Δ（G）=Δ（H_i） 0 ?1?i?15） ， d（Δ，Δ）≥3 時，對于圖 G_i（i=1，2，3，9，11，12，13） ，存在圖 H_i 的一個2度點 z 是圖 G 的3度點，經(jīng)驗證 χ_2-Σ^′′（H_i）=5（i=1，2，3，9，11，12，13） ．先用色集合 {1，2，3，4，5} 中的顏色，對 H_i 進行 點和可區(qū)別正常全染色，再對點 z 的懸掛邊進行染色，從色集合{1，2，3，4，5，6，7} 中選取顏色，對其進行正常全染色．類似情形1）中 ② 的（ii）可知，至少存在一種染色方法，使得 G_i 是 7-D（2）-VSDTC

對于圖 G₄ ， G₁₀ ， Δ（G_i）=5 ，存在圖 H_i 的一個2度點 z 不是圖 G 的最大度點，故點 d_G（z）=3 或4.當 d_G（z）=3 時，令 G^′=G-zz₁ ，圖 G 中邊 zz₁ 用色 x₁ 進行染色，懸掛點 z₁ 的選擇性較大，邊 zz₁ 可用顏色集為

|S₁|=（Δ（G）+3）-2=Δ（G）+1=6，

再根據(jù)染色條件可得多項式

Q（x₁）=（x₁-?^′（z））（x₁+S^′（z）-S^′（x₁））（x₁+S^′（z）-S^′（x₂））×

（x₁+S^′（z）-S^′（y₁））（x₁+S^′（z）-S^′（y₂））.

去掉 Q（x₁） 中的常數(shù)得 Q^'（x₁）=x₁⁵ ．根據(jù)組合零點定理，可在 S₁ 中選取滿足 D（2）- 點和可區(qū)別全染色條件的 x₁ ，即可得圖 G 的一個 當 d_G（z）=4 時，令 G^′=G-zz₁-zz₂ ，圖 G 中邊 zz₁，zz₂ 用色 x₁，x₂ 進行染色，懸掛點 z₁，z₂ 選擇性較大，邊 zz₁，zz₂ 可用顏色集為

|S₁|=|S₂|=（Δ（G）+3）-2=Δ（G）+1=6，

再根據(jù)染色條件可得多項式

去掉 Q（x₁，x₂） 中的常數(shù)得

Q^′（x₁，x₂）=x₁x₂（x₁-x₂）（x₁+x₂）⁴.

用MATLAB軟件計算得到 x₁⁴x₂³ 的系數(shù)為 2≠0 ， 4lt;6 ， 3lt;6 ．根據(jù)組合零點定理，可在 S₁，S₂ 中選取滿足 D（2）_- 點和可區(qū)別全染色條件的 x₁，x₂ ，對于圖 G 中的懸掛點，需要2種不同色，

存在 （2Δ+3） 種不同的和值數(shù)， 1^- 點易染，故 χ_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+3 ，從而可得圖 G 的一個 （Δ（G）+3）- D（2）-VSDTC ，與 G 是極小反例矛盾.

對于圖 G₈ ， Δ（G_i）=6 ，存在圖 H_i 的一個2度點 z 不是圖 G 的最大度點，故點 d_G（z）=3 或4或5．證明過程同上.

對于圖 G_i（i=5，6，7，14，15） ， Δ（G_i）=3 ．因此不存在圖 H_i 的一個2度點 z 使得 d_Hi（z）=2 且d_G（z）?3 ，否則點 z 為圖 G 的最大度點，與假設(shè)矛盾.

（ii））圖 G 中 d（Δ，Δ）?2 ， χ_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+3 ，反證法．假設(shè)圖 G 是一個極小反例，且 G 是使得|V（G）|+|E（G）| 最小的不存在 （Δ（G）+3）-D（2）-VSDTC 的圖， G 的任何真子圖 G^′ 都有一個

當 G 中存在點 z 使得 d_G（z）=d_Hi（z）=Δ（G） 時，其中點 z 為圖 H_i 的2度點，則 G 必有圖3中的結(jié)構(gòu)；當圖 G 中最大度點都不在圖 H_i 的2度點上時， 3?d_G（z）?Δ（G）-1 ，證明方法同情形1）中 ②

的（ii）．故 χ_2-Σ^′′（G）?Δ+3 從而當圖 G 的有根樹樹高為1時，結(jié)論成立.

情形2）有根樹樹高大于1.

（20 χ_2-Σ^′′（G）{≥Δ（G）+1 ，當圖 G 存在兩個距離不超過2的最大度點時， χ_2-Σ^′′（G）{ρ}≥Δ（G）+2 ，選擇樹上最長的路，其懸掛點為 υ ： Δ_v 的鄰點 u 不在圈上， u 僅有一個非懸掛鄰點 w .令 d（u）=k ， k?2 ，x₁，x₂，…，x_k-2 是 u 除 w 和 v 外的鄰點，則 d（v）=d（x₁）=…=d（x_k-2）=1 ， y₁，y₂，…，y_d（w）-1 是 w 除u 外的鄰點．令 ?^'（uτν）=a ， ?^'（τ?）=Δ+2 ，根據(jù) G 中最大度點間的距離分兩種情形討論.

①d（Δ，Δ）?2 ，反證法．假設(shè)圖 G 是一個極小反例，即圖 G 是 |V（G）|+|E（G）| 最小的不存在（Δ+2）-D（2）-VSDTC 的圖，則 G 的任何真子圖 G^′ 有一個 ．下面根據(jù) k 的大小分別討論，將 ?^' 拓展為 G 的 （Δ+2）-D（2）- 點和可區(qū)別全染色 ? ·

（i） klt;Δ ，此時在正常全染色下，點 u 與點 w，y₁，y₂，…，y_d（w）-1 要做到和可區(qū)別．若

d（u）=d（y₁）=…=d（y_d（w）-1）=k，

從色集合 {1，2，3，…，Δ+2} 選取 （k+1） 個元素，共有 種選擇，和值數(shù)范圍為

不同和值數(shù)為 Δk-k²+Δ+2 ，最多有不超過 Δ 個 k 度點需要達到和可區(qū)別，此時 d（w）=Δ ，且Δk-k²+Δ+2≥Δ ，否則 ，與 2?klt;Δ 矛盾.在染色 ?^' 的基礎(chǔ)上，對點 u 及其關(guān)聯(lián)邊重新染色，出現(xiàn)的不同和值數(shù)可使 u，∞，y_i 中的點色和不同，滿足 （Δ+2）-D（2）-VSDTC 若點 y_i （2與 度不相等，與其余點易和可區(qū)別，故 χ_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+2

（ii） k=Δ ．此時由假設(shè)得 S_G^'（τω）≠S_G^'（y_i） ， G^′ 存在 點和可區(qū)別全染色 ?^' .令G^′=G-uv ，下面將 ?^' 拓展為 G 的 點和可區(qū)別全染色 ? ．對邊 ux₁，ux₂，…，ux_k-2，uv 重新染色，令 ?（ux_i）=z_i（1?i?k-2） ， ?（uv）=z_k-1 ，所得染色為正常全染色．令 S_i 表示 z_i 的可用顏色集， i=1，2，…，k-1 ，則 ∣S_i∣=（Δ（G）+2）-2=Δ（1?i?k-1） ，由染色條件得多項式

去掉 Q（z₁，z₂，…，z_k-1） 中的常數(shù)得

令

可得

由引理8有

根據(jù)組合零點定理知， s₁∈S₁ ， s₂∈S₂ ，…， s_k-1∈S_k-1 滿足 ， 是 的一個因式，因此 ，即 χ_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+2.

圖 G 中的 1^- 點易染，又由引理3知， χ_2-Σ^′′（G）{（G）βgt;Δ（G）+2 ，故 χ_2-Σ^′′（G）=Δ（G）+2. （2號

②d（Δ，Δ）≥3 ，由引理3知， χ_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+1 ，假設(shè)圖 G 是一個極小反例，即圖 G 是|V（G）|+|E（G）| 最小的不存在 （Δ+1）-D（2）-VSDTC 的圖，則 G 的任何真子圖 G^′ 有一個 （Δ+1）_-

D（2）-VSDTC?^′ ．下面根據(jù) k 的大小分別討論，將 ?^' 拓展為 G 的 點和可區(qū)別全染色 ? （i） k=Δ ．此時，顯然 u，w，y_i 中只有 u 是最大度點，故

在染色 ?^' 下， ，從而 χ_2-Σ^′′（G）=Δ（G）+1

（ii）當 2?k?Δ-1 時，分析同情形2）中 ① 的（i）

綜上所述，對樹高不為零的三圈圖 G ，有 χ_2-Σ^′′（G）?Δ（G）+3

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（責任編輯：李琦）