《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱新課標）明確提出“模型意識\"的核心素養(yǎng)，要求學(xué)生能感悟數(shù)學(xué)模型的意義與應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。凹“倍\"是小學(xué)數(shù)學(xué)中溝通乘除關(guān)系的重要概念，其本質(zhì)是兩個數(shù)量之間的比率關(guān)系，是典型的數(shù)學(xué)模型。然而，傳統(tǒng)教學(xué)中常存在兩種傾向：一是聚焦“倍”的概念定義，忽視從現(xiàn)實情境到數(shù)學(xué)模型的抽象過程；二是側(cè)重解題技能訓(xùn)練，缺乏對“倍\"的模型本質(zhì)及應(yīng)用價值的深度理解?；诖?，筆者在“倍的認識\"教學(xué)中，以模型建構(gòu)為主線，通過“變”與“不變\"的辯證設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型的建立、理解與應(yīng)用過程，發(fā)展模型意識。

一、模型意識的內(nèi)涵與表現(xiàn)維度

新課標指出，模型意識是“對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”，表現(xiàn)為“能夠認識到現(xiàn)實生活中大量問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決”。結(jié)合“倍的認識\"教學(xué)實踐，模型意識可具化為以下四個內(nèi)涵表現(xiàn)：

（一）情境抽象，從現(xiàn)實問題到數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化能力

模型意識的起點是對現(xiàn)實情境的數(shù)學(xué)化抽象，即從復(fù)雜的生活現(xiàn)象中剝離出數(shù)量關(guān)系或空間形式，建立模型原型。例如，在“倍的認識”中，學(xué)生能從“排隊的男女生人數(shù)\"這一生活情境中，識別出“女生人數(shù)是男生的2倍”這一倍數(shù)關(guān)系，將具體人數(shù)轉(zhuǎn)化為“標準量（1份）”與“比較量（幾份）的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了從現(xiàn)實問題到數(shù)學(xué)模型的初步抽象能力。

（二）結(jié)構(gòu)分析，理解模型核心要素及關(guān)系的能力

模型的本質(zhì)是對一類問題共性特征的結(jié)構(gòu)化表達。學(xué)生需理解模型中變量與不變量的關(guān)系一一哪些要素決定模型的形式，哪些要素隨情境變化而改變。如在“倍\"的模型中，“標準量\"（1份的數(shù)量）是可變量，“倍數(shù)關(guān)系\"（比較量包含幾個標準量）是因變量，而“比較量 ÷ 標準量 倍數(shù)”的運算結(jié)構(gòu)是不變量，能識別這種“變與不變\"的關(guān)系，是模型意識深化的標志。

（三）多元表征，用多種方式表達模型結(jié)構(gòu)的能力

數(shù)學(xué)模型可通過動作、語言、符號、圖形等多種形式表征。模型意識強的學(xué)生能靈活運用多元表征方式描述模型：如用“圈一圈\"表示“幾個幾”（動作表征），用“ ×× 的數(shù)量是 ?×× 的 ∣× 倍\"進行語言表達，用除法算式進行符號抽象，或用線段圖表示倍數(shù)關(guān)系（圖形表征）。多元表征的轉(zhuǎn)換能力體現(xiàn)了學(xué)生對模型本質(zhì)的深層理解。

（四）遷移應(yīng)用，將模型推廣到新情境解決問題的能力

模型意識的終極目標是模型的遷移與應(yīng)用。學(xué)生能識別不同情境中相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并用已建立的模型解決問題。例如，從“人數(shù)的倍數(shù)關(guān)系\"遷移到“圖形數(shù)量、線段長度、物體大小\"的倍數(shù)關(guān)系，意識到“倍”的模型不依賴具體對象，只關(guān)注兩個量的比率關(guān)系，從而實現(xiàn)從“具體模型”到\"一般模型\"的認知飛躍。

二、模型意識培養(yǎng)的實踐路徑一以“倍的認識”為例

（一）情境具身化，在生活原型中建立模型聯(lián)結(jié)

具身認知理論認為，知識的理解源于身體與環(huán)境的互動。生活化情境為模型提供了可感知的“身體經(jīng)驗”，幫助學(xué)生建立“倍\"的初始模型意象。在教學(xué)實施中要選擇具象化素材，以學(xué)生熟悉的排隊、圖形、積分卡等為載體，讓模型與生活經(jīng)驗產(chǎn)生直接聯(lián)結(jié)，降低抽象難度。同時要通過對比凸顯模型獨特性，通過“比多少”（差比）與“倍數(shù)關(guān)系\"（倍比）的對比，讓學(xué)生明確“倍\"是一種新的比較關(guān)系，聚焦模型的核心功能。

課始創(chuàng)設(shè)\"數(shù)學(xué)游園會排隊\"情境，呈現(xiàn)女生6人、男生3人，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“女生人數(shù)是男生的2倍”。通過指認“1份\"（3個男生）與\"2份\"（6個女生），將生活中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為“標準量—比較量”的模型結(jié)構(gòu)。課中的探究活動也設(shè)計學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生能借助已有的生活經(jīng)驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

（二）結(jié)構(gòu)顯性化，在變量對比中解構(gòu)模型要素

變式教學(xué)理論強調(diào)通過“標準變式”與“非標準變式”的對比，凸顯概念本質(zhì)。此處通過改變標準量，讓學(xué)生在“變\"的現(xiàn)象中把握“不變”的模型結(jié)構(gòu)——倍數(shù)關(guān)系是比較量對標準量的包含關(guān)系。教學(xué)中首先要提供語言支架表達模型結(jié)構(gòu)：用“把 .×× 看成1份， xx 有這樣的 ∣× 份，所以 × 是 ×× 的 × 倍”的句式，將隱性的模型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為顯性的語言表達，強化“幾個幾\"的關(guān)系理解。還要動態(tài)變式凸顯核心要素，通過改變標準量（如男生人數(shù)），制造認知沖突，引導(dǎo)學(xué)生觀察倍數(shù)關(guān)系的變化規(guī)律，剝離出“標準量決定份數(shù)”的核心邏輯。

當男生人數(shù)從3人變?yōu)?人（女生仍為6人），引導(dǎo)學(xué)生通過畫一畫、算一算探究倍數(shù)關(guān)系變化。對比“ 6÷3=2^? 與“ 6÷2=3^′ ，追問：“同樣是6個女生，為何倍數(shù)不同？\"學(xué)生發(fā)現(xiàn)標準量（1份）改變，比較量包含的份數(shù)也將隨之改變，但用除法計算倍數(shù)的結(jié)構(gòu)不變。

（三）表征多元化，在多元表達中完善模型建構(gòu)

多元表征理論認為，多種表征方式的協(xié)同作用能深化概念理解。通過多維表征，學(xué)生不僅掌握了模型的外在形式，更理解其內(nèi)在的數(shù)學(xué)邏輯，如除法的意義與倍數(shù)關(guān)系的關(guān)聯(lián)。在實施中分層設(shè)計表征任務(wù)，從低階的畫圈操作（動作表征）到高階的算式抽象（符號表征），逐步提升表征的抽象程度，滿足不同認知水平學(xué)生的需求。同時建立表征間的轉(zhuǎn)化橋梁，引導(dǎo)學(xué)生將“圈一圈\"的結(jié)果用語言描述，再轉(zhuǎn)化為算式，明確“幾個幾”與除法運算的對應(yīng)關(guān)系，形成“動作一語言一符號\"的表征鏈條。

在\"找圖形中的倍數(shù)關(guān)系\"環(huán)節(jié)，提供18個圓形、3個三角形、正方形9個，學(xué)生呈現(xiàn)不同的表征方式。有學(xué)生進行動作表征，將3個三角形圈為1份，圓形圈出6份，直觀地呈現(xiàn)\"18里有6個3”。有學(xué)生嘗試符號表征，用算式‘ 9÷3=3… 表示正方形數(shù)量是三角形的3倍。還有學(xué)生用語言表征，把9個正方形看成1份，圓形有2份，所以圓形數(shù)量是正方形的2倍。通過對比“同一標準量（3個三角形）下不同比較量（9與18）的倍數(shù)差異”，學(xué)生理解“比較量不同，倍數(shù)關(guān)系不同，但模型結(jié)構(gòu)一致”。

（四）應(yīng)用進階化，在跨情境遷移中強化模型功能

遷移學(xué)習(xí)理論指出，模型的泛化能力需在多樣化情境中培養(yǎng)。通過跨情境應(yīng)用，學(xué)生體會到數(shù)學(xué)模型的普適性一只要存在“兩個量的比率關(guān)系”，即可用“倍”的模型描述，實現(xiàn)從“情境模型\"到“數(shù)學(xué)模型\"的抽象升華。一是情境梯度設(shè)計，從單一數(shù)量情境（人數(shù)、圖形）到復(fù)合屬性情境（字數(shù)、大小），再到抽象線段情境，逐步減少情境支撐，增強模型的概括性。二是提供逆向與開放任務(wù)，通過“紅氣球、綠氣球各有12個，后來綠氣球被吹走了一些。剩下的紅氣球和綠氣球還存在倍數(shù)關(guān)系嗎？怎樣調(diào)整呢？”等逆向問題，以及“創(chuàng)造任意倍數(shù)關(guān)系”的開放任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生主動調(diào)用模型解決問題的意識。

首先設(shè)計基礎(chǔ)應(yīng)用習(xí)題，解決“小剛獲得1張積分卡，小麗是其3倍，小麗獲得了幾張積分卡？\"的數(shù)量問題（如圖1），鞏固“求一個數(shù)的幾倍是多少用乘法”的模型。接著變式應(yīng)用，從積分卡中你還找到了哪些倍數(shù)關(guān)系？拓展到非數(shù)量情境，積分卡的字數(shù)、面積大小、線段長度存在3倍關(guān)系，借助線段圖舉例表示\"5張 15 張\"\"10厘米 30 厘米”，剝離具體屬性，聚焦“3倍即3個相同量”的本質(zhì)。另外在新知學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，也進行了較開放的探索，“你還想研究幾倍？”在全班分享中聚焦學(xué)生創(chuàng)造的“4倍關(guān)系”，如“12個圓是3個三角形的4倍”\"24個五角星是6個正方形的4倍”，對比發(fā)現(xiàn)“不同具體數(shù)量可對應(yīng)相同倍數(shù)關(guān)系”。

三、實踐反思：模型意識培養(yǎng)的關(guān)鍵要素

（一）把握“變”與“不變”的辯證關(guān)系

教學(xué)中需清晰界定模型的核心要素（不變量）與可變要素（變量）。如“倍\"的模型中，“標準量”可變化，但“比較量 ÷ 標準量 倍數(shù)\"的運算結(jié)構(gòu)不變。通過“改變變量—觀察現(xiàn)象一歸納規(guī)律”的循環(huán)，讓學(xué)生在動態(tài)中把握模型本質(zhì)，避免將模型等同于具體情境或公式。

（二）關(guān)注表征轉(zhuǎn)化的“思維腳手架”

部分學(xué)生在從直觀表征（如畫圖）到符號表征（如算式）的轉(zhuǎn)化中存在困難，需提供明確的思維支架。例如，用“圈一圈后先寫‘幾個幾’，再轉(zhuǎn)化為除法算式”的步驟指引，幫助學(xué)生建立表征間的邏輯聯(lián)系，逐步實現(xiàn)抽象化。

（三）滲透模型的“現(xiàn)實關(guān)聯(lián)”與“數(shù)學(xué)本質(zhì)”

模型意識的培養(yǎng)需兼顧“生活味”與“數(shù)學(xué)味”，既要通過生活實例讓模型可感，也要適時剝離情境，凸顯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如在積分卡教學(xué)中，從“具體數(shù)量的3倍”到“線段長度的3倍”，再到“用‘幾'和‘3個幾'表示一般關(guān)系”，讓學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實一數(shù)學(xué)一一般化\"的認知提升，理解模型作為“數(shù)學(xué)工具\"的本質(zhì)價值。

模型意識的培養(yǎng)是一個循序漸進的過程，需貫穿于概念建構(gòu)、問題解決與思維發(fā)展的全過程?！氨兜恼J識\"教學(xué)實踐表明，通過情境具身化建立模型聯(lián)結(jié)、結(jié)構(gòu)顯性化解構(gòu)模型要素、表征多維化完善模型建構(gòu)、應(yīng)用進階化強化模型功能，能有效促進學(xué)生模型意識的發(fā)展。這一路徑不僅適用于“倍”的教學(xué)，也可為其他數(shù)學(xué)概念（如加法、乘法、速度）的模型化教學(xué)提供借鑒一讓學(xué)生在\"從現(xiàn)實到數(shù)學(xué)\"的抽象中感知模型的存在，在“從具體到一般”的概括中理解模型的本質(zhì)，在“從單一到多元”的應(yīng)用中體會模型的力量，真正形成用數(shù)學(xué)模型解決問題的核心素養(yǎng)。

參考文獻：

[1][2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

【注：本文系2021年度廣東省教育科學(xué)規(guī)劃課題“小學(xué)‘深趣數(shù)學(xué)’教學(xué)研究”（編號：2021YQJK113）2024年度廣東省中小學(xué)教師培訓(xùn)中心科研課題“基于情知互動的深趣教育模式：課堂教學(xué)實踐與研究\"（編號：GDSP-2024-C025）的研究成果?！?/p>