運算是數(shù)學教學的重要內(nèi)容，小學階段的運算主要包括整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的運算?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出，數(shù)與運算的教學應讓學生“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識”。基于運算一致性，筆者將小學階段“數(shù)與運算\"的學習內(nèi)容進行整合、重組，形成四節(jié)復習課，分別是“數(shù)的再認識與一致性\"“再探加、減法運算”“再探乘法運算\"和“再探除法運算”，將其放在小學六年級進行教學。本文以其中的“再探乘法運算”一課為例展開教學實踐，幫助學生感悟運算一致性，形成完整的知識體系，實現(xiàn)數(shù)學思維的發(fā)展。

一、感悟運算一致性的必要性

小學階段，學生的認知發(fā)展水平處于由前運算階段向具體運算階段過渡的過程中。特別是對于第一學段的學生來說，他們的認知發(fā)展水平更多處于前運算階段，思維仍然受到直觀表象的影響，抽象思維能力弱。因此，小學階段“數(shù)與運算\"的教學總是與現(xiàn)實背景密不可分，教材內(nèi)容和教學過程也尤為重視數(shù)的認識與運算的實際意義。這導致學生對數(shù)與運算的認知往往是具體的，對于算法的理解是獨立的。

此外，考慮到小學階段學生的認知發(fā)展規(guī)律，現(xiàn)有小學教材對“數(shù)與運算”內(nèi)容的編排呈螺旋式上升的結構分布在各個年級。以人教版教材為例，整數(shù)的認識與運算橫跨一至四年級，分數(shù)的認識與運算橫跨三至六年級，小數(shù)的認識與運算橫跨三至五年級，學生學習的時間跨度大。同時，在具體學習內(nèi)容的編排上，存在知識內(nèi)容重復交錯的現(xiàn)象。一方面，分數(shù)與小數(shù)的初步認識和簡單加減運算在三年級及之后的四、五年級重復出現(xiàn)。另一方面，數(shù)的認識的學習順序和數(shù)的意義與性質(zhì)、數(shù)的運算的學習順序不一致，前者為先分數(shù)后小數(shù)，后者為先小數(shù)后分數(shù)。在實際教學中，同一個班級在不同年級時常由不同教師任教，教師對教學內(nèi)容的理解往往也呈現(xiàn)出碎片化特征，不同教師難以形成連貫一致的教學。因此，學生很難在新舊兩種數(shù)或運算間建立聯(lián)系，每次學習新的數(shù)或者運算都要重新開始搭建認知框架，這導致他們的數(shù)學思維難以形成連續(xù)性的發(fā)展。

事實上，數(shù)與運算的教學唯有抓住運算的本質(zhì)，以運算一致性為主線，貫通整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的運算教學，打破不同學段、不同教師教學之間的壁壘，才能使學生認識到運算知識之間的聯(lián)系，構建完整的知識體系，從而更好地理解新運算的算理與算法，提升運算能力，實現(xiàn)數(shù)學思維的螺旋式上升。

二、乘法運算復習課的教學實踐

所謂運算一致性，從字面上來看，就是指進行任何數(shù)學運算，都遵循統(tǒng)一的運算規(guī)則和運算順序，使運算結果符合數(shù)學邏輯。具體可以從運算意義、運算算法、運算算理三個方面來理解。從運算意義的角度，加、減、乘、除四則運算具有一致性，所有運算都是由加法推演出來的。從運算算法的角度，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)運算都可以還原、拆解為二十以內(nèi)的加法和表內(nèi)乘法。從運算算理的角度，所有運算都是計數(shù)單位與計數(shù)單位運算、計數(shù)單位的個數(shù)與計數(shù)單位的個數(shù)運算，本質(zhì)上是在解決“有多少個計數(shù)單位\"的問題。

小學階段，感悟運算一致性的核心主要體現(xiàn)在算理和算法兩個方面。基于此，結合前述對“數(shù)與運算\"學習問題的分析，可按如下順序展開乘法運算復習課“再探乘法運算\"的教學。

（一）問題導入，引發(fā)思考

為找到學生的真實困惑，教師在課前對學生進行了關于乘法運算的訪談。在訪談中，有學生提出：“我們分別學習了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)三種乘法的算法，但這三種算法我有時候會記錯。有沒有一種簡潔的方法能把它們都記?。縗"還有的學生結合之前學習的加減法運算的一致性，提出“整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的乘法之間有沒有共通的結論？”的問題。接著，教師以學生提出的這些問題為切入點，引發(fā)學生的聯(lián)想，喚起學生之前探究加減法運算的經(jīng)驗，點明本節(jié)課是以計數(shù)單位的視角對乘法運算進行的又一次探究，讓學生帶著問題展開學習。

（二）探究乘法算理一致性，再認識算法

1.感悟整數(shù)乘法算理

教師出示一道簡單口算題 30×80 ，讓學生快速說出算法，并用算式表達算法背后的算理。

學生經(jīng)過思考，寫出 30×80 的運算過程（如圖1），并解釋其中的算理：30由3個十組成，可表示為 3×10;80 由8個十組成，可表示為 8×10 。利用乘法交換律和乘法結合律，將 10×10 這兩個計數(shù)單位相乘，產(chǎn)生新的計數(shù)單位100；將 3×8 這兩個計數(shù)單位的個數(shù)相乘，得到新的計數(shù)單位的個數(shù)。兩者相乘得到的積為24個百，也就是 24×100 ，等于 2400 。

教師接著出示算式 30×800 和 25×30 ，讓學生按照同樣的方式開展自主練習，體會計算背后的算理。通過與 30×80 運算過程的對比分析，師生共同歸納出整數(shù)乘法的算理：（個數(shù) × 個數(shù)） × （計數(shù)單位 × 計數(shù)單位） 積。

在這一教學環(huán)節(jié)，利用簡單口算例題引導學生探索整數(shù)乘法的算理，便于學生抽象出形式化的算理。利用三個不同的算理表達式，讓學生經(jīng)歷整數(shù)乘法算理的探究以及推理過程，自主歸納整數(shù)乘法的算理，有助于學生強化對整數(shù)乘法算理的理解。

2.類比遷移，自主探究小數(shù)乘法、分數(shù)乘法算理

教師繼續(xù)組織學生探究小數(shù)、分數(shù)乘法的算理。教師出示活動要求：（1）從 0.02中選擇兩個數(shù)，組成乘法算式寫在學習單上。（2）寫出算理，思考并驗證小數(shù)、分數(shù)乘法是否具有相同的結論。

學生自主舉例情況如圖2所示。

此時，教師帶領學生回顧課前提出的問題，得出結論：小數(shù)乘法、分數(shù)乘法的算理與整數(shù)乘法的算理是一致的。

在以上教學環(huán)節(jié)，教師讓學生類比遷移整數(shù)乘法的研究思路，自主舉例，探究小數(shù)乘法及分數(shù)乘法的算理，充分發(fā)揮了學生的課堂主體作用，培養(yǎng)了學生類比遷移、獨立解決問題的能力。此外，通過讓學生經(jīng)歷“觀察對比一提出猜想一驗證說理一歸納總結\"的數(shù)學探究一般過程，幫助學生積累數(shù)學學習經(jīng)驗。

3.再認識算法，一一對應加深理解

在完成上述算理的探究后，教師再次引導學生回顧整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)乘法的算法：在小數(shù)乘法中，按照整數(shù)計算是在計算計數(shù)單位的個數(shù)，確定小數(shù)點的位置是在確定新的計數(shù)單位。在分數(shù)乘法中，分子乘分子是在計算計數(shù)單位的個數(shù)；分母乘分母是在確定新的計數(shù)單位。這為接下來用算理解釋算法作了知識上的鋪墊，避免學生產(chǎn)生“本節(jié)課我新學習了一個公式”的想法，從而糾正他們將對算理的理解誤認為是機械化公式套用的偏差。

這一過程在已歸納出算理的基礎上帶領學生再次回顧算法，讓學生將本節(jié)課探究得到的結論與之前學習過的算法建立聯(lián)系，從而深入明晰算法背后的原理，感悟“算理決定算法”，同時也使學生直觀體會到化繁為簡的過程，感受數(shù)學的簡潔美，獲得解決問題的成就感。

（三）自主規(guī)劃，個性化提升運算能力

1.分析他人錯例，積累學習經(jīng)驗

在學生明白了乘法運算背后的道理之后，教師組織學生回顧他們在之前的學習中犯的一些錯誤（如圖3），讓學生利用今天探究得到的乘法算理分析錯因。

學生結合本課的學習經(jīng)驗指出：錯例1中，第二步積的數(shù)位位置錯誤。在計算第二步的積時，數(shù)字2表示2個十，所以實際上進行的運算應是 16× 20=320 。也就是說，32表示的是32個十。需要將3與百位對齊，2與十位對齊，個位上的0則依照習慣省略不寫，這樣才能表示正確的乘積。錯例2中，計數(shù)單位個數(shù)的計算沒有出錯，但是小數(shù)點的位置出錯了，也就是新的計數(shù)單位算錯了。兩個因數(shù)的計數(shù)單位都是0.1，得到的新的計數(shù)單位就是 0.1× 0.1=0.01 。因此積應該是一個兩位小數(shù)，即7.35。

在此基礎上，教師再讓學生提出一些提高運算正確率的建議。學生由此提出：應該從計數(shù)單位的視角，利用算理再次檢查自己的計算過程。

2.制訂并實施個性化運算能力提升計劃

在這一環(huán)節(jié)，教師讓學生從以下四個方面反思自己的運算，并在學習單上制訂自己的運算能力提升計劃。

（1）我在運算中常出現(xiàn)哪些錯誤？

（2）我應該重點練習哪些運算？

（3）練習時我要注意養(yǎng)成哪些習慣？

（4）我計劃達成怎樣的目標？

接著，教師利用運算小程序，讓學生根據(jù)自己制訂的計劃，選擇知識點進行練習。借助教師端，教師可及時查著學生的練習情況與即時性數(shù)據(jù)反饋，并與學生交流是否達成預設目標，由此實現(xiàn)精準教學及個性化的運算能力提升。學生也能在這一過程中，學會分析問題，學會思考。

（四）回顧收獲

課末，教師引導學生回顧、反思這節(jié)課學到了什么。學生有的了解了乘法的運算算理是一致的，都可以用計數(shù)單位的個數(shù)乘計數(shù)單位的個數(shù)、計數(shù)單位乘計數(shù)單位來概括。有的知道了更多可用的方法來檢驗自己的計算是否正確，學會從算理的角度分析計算。有的發(fā)現(xiàn)不管是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)，不同的知識之間都存在聯(lián)系。還有的疑惑：除法運算是不是也存在和加法、減法、乘法運算相同的道理？通過這樣的思辨討論，學生學會用數(shù)學的思維思考問題，感悟到知識之間普遍存在聯(lián)系，并引發(fā)了對數(shù)學學習的好奇心和求知欲，形成質(zhì)疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神。

三、運算一致性的教學思考

這節(jié)課以數(shù)的運算為載體，以運算一致性為主線展開教學。通過對教學過程的反思可以發(fā)現(xiàn)，在六年級的復習課中開展運算一致性教學具有較高的可行性，但還需要進一步加以探究。

首先，運算一致性需要以合適的方式貫穿在數(shù)學運算的教學中。從本課的實踐探索中可以看到，學生已經(jīng)掌握了小學階段的所有運算，他們的認知發(fā)展水平更高，具備了一定的抽象意識基礎，能夠在探究過程中發(fā)現(xiàn)、理解并歸納運算一致性。

其次，在小學階段，學生已經(jīng)初步經(jīng)歷了對數(shù)與運算一致性的感悟?qū)W習，他們的認知起點發(fā)生了變化。而在小學以后的學習中，他們還會逐步經(jīng)歷由數(shù)到式再到方程乃至函數(shù)的學習歷程。因此，教師需要思考如何讓學生從已經(jīng)認識的正有理數(shù)與運算的一致性起點出發(fā)，進一步認識在有理數(shù)整體上數(shù)與運算的一致性。

（1.北京市東直門中學附屬雍和宮小學2.北京市東直門中學）