相對(duì)性眼光具有“重新塑型整體、重新把握關(guān)系、重新聚焦對(duì)象\"的重組功能[1]，發(fā)揮這樣的認(rèn)知功能可以實(shí)現(xiàn)“隱性內(nèi)容顯性化、抽象內(nèi)容具象化、獨(dú)立對(duì)象結(jié)構(gòu)化\"的認(rèn)知功效[2]。而功能的發(fā)揮與功效的實(shí)現(xiàn)依賴于“如何看\"的功力，這樣的功力作為人的認(rèn)知能力主要表現(xiàn)為觀察過(guò)程中的“感知力”。

這里所說(shuō)的感知力特指視覺(jué)觀察過(guò)程中表現(xiàn)出來(lái)的能力，兼具“感覺(jué)（Sensation）\"和“知覺(jué)（Per-ception）\"的意義。3]如果把感覺(jué)視為對(duì)觀察對(duì)象表層信息的直接反映，那么知覺(jué)則包含對(duì)信息的加工和組織的過(guò)程。下面從無(wú)中生有的制作、“視幾為一\"的構(gòu)造、由此及彼的轉(zhuǎn)換以及視靜為動(dòng)的驅(qū)動(dòng)四個(gè)方面說(shuō)明相對(duì)性眼光的感知力。

一、無(wú)中生有的制作

無(wú)中生有的制作是觀察者將不存在的對(duì)象視為存在，將未發(fā)生的事件視為發(fā)生。所謂\"制作”，指的是在背景的映襯下，借助思維的想象，使得原本虛無(wú)的對(duì)象被觀察者感覺(jué)或感知到的過(guò)程。例如，在觀察圖1的過(guò)程中，如果要回答“能看見(jiàn)什么？”，可能的答案應(yīng)當(dāng)是：三個(gè)大小相等的圓形；第一行有一個(gè)，第二行有兩個(gè)。除此之外，似乎沒(méi)有更多信息了。也就是說(shuō)，感知到的信息局限于三個(gè)圓形及其空間方位。

如果將圖1中三個(gè)圓形的背景稍加改變，將每個(gè)圓中的一部分涂色，這時(shí)觀察者的感覺(jué)就會(huì)發(fā)生變化。對(duì)于“能看見(jiàn)什么？\"的回答也會(huì)隨之改變，不僅包括業(yè)已存在的三個(gè)圓形及其空間方位，同時(shí)還從無(wú)到有地浮現(xiàn)出一個(gè)白色三角形，其頂點(diǎn)位于三個(gè)圓的圓心。

這樣的視覺(jué)現(xiàn)象是意大利心理學(xué)家蓋塔諾·卡尼薩（GaetanoKanizsa，1913—1993）于1955年發(fā)現(xiàn)的，因此被命名為“卡尼薩三角形（KanizsaTrian-gle）\"[4]。事實(shí)上，卡尼薩三角形并非真實(shí)的存在，而是人的視覺(jué)在背景信息的映襯下，無(wú)中生有地制作出來(lái)的。如果把三個(gè)圓形中的陰影刪除，這個(gè)白色三角形就會(huì)在視覺(jué)中消失。

無(wú)中生有的制作具有靈活多樣的開(kāi)放性，不同的制作方式能夠改變、拓展對(duì)觀察對(duì)象的感知。比如觀察圖3中的長(zhǎng)方體，如果要回答“A與 X 哪個(gè)點(diǎn)距離觀察者更近？”，就可能出現(xiàn)不同的答案。

在二維的紙面上畫(huà)三維的長(zhǎng)方體，通常用實(shí)線表示外部可見(jiàn)的線段，虛線表示長(zhǎng)方體內(nèi)部隱藏的線段。針對(duì)同一個(gè)長(zhǎng)方體，若制作不同的實(shí)線與虛線，對(duì)長(zhǎng)方體方位的感覺(jué)就會(huì)發(fā)生變化。比如觀察圖4 ① 的感覺(jué)是從上向下看，A點(diǎn)到 X 點(diǎn)是自外而內(nèi)、由近及遠(yuǎn)；而觀察圖 4② 的感覺(jué)恰好相反，是從下向上看，A點(diǎn)到 X 點(diǎn)是自內(nèi)而外、由遠(yuǎn)及近。這樣的現(xiàn)象是瑞士晶體學(xué)家路易斯·阿爾貝特·內(nèi)克爾（LouisAlbertNecker，1786—1861）在研究晶體結(jié)構(gòu)時(shí)發(fā)現(xiàn)的，因此稱(chēng)為\"內(nèi)克爾方塊”[5]

同一個(gè)長(zhǎng)方體，人的視覺(jué)可能感知到不同的樣態(tài)，表明無(wú)中生有的制作不僅是從無(wú)到有的過(guò)程，而且伴隨著“未必如此、可能如彼\"的不確定性。正是這樣的不確定性為人類(lèi)的創(chuàng)造與創(chuàng)新提供了無(wú)限的可能。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)經(jīng)歷這樣無(wú)中生有的制作過(guò)程，有益于發(fā)展其創(chuàng)新意識(shí)，提升其創(chuàng)新能力。

二、“視幾為一\"的構(gòu)造

相對(duì)性眼光不僅具有無(wú)中生有的制作能力，在面對(duì)較多觀察對(duì)象時(shí)，還具有“視幾為一\"的構(gòu)造能力，主要表現(xiàn)為對(duì)觀察對(duì)象的歸類(lèi)與分組。比如觀察圖5中水平擺放的小球，如果要回答“有多少個(gè)小球？”，用習(xí)慣且常規(guī)的眼光看，從左到右或從右到左可以數(shù)出唯一確定的答案為\"6個(gè)”。

如果把問(wèn)題聚焦為“如何著出？”，用不同的眼光就會(huì)得到差異、多樣的答案。比如改變左側(cè)3個(gè)小球的顏色，觀察者便會(huì)不自覺(jué)地把顏色相同的小球歸為一類(lèi)，即將左側(cè)顏色相同的3個(gè)小球歸為一類(lèi)，右側(cè)顏色相同的3個(gè)小球歸為另外一類(lèi)，從而把6個(gè)小球分成了兩組（如圖6）。

即便沒(méi)有顏色的區(qū)分，按照格式塔心理學(xué)的感知原理，人的視覺(jué)會(huì)根據(jù)空間位置的“鄰近（Prox-imity）\"以及某種性質(zhì)的\"相似（Similarity）\"等因素，自然而然地對(duì)觀察對(duì)象進(jìn)行歸類(lèi)與分組。比如觀察圖7中的7個(gè)小球，就會(huì)出現(xiàn)差異且多樣的分組方式，表現(xiàn)出相對(duì)性眼光靈活多樣的特征。

如果用自上而下或自左而右這些習(xí)慣且常規(guī)的眼光看，7個(gè)小球可以分為上、中、下三組（如圖 8① ），或左、中、右三組（如圖 8② ）。運(yùn)用這樣的感知方式得到的算式可以表達(dá)為 2+3+2=7 。

如果改變這種習(xí)慣且常規(guī)的線性眼光，還可以用構(gòu)造“完形（Gestalt）\"的眼光進(jìn)行觀察。比如觀察圖9時(shí)，若自左而右或從左上向右下著，視覺(jué)中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)平行四邊形（菱形），這時(shí)就會(huì)觸發(fā)“2個(gè)4\"的乘法思維，即將“4個(gè)\"視為“一”。由于兩個(gè)平行四邊形相鄰處有1個(gè)共用的小球，因而得到的算式為 4×2-1=7 。

更進(jìn)一步，還可以將7個(gè)小球按照“三角形\"來(lái)分組（如圖10）。由于三個(gè)三角形相鄰處的小球重復(fù)了3次，因此對(duì)應(yīng)的算式就成為 3×3-2=7 。

用類(lèi)似的完形眼光還可以構(gòu)造出兩個(gè)梯形（如圖11），這時(shí)對(duì)應(yīng)的算式就成為 5×2-3=7 。

除此之外，還可以結(jié)合前文中所說(shuō)的“無(wú)中生有的制作”，采用不同于前面的構(gòu)造方式，通過(guò)添加小球?qū)φw進(jìn)行重新塑型。比如分別在第一行和第三行無(wú)中生有地添加1個(gè)小球（如圖12），這時(shí)整體形狀就成為一個(gè)平行四邊形，對(duì)應(yīng)的算式就成為3×3-2=7 。

綜上反映出相對(duì)性眼光具有“視幾為一\"的構(gòu)造能力，通過(guò)不同的歸類(lèi)與分組，將復(fù)雜、零散的觀察對(duì)象改變?yōu)椤安糠峙c整體\"的結(jié)構(gòu)，就會(huì)形成差異且多樣的方法與策略。美國(guó)斯坦福大學(xué)神經(jīng)科學(xué)家布魯斯·麥克坎德利斯（BruceMcCandliss）教授把這樣的能力叫作\"集組感知（Groupitizing）”，并通過(guò)研究證實(shí)集組感知的能力與學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)呈正相關(guān)的關(guān)系，是學(xué)生智力發(fā)展的重要方面。

三、由此及彼的轉(zhuǎn)換

由此及彼的轉(zhuǎn)換主要應(yīng)用于不同觀察對(duì)象的比較過(guò)程，是發(fā)現(xiàn)不同對(duì)象之間關(guān)系的過(guò)程與能力。比如圖13中兩條線段相交，形成大小相等的對(duì)頂角。但對(duì)于低齡兒童來(lái)說(shuō)，要形成對(duì)頂角相等的認(rèn)知是存在困難的。

經(jīng)課堂觀察發(fā)現(xiàn)，對(duì)于圖 13① 中的兩個(gè)角，學(xué)生都會(huì)認(rèn)為大小相等，但對(duì)圖 13② 和圖 ? 中的角就會(huì)出現(xiàn)誤判。圖 13② 標(biāo)記角的扇形大小不同，圖 ? 兩個(gè)角畫(huà)出的邊長(zhǎng)短不同，許多學(xué)生就會(huì)誤認(rèn)為扇形大或畫(huà)出的邊較長(zhǎng)一方的角更大。

為了使兩個(gè)角的相等關(guān)系更為清晰，就需要通過(guò)由此及彼的轉(zhuǎn)換改變比較的對(duì)象。比如分別將兩個(gè)角與相鄰的同一個(gè)角合并，將兩個(gè)對(duì)頂角的比較轉(zhuǎn)換為兩個(gè)平角的比較。借助平角相等就不難推理出對(duì)頂角相等的結(jié)論（如圖14）。

這種由此及彼的轉(zhuǎn)換發(fā)揮了相對(duì)性眼光重新塑型整體的重組功能，實(shí)現(xiàn)了將隱性的相等關(guān)系顯性化的認(rèn)知功效。將這樣的眼光應(yīng)用于數(shù)的計(jì)算，對(duì)于發(fā)現(xiàn)不同算式之間的關(guān)系，探索算術(shù)以及代數(shù)中的一般性規(guī)律十分有益。比如面對(duì)算式 49×51 常規(guī)的眼光與方法是將豎式作為工具，依據(jù)計(jì)算的程序得到結(jié)果2499。

由此及彼的相對(duì)性眼光則不同，是尋求這個(gè)算式與其他算式的關(guān)系，通過(guò)不同算式之間的比較實(shí)現(xiàn)化未知為已知。 49×51 這一算式的特點(diǎn)是第一個(gè)因數(shù)49比50少1，第二個(gè)因數(shù)51比50多1，因此可把注意力聚焦于 49×51 與 50×50 或 50² 的關(guān)系上。羅列一些具有類(lèi)似關(guān)系的算式進(jìn)行觀察，可以發(fā)現(xiàn)其中具有一致性的規(guī)律。

據(jù)此有理由猜測(cè) 49×51 與 50²–1 的結(jié)果相等，這意味著可以將算式 49×51 轉(zhuǎn)換為易于心算的50²–1 。這種由此及彼的轉(zhuǎn)換改變并超越了常規(guī)的程序化計(jì)算，轉(zhuǎn)向了針對(duì)算式之間關(guān)系的比較。

由此及彼的轉(zhuǎn)換不僅使具體的計(jì)算更為簡(jiǎn)便，還為發(fā)現(xiàn)更為普遍的規(guī)律提供了思路。如果用表達(dá)變量的字母 a 取代具體的數(shù)，那么以上所有算式間的關(guān)系都可以表示為 （a-1）×（a+1）=a²-1 。更進(jìn)一步，通過(guò)對(duì)諸如 48×52=50²-2² 和 47×53=50²-3² 等算式的觀察與比較，就可以得到初中數(shù)學(xué)課程中的平方差公式，用代數(shù)的符號(hào)表達(dá)為 （a-b）×（a+b）= a²-b² 。

以上過(guò)程是將算式 49×51 轉(zhuǎn)換為 50²–1 ，進(jìn)而納入一個(gè)具有相同規(guī)律的結(jié)構(gòu)中，使得隱性的規(guī)律顯性化。凡此表明，由此及彼的轉(zhuǎn)換能夠發(fā)揮相對(duì)性眼光的重組功能，實(shí)現(xiàn)獨(dú)立對(duì)象結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知功效。除此之外，相對(duì)性眼光的感知力還表現(xiàn)為驅(qū)動(dòng)觀察對(duì)象的過(guò)程與能力。下面用初中數(shù)學(xué)課程中平方差公式的直觀證明進(jìn)一步說(shuō)明這一能力。

四、視靜為動(dòng)的驅(qū)動(dòng)

本刊在2025年4月刊載的《跨越學(xué)段界限的“相對(duì)性眼光\"》一文，用小學(xué)與初中數(shù)學(xué)中的實(shí)例詳細(xì)說(shuō)明了視靜為動(dòng)的眼光在認(rèn)知方面的有效性及其學(xué)段貫通性。8作為初中代數(shù)的課程內(nèi)容，平方差公式承載著從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變與提升的課程價(jià)值，同時(shí)具有溝通代數(shù)與幾何，提升幾何直觀能力的教學(xué)價(jià)值。

用幾何的眼光看平方差公式 a²-b²=（a+b）× （a-b） ，其中的 a² 與 b²（agt;bgt;0） 表達(dá)的是大、小兩個(gè)正方形的面積（如圖 15① ），因此公式中的 a²-b² 就成為圖 15② 中白色“拐脖形”的面積。

為了直觀證明平方差公式，只需要用視覺(jué)看出這個(gè)“拐脖形”的面積為 （a-b）×（a+b） 即可。所謂“看出”，就是要盡量避免煩瑣、抽象的代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)抽象內(nèi)容的具象化。為此就需要重新塑型圖 15② 中的“拐脖形”，通過(guò)視靜為動(dòng)的驅(qū)動(dòng)，使其中一個(gè)局部的小長(zhǎng)方形（表1中圖的陰影部分）發(fā)生平移與旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)變?yōu)閷?、長(zhǎng)分別為 a-b 和 a+b 的長(zhǎng)方形，從而也就實(shí)現(xiàn)了公式的直觀證明。詳細(xì)過(guò)程如表1所示。

表1

以上過(guò)程反映出相對(duì)性眼光具有使觀察對(duì)象從靜止到運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力。正是這樣的驅(qū)動(dòng)力使得觀察對(duì)象的空間方位發(fā)生變化，從而使不同對(duì)象之間隱性的關(guān)系得以顯現(xiàn)。需要注意的是，驅(qū)動(dòng)的方式與過(guò)程未必是唯一確定的。對(duì)于圖 15② 中的“拐脖形”，還可以看作是由兩個(gè)具有全等關(guān)系的梯形構(gòu)成的（如圖16）。

通過(guò)相對(duì)性眼光的驅(qū)動(dòng)，使其中一個(gè)梯形（表2中圖的陰影部分）發(fā)生對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)和平移的運(yùn)動(dòng)，同樣可以將兩個(gè)梯形重新塑型為寬、長(zhǎng)分別為a-b 和 a+b 的長(zhǎng)方形。詳細(xì)過(guò)程如表2所示。

由此可見(jiàn)，相對(duì)性眼光視靜為動(dòng)的驅(qū)動(dòng)是將靜止的對(duì)象視為運(yùn)動(dòng)，通過(guò)改變空間方位對(duì)觀察對(duì)象進(jìn)行重組，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)隱性關(guān)系的顯性化。因此應(yīng)當(dāng)重新認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)課程中“圖形的運(yùn)動(dòng)\"的相關(guān)內(nèi)容，諸如對(duì)稱(chēng)、平移和旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)方式，不僅是等待獲取的知識(shí)，更應(yīng)當(dāng)視為各個(gè)學(xué)段需要逐步提升與加強(qiáng)的感知力。

以上通過(guò)具體實(shí)例，歸納出相對(duì)性眼光的感知力主要表現(xiàn)為“無(wú)中生有的制作、視幾為一的構(gòu)造、由此及彼的轉(zhuǎn)換、視靜為動(dòng)的驅(qū)動(dòng)”四個(gè)方面。這樣的能力能夠使人在觀察過(guò)程中實(shí)現(xiàn)在對(duì)立中看到統(tǒng)一，具體表現(xiàn)為：在虛無(wú)中看到存在、在零散中看到結(jié)構(gòu)、在孤立中看到聯(lián)系、在靜止中看到運(yùn)動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1郜舒竹.相對(duì)性眼光的“重組”功能[J」.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2025（3）：4-8

[2]郜舒竹.“相對(duì)性眼光”的認(rèn)知功效[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2025（5）：4-9.

[3]BEN-ZEEV A. The passivity assumption of thesensation-perception distinction[J].The British Journal for thePhilosophy ofScience，1984，35（4）： 327-343.

[4]GENONE J.Appearance and illusion[J]. Mind，2014，123（490）：339-376.

[5]MILLAR B. Sensory phenomenology and perceptual content [J].The Philosophical Quarterly， 2011，61（244） ：558-576.

[6]KOFFKA K.Principles of Gestalt psycho logy[M].London：Routledge，1935.

[7]STARKEYGS，MCCANDLISSBD.The emergence of“groupitizing”in children's numerical cognition[J].Journal of Experimental Child Psychology，2014（10）：120-137.

[8]郜舒竹.跨越學(xué)段界限的“相對(duì)性眼光”[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2025（4）：4-9.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）