摘"要：“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程是高校理工科類專業(yè)的必修課程，它對(duì)理工類人才的培養(yǎng)有著至關(guān)重要的作用。本文基于OBE理念，提出了“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)設(shè)計(jì)的新方法，并將矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法及點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則這三節(jié)課程整合為一個(gè)教學(xué)單元，以點(diǎn)估計(jì)這一教學(xué)模塊為例，開展了邏輯性強(qiáng)且可持續(xù)改進(jìn)的教學(xué)設(shè)計(jì)。依托OBE理念將聯(lián)系緊密的課程模塊化來(lái)開展教學(xué)，有助于將知識(shí)傳授與能力培養(yǎng)有機(jī)融合，促進(jìn)了人才培養(yǎng)質(zhì)量與教學(xué)水平的同步提升，也為相關(guān)領(lǐng)域輸送更高質(zhì)量的專業(yè)人才提供動(dòng)力。

關(guān)鍵詞：OBE理念；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；點(diǎn)估計(jì)；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G642.0""文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、概述

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是探究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門課程，它對(duì)于解決社會(huì)發(fā)展中的不確定性問題具有重要的意義［1］。同時(shí)，作為高校工科類學(xué)生的專業(yè)必修課，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)，還能與其他專業(yè)課交叉融合來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用和創(chuàng)新能力。然而，隨著我國(guó)科技的飛速發(fā)展，社會(huì)對(duì)工科類人才提出了更高的要求，高校的人才培養(yǎng)方式也面臨著巨大的挑戰(zhàn)［2］。為了迎接這一挑戰(zhàn)，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的教學(xué)思路也要轉(zhuǎn)化為以成果為導(dǎo)向的教學(xué)理念，讓學(xué)生的培養(yǎng)與社會(huì)的需求接軌，從而達(dá)到教學(xué)目標(biāo)和社會(huì)需求的一致性。

二、OBE理念

成果導(dǎo)向教育（Outcome"Based"Education，OBE）作為一種新型的教育理念，是美國(guó)學(xué)者Spady于1981年首次提出的。該教育理念堅(jiān)持以成果為導(dǎo)向，以學(xué)生為中心，與傳統(tǒng)教育理念相比，它是一種運(yùn)用逆向思維開展課程體系建設(shè)的理念［3］。OBE理念重在對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，每門課程的建設(shè)及其教學(xué)的設(shè)計(jì)要對(duì)標(biāo)到學(xué)生畢業(yè)時(shí)應(yīng)具備的能力和水平上，同時(shí)整體教學(xué)要以學(xué)生產(chǎn)出為內(nèi)驅(qū)力來(lái)驅(qū)動(dòng)教學(xué)體系的運(yùn)行［45］。為了提高“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”這門課程對(duì)高校工科類學(xué)生的能力培養(yǎng)，課程中必然會(huì)涉及一些實(shí)際問題的分析與求解，而這些問題通常是復(fù)雜且涉及多重知識(shí)點(diǎn)的，傳統(tǒng)的以章節(jié)為知識(shí)模塊的教授方式顯然是不夠的，若能將該課程中部分關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)的章節(jié)知識(shí)整合為一個(gè)知識(shí)模塊，開展更為綜合的教學(xué)將會(huì)補(bǔ)足其中的短板。本文嘗試對(duì)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程進(jìn)行模塊化處理，將教學(xué)目標(biāo)與學(xué)生的畢業(yè)能力水平要求相對(duì)應(yīng)，構(gòu)建可持續(xù)改進(jìn)的教學(xué)體系。其具體實(shí)施步驟為：（1）將“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程內(nèi)容模塊化；（2）結(jié)合學(xué)生學(xué)情并對(duì)照學(xué)生畢業(yè)能力要求制定整體模塊的教學(xué)目標(biāo)；（3）針對(duì)教學(xué)目標(biāo)確定教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)；（4）設(shè)計(jì)實(shí)施過(guò)程；（5）進(jìn)行學(xué)生自評(píng)、生生互評(píng)、師生互評(píng)的多元教學(xué)評(píng)價(jià)；（6）通過(guò)教學(xué)評(píng)價(jià)凝練出學(xué)生的產(chǎn)出及整體教學(xué)設(shè)計(jì)的不足，從而作為整體教學(xué)體系的驅(qū)動(dòng)力來(lái)持續(xù)改進(jìn)整體的運(yùn)行環(huán)節(jié)。流程圖見下圖。

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)施流程圖

三、點(diǎn)估計(jì)的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)目標(biāo)：能夠陳述矩估計(jì)和最大似然估計(jì)的定義；理解矩估計(jì)和最大似然估計(jì)的思想及解題步驟；掌握估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

（2）能力目標(biāo)：通過(guò)對(duì)矩估計(jì)和最大似然估計(jì)解題步驟的探索，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納的能力；通過(guò)實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力。

（3）素養(yǎng)目標(biāo)（結(jié)合課程思政目標(biāo)）：通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)家的科研精神，培養(yǎng)學(xué)生艱苦奮斗的學(xué)習(xí)態(tài)度；滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又用于指導(dǎo)實(shí)踐的觀點(diǎn)。

（二）重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法的思想；難點(diǎn)：矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法的應(yīng)用。

（三）教學(xué)實(shí)施過(guò)程

點(diǎn)估計(jì)的解題思想對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)是較難理解的，于是在課前采用對(duì)分易平臺(tái)創(chuàng)建主題討論，并從中提取學(xué)生感興趣的中午在食堂窗口等待時(shí)長(zhǎng)問題，構(gòu)建本節(jié)課的引例，以引起學(xué)生的思考，從而驅(qū)動(dòng)本節(jié)課的開展。

1.引例

學(xué)生中午在食堂窗口等待盛飯的時(shí)間X（單位：分）服從均勻分布，其概率密度函數(shù)為：

f（x）=1θ，0＜x＜θ

0，其他

抽取40位同學(xué)的等候時(shí)長(zhǎng)，并計(jì)算其等候時(shí)長(zhǎng)的均值為3分鐘，求λ估計(jì)值為多少？

由引例可以引導(dǎo)學(xué)生了解參數(shù)估計(jì)的概念，進(jìn)而介紹參數(shù)估計(jì)的分類為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，通過(guò)師生互動(dòng)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以用樣本均值來(lái)估計(jì)總體均值，以此引出矩估計(jì)的概念。

2.矩估計(jì)法

定義：設(shè)總體X的分布中含有m個(gè)未知參數(shù)θ1，θ2，…，θm，且來(lái)自總體的樣本為X1，X2，…，Xn，若總體的k階原點(diǎn)矩為E（Xk），樣本的k階原點(diǎn)矩為1n∑ni=1Xk，則用樣本的k階原點(diǎn)矩替換總體的k階原點(diǎn)矩即：E（Xk）=1n∑ni=1Xk，k=1，2…，m，則方程組的解θ^k（X1，X2，…，Xk），k=1，2，…，m為未知參數(shù)θk，k=1，2，…，m的矩估計(jì)量，代入具體樣本值即為矩估計(jì)值。

思想：矩估計(jì)法的思想是替換原理，該方法是由著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾·皮爾遜提出的，并點(diǎn)出卡爾·皮爾遜經(jīng)歷過(guò)第一次世界大戰(zhàn)，但仍堅(jiān)持不懈地為科學(xué)獻(xiàn)身，為課程思政點(diǎn)的升華做準(zhǔn)備。

解題步驟：根據(jù)定義具象出學(xué)生解題時(shí)常用的矩估計(jì)問題，并引導(dǎo)學(xué)生以小組合作的方式歸納矩估計(jì)法的解題步驟。

例1：設(shè)X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，則總體的期望和方差的矩估計(jì)量分別是多少？

解析：因需要估計(jì)總體分布中的兩個(gè)參數(shù)，故需要用到兩個(gè)方程。先求總體的1階原點(diǎn)矩E（X）及2階原點(diǎn)矩E（X2），再求樣本的1階原點(diǎn)矩1n∑ni=1Xi及2階原點(diǎn)矩1n∑ni=1X2i，構(gòu)建方程組：

E（X）=1n∑ni=1Xi

E（X2）=1n∑ni=1Xi2

由總體的方差為D（X）=E（X2）-［E（X）］2，解得總體期望的矩估計(jì)量為1n∑ni=1Xi，方差的矩估計(jì)量為1n∑ni=1（Xi-X）2。

通過(guò)例題的求解帶動(dòng)學(xué)生開展小組討論總結(jié)矩估計(jì)法的求解步驟，教師適時(shí)引導(dǎo)歸納其解題步驟為：①求總體矩；②求樣本矩；③列方程組；④求解方程組。之后，借助估計(jì)泊松分布的參數(shù)λ的矩估計(jì)量讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)λ的矩估計(jì)量不止一個(gè)，從而發(fā)現(xiàn)矩估計(jì)法的缺陷，以引出另外一個(gè)點(diǎn)估計(jì)的方法——最大似然估計(jì)法。

3.最大似然估計(jì)法

最大似然估計(jì)法在定義描述時(shí)較為抽象，所以需要用案例先描述其思想再探究其解題方法，這里仍采用課前的引例來(lái)說(shuō)明。從中午學(xué)生在食堂等候時(shí)長(zhǎng)中抽取40位學(xué)生的等候時(shí)長(zhǎng)的樣本，其樣本均值為3分鐘，那么當(dāng)總體的期望θ為何值時(shí)才能使得這個(gè)樣本均值3分鐘最可能發(fā)生？這就是最大似然估計(jì)法的思想，推斷發(fā)生的樣本來(lái)自哪個(gè)總體的方法。

定義：設(shè)總體X的概率函數(shù)為p（x；θ），其中θ是總體中的未知參數(shù)，x1，x2，…，xn為來(lái)自總體的樣本，將樣本的聯(lián)合概率函數(shù)看成θ的函數(shù)，表示為L(zhǎng)（θ；x1，x2，…，xn），簡(jiǎn)記為L(zhǎng)（θ），則L（θ）=p（x1；θ）·p（x2；θ）·…·p（xn；θ），L（θ）稱為樣本的似然函數(shù)。若某統(tǒng)計(jì)量θ^=θ^（x1，x2，…，xn）滿足：L（θ^）=maxL（θ），則稱θ^是θ的最大似然估計(jì)。

思想：在一次試驗(yàn)時(shí)，某個(gè)結(jié)果A發(fā)生了，則對(duì)參數(shù)做出的估計(jì)應(yīng)該對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果A的出現(xiàn)最有利。該思想是由高斯首次提出的，后由費(fèi)希爾再次提出并使其得到了廣泛的應(yīng)用，并點(diǎn)出費(fèi)希爾經(jīng)歷過(guò)第二次世界大戰(zhàn)，但在戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期仍做出偉大貢獻(xiàn)，為課程思政點(diǎn)的升華做準(zhǔn)備。

解題步驟：構(gòu)建例題，引導(dǎo)學(xué)生以小組合作的方式歸納最大似然估計(jì)法的解題步驟。

例2：某批產(chǎn)品有A、B兩類產(chǎn)品，二者的比例為1∶9，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中有放回地抽取三次，前兩次抽到A類，第三次抽到B類。若A類產(chǎn)品所占比例為θ，求θ的最大似然估計(jì)。

解析：若將每次抽產(chǎn)品看成一次試驗(yàn)，需要將試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)值化。設(shè)Xi表示第i次抽到A類產(chǎn)品的次數(shù)，顯然Xi～B（1，θ），則樣本前兩次抽到A類，第三次抽到B類的似然函數(shù)為：

L（θ）=p（x1；θ）·p（x2；θ）·p（x3；θ）=θ2（1-θ）

而當(dāng)θ=910時(shí)，L（θ）取得最大值，因此θ的最大似然估計(jì)為910。

通過(guò)例題的求解帶動(dòng)學(xué)生開展小組討論總結(jié)最大似然估計(jì)法的求解步驟，教師適時(shí)引導(dǎo)歸納其解題步驟為：①求似然函數(shù)（離散型為聯(lián)合分布律，連續(xù)型為聯(lián)合概率密度函數(shù)）；②求對(duì)數(shù)似然函數(shù)；③列方程組；④求解方程組。通過(guò)矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于總體X的同一個(gè)參數(shù)可以用不同的參數(shù)估計(jì)方法對(duì)其估計(jì)，那么哪一種估計(jì)會(huì)更好呢？由此引出點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

4.點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一般采用無(wú)偏性、有效性及相合性，但因相合性一般考慮的是大樣本的估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，所以本節(jié)只介紹無(wú)偏性與有效性。

無(wú)偏性：設(shè)θ^=θ^（X1，X2，…，Xn）是θ的一個(gè)估計(jì)，若E（θ^）=θ，則稱θ^是θ的無(wú)偏估計(jì)量。

一個(gè)參數(shù)往往不只有一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量，若兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，則需要用有效性來(lái)判斷二者的優(yōu)劣。

有效性：設(shè)θ^1=θ^1（X1，X2，…，Xn）和設(shè)θ^2=θ^2（X1，X2，…，Xn）都是θ的無(wú)偏估計(jì)量，若D（θ^1）＜D（θ^2），則稱θ^1比θ^2更有效。

5.引例求解

運(yùn)用點(diǎn)估計(jì)的知識(shí)求解引例中參數(shù)的矩估計(jì)值和最大似然估計(jì)值，并用點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)兩種估計(jì)的優(yōu)劣性進(jìn)行評(píng)判。

解析：因引例中只含有一個(gè)參數(shù)，故兩種點(diǎn)估計(jì)法都只需要列一個(gè)方程。

（1）矩估計(jì)：按照歸納的解題步驟求解。

①求總體矩：E（X）=∫θ0xθdx=θ2；

②求樣本矩：X；

③列方程組：EX=X；

④求解方程組得：θ=2X=6。

（2）最大似然估計(jì)：按照歸納的解題步驟求解。

先求似然函數(shù)：因隨機(jī)變量X連續(xù)型，故其似然函數(shù)用其聯(lián)合概率密度函數(shù)構(gòu)建。

L（θ）=f（x1，x2，…，x40）=1θ40，x1，x2，…，x40∈（0，θ）

0，其他；

顯然，1θ40是單調(diào)遞減的，故不用繼續(xù)后面的步驟即可看出其最大值點(diǎn)。θ越小，似然函數(shù)的值越大，而θ需要不小于所有的樣本值，即：θ≥max{x1，x2，…，x40}，可得θ的最大似然估計(jì)為θ^=max{x1，x2，…，x40}。

（3）根據(jù)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本題中矩估計(jì)和最大似然估計(jì)的優(yōu)良性進(jìn)行判斷，先來(lái)判斷二者的無(wú)偏性。因樣本是相互獨(dú)立的且與總體服從同樣的分布，則：

矩估計(jì)量為θ^=2X，E2X=2E140∑40i=1Xi=θ，可見此例中的矩估計(jì)是無(wú)偏估計(jì)。

最大似然估計(jì)量為θ^=max{X1，X2，…，X40}，欲求E（max{X1，X2，…，X40}），需要先求θ^的概率密度函數(shù)。

令Y=max{X1，X2，…，X40}，y∈（0，θ），分布函數(shù)為F（x）=P{Y≤x}=P{X1≤x}P{X2≤x}…P{X40≤x}=xθ40，概率密度函數(shù)為f（x）=F′（x）=40x39θ40，x∈（0，θ），則E（max{X1，X2，…，X40}）=∫θ0x·40x39θ40dx=4041θ，可見此例中的最大似然估計(jì)是有偏的，從而對(duì)引例中的參數(shù)進(jìn)行矩估計(jì)要比最大似然估計(jì)更好。

6.課堂小結(jié)

以學(xué)生討論總結(jié)，教師凝練提升的方式對(duì)本模塊以下內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)。

（1）矩估計(jì)的思想及解題步驟；

（2）最大似然估計(jì)及解題步驟；

（3）點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)方法；

（4）課程思政升華：以科學(xué)家們經(jīng)歷了戰(zhàn)火紛飛的歲月仍能堅(jiān)持不懈地為科學(xué)獻(xiàn)身的精神來(lái)鼓勵(lì)學(xué)生刻苦努力學(xué)習(xí)。

（四）教學(xué)評(píng)價(jià)

課程的教學(xué)評(píng)價(jià)采取學(xué)生自評(píng)、生生互評(píng)及師生互評(píng)這三個(gè)維度對(duì)本節(jié)課開展全方位全過(guò)程評(píng)價(jià)。通過(guò)這樣的三維評(píng)價(jià)，教師能夠得到本節(jié)課整體的教學(xué)環(huán)節(jié)的反饋，以學(xué)生的學(xué)習(xí)成果不斷促使教師改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)，以驅(qū)動(dòng)該課程整體的不斷優(yōu)化。

結(jié)語(yǔ)

OBE教學(xué)理念改變了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，它使學(xué)生的培養(yǎng)與社會(huì)的需求得到有效接軌。將OBE理念引入“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”的課堂，探索新的教學(xué)方式，不僅能夠提高對(duì)學(xué)生能力和思維的培養(yǎng)，更能持續(xù)促進(jìn)該課程的優(yōu)化，使人才培養(yǎng)質(zhì)量和課程教學(xué)質(zhì)量得到同向提高。

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［5］劉小運(yùn)，郭艷東.OBE教育理念下概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)評(píng)價(jià)機(jī)制實(shí)踐研究［J］.創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)理論研究與實(shí)踐，2024，7（08）：7678+100.

基金項(xiàng)目：2023年廣西警察學(xué)院課程思政示范課程建設(shè)項(xiàng)目：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（編號(hào)：6）；廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項(xiàng)目：基于OBE理念的《密碼學(xué)》課程思政育人路徑的創(chuàng)新探索與實(shí)踐（編號(hào)：2023JGA370）

作者簡(jiǎn)介：倪增華（1987—"），女，漢族，山西大同人，碩士研究生，講師，研究方向：概率統(tǒng)計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)分析。