［摘" 要］ “理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”簡稱“三個理解”，是章建躍博士所提出的教學(xué)理念. 隨著新課改的深入推進，該理念應(yīng)用頻率越來越高. 研究者以“平面向量的加法運算”為例，從“概念導(dǎo)入，揭露教學(xué)意義”“建構(gòu)概念，暴露運算本質(zhì)”“剖析概念，研究運算定律”“概念應(yīng)用，解決實際問題”“深化概念，提煉思想方法”五個環(huán)節(jié)設(shè)計教學(xué)活動，旨在幫助學(xué)生在深刻理解數(shù)學(xué)知識的同時，提升思維能力和學(xué)習(xí)能力，并發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 理解數(shù)學(xué)；平面向量；課堂教學(xué)

在“三個理解”的基礎(chǔ)上實施課堂教學(xué)，可有效提升課堂教學(xué)效率，促進學(xué)習(xí)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展. 那么，何為“理解數(shù)學(xué)”呢？研究發(fā)現(xiàn)，教材作為知識傳遞的基本載體，在以教材為本的基礎(chǔ)上研究數(shù)學(xué)概念，可鑄就“數(shù)學(xué)細(xì)胞”；思維是數(shù)學(xué)的體操，在以數(shù)學(xué)思維發(fā)展為基本目標(biāo)的基礎(chǔ)上探索知識結(jié)構(gòu)，可強健“數(shù)學(xué)骨骼”；思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，在滲透思想方法的基礎(chǔ)上實施解題教學(xué)，可豐滿“數(shù)學(xué)血肉”. 因此，“理解數(shù)學(xué)”就是以教材為本，重視數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透，通過概念教學(xué)、知識結(jié)構(gòu)梳理與解題教學(xué)等手段完善學(xué)生認(rèn)知體系的過程.

教學(xué)分析

平面向量的加法深刻反映了向量的本質(zhì)特性，是向量章節(jié)中的基礎(chǔ)運算之一. 然而，學(xué)生對這部分內(nèi)容的理解程度并不理想，主要原因是許多教師認(rèn)為這部分內(nèi)容相對簡單，因此在教學(xué)過程中往往一筆帶過，導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)了“懂而不會”的現(xiàn)象. 也有部分教師認(rèn)為，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過物理學(xué)科中的運動合成相關(guān)內(nèi)容，他們對向量加法的理解相對容易. 因此，這部分教師直接向?qū)W生展示向量加法的三角形和平行四邊形法則，跳過本質(zhì)分析環(huán)節(jié)，直接進入應(yīng)用階段，致使學(xué)生對向量加法運算出現(xiàn)了“一知半解”的現(xiàn)象［1］. 為了改善這一狀況，筆者基于“理解數(shù)學(xué)”的理念，對這部分內(nèi)容的教學(xué)進行了深入的探討和分析.

教學(xué)構(gòu)想

教材是教學(xué)的基本載體，教材中的知識只是靜止的“半成品”，教師在課堂上挖掘教材的教學(xué)功能，通過重組等方式揭露數(shù)學(xué)思想是理解數(shù)學(xué)的根本. 因此，課堂教學(xué)的首要任務(wù)就是通過觀察與分析教材中的知識內(nèi)容，挖掘其潛在的思想，此為提高教學(xué)效率的關(guān)鍵一步.

1. 概念導(dǎo)入，揭露教學(xué)意義

在建構(gòu)主義理論的指導(dǎo)下，以向量運算的本源作為教學(xué)的起點，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知經(jīng)驗來創(chuàng)設(shè)問題，可喚醒學(xué)生原有的認(rèn)知經(jīng)驗，激活他們的思維，從而讓學(xué)生初步理解向量加法運算的價值與意義.

問題1 在平面幾何領(lǐng)域，三角形中位線定理大家都不陌生. 現(xiàn)在，請大家思考：是否可以從向量的角度來描述三角形中位線定理？

設(shè)計意圖 三角形中位線定理是學(xué)生所熟知的內(nèi)容，向量也是他們已經(jīng)掌握的知識. 要求學(xué)生從向量的角度來描述三角形中位線定理，不僅能幫助學(xué)生復(fù)習(xí)向量、共線向量以及相等向量等概念，還能讓他們感受到數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，為本節(jié)課的向量加法運算教學(xué)打下堅實的基礎(chǔ).

師：關(guān)于三角形中位線定理的證明，以往采取的是什么方法？

生1：坐標(biāo)法與幾何綜合法.

問題2 如圖1所示，既然可以使用向量來描述三角形中位線定理，那么是否可以利用其他向量來揭示與之間的關(guān)系呢？換言之，能否通過向量運算來證明這個定理？

設(shè)計意圖 此為一個典型的問題，旨在引導(dǎo)學(xué)生得出肯定的結(jié)論. 它鼓勵學(xué)生主動思考，認(rèn)識到自己在認(rèn)知上的不足，并感受到學(xué)習(xí)向量加法運算的必要性. 有專家指出，如果沒有運算，那么向量只是一個“路標(biāo)”. 因為有了運算，向量的力量無限. 想要理解這句話中的“力量”一詞，就要深入探索向量的運算. 問題2引導(dǎo)學(xué)生的思維自然而然地進入了向量運算的領(lǐng)域，激發(fā)了學(xué)生利用向量解決幾何問題的初步想法，并成功揭示了向量加法運算的教學(xué)意義與實際應(yīng)用價值.

2. 建構(gòu)概念，暴露運算本質(zhì)

問題3 已知冰箱內(nèi)有3個蘋果，若往里面再放2個蘋果，冰箱內(nèi)共有幾個蘋果？可否從這個實例出發(fā)，說一說“2+3=5”所蘊含的運算規(guī)則是什么？

設(shè)計意圖 對高中生提出這么簡單的一個生活問題，令學(xué)生感到詫異，甚至有學(xué)生直接笑場，認(rèn)為老師怎么會提出這么幼稚的問題. 然而，此問的核心在于揭示“2+3=5”所蘊含的運算規(guī)則，顯然這是一個包含深刻道理的小問題. 數(shù)字加法的本質(zhì)是求兩個數(shù)的和，唯有屬性相同的數(shù)量關(guān)系才具備累加的條件. 在這個問題中，3個蘋果與2個蘋果具備相同的屬性，因此它們可以直接相加. 將這一特性類比遷移到向量的加法運算中，我們不禁要問：是否只有滿足特定條件的向量才可以相加呢？

師：向量的本質(zhì)特征是什么？

生（眾）：既有方向，又有大小.

問題4 結(jié)合向量的本質(zhì)特征思考：滿足什么條件的兩個向量具有相加的可能？向量相加時，應(yīng)遵循什么規(guī)則？

設(shè)計意圖 通過提問激發(fā)學(xué)生對向量本質(zhì)特征的回憶，并提示學(xué)生：向量加法與向量的方向和大小密切相關(guān). 問題4的提出旨在激發(fā)學(xué)生自主思考，引導(dǎo)他們從向量的幾何表示角度展開分析. 顯然，將兩個有方向的線段進行疊加，受方向的限制，與單純數(shù)字的累加有所區(qū)別. 俗話說“不憤不悱，不啟不發(fā)”，問題4成功激發(fā)了學(xué)生的思考和疑惑，使他們明確向量加法與數(shù)字加法不完全相同，向量加法運算必然有一套獨特的規(guī)則，這為揭示向量加法運算的本質(zhì)奠定了基礎(chǔ).

問題5 假設(shè)向量a，b是同向向量，它們相加會怎樣？如果向量a，b為相反向量，那么它們相加又會怎樣？設(shè)嘗試分析以上兩個問題，思考向量相加的基本規(guī)則，并提煉相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

問題6 兩個不共線的向量相加，遵循什么樣的規(guī)則？從物理學(xué)的視角來看，位移合成是指一個物體從點A經(jīng)過點B到達(dá)點C，即經(jīng)過兩次位移抵達(dá)目的地. 這個過程的結(jié)果與物體從點A直接位移■抵到目的地是相同的. 即便點A，B，C并不一定位于同一直線上，仍然存在這個式子. 那么，該式是否在所有情況下都成立呢？

設(shè)計意圖 跨學(xué)科教學(xué)是新課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)教育提出的要求，它強調(diào)將不同學(xué)科的知識融合在一起. 雖然向量與位移之間存在著顯著的相似性，但如果教師僅僅告訴學(xué)生物理運動合成與向量加法法則之間的聯(lián)系，學(xué)生可能無法真正理解數(shù)學(xué)的深層含義. 相反，從數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)向量加法運算的過程入手，通過“再創(chuàng)造”教學(xué)內(nèi)容，可以激發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣主動探索，從而更深入地理解向量加法運算的本質(zhì).

3. 剖析概念，研究運算定律

問題7 兩個向量相加的規(guī)則大家已經(jīng)有所了解，現(xiàn)在我們一起來思考：在同一平面內(nèi)，多個向量相加，該怎么處理呢？

設(shè)計意圖 數(shù)字相加是將多個數(shù)累加在一起形成一個總和，其累加過程遵循交換律與結(jié)合律. 本節(jié)課探索的是一個平面內(nèi)的向量相加，同為加法運算，因此可以從加法運算規(guī)律的角度進行分析，即在同一平面內(nèi)，多個向量相加的本質(zhì)是將這些向量相加轉(zhuǎn)化為兩個向量相加（見圖2）. 在向量相加的過程中，無論采用哪種結(jié)合方式，結(jié)論都是一樣的. 據(jù)此，可以推斷出向量加法運算同樣遵循交換律與結(jié)合律，即（a+b）+c=a+（b+c）.

4. 概念應(yīng)用，解決實際問題

例1 現(xiàn)在深入探討如何使用向量加法來證明三角形中位線定理.

例2 如圖3所示，此為一個輪渡口，渡船從點A處出發(fā)，正常以5 km/h的速度垂直駛向?qū)Π兜狞cD處，明確水的流速為向東2 km/h.

（1）用向量分別表示水流速度、渡船的航行速度以及渡船實際航行的速度.

（2）渡船實際航行的速度與方向分別是什么？

設(shè)計意圖 這兩個例題旨在加深學(xué)生對向量加法的理解，并體驗向量加法在解決幾何問題和實際問題時的便捷性. 尤其是例2的應(yīng)用，讓學(xué)生對向量及其加法的實際應(yīng)用價值有了更深入的認(rèn)識，進一步感知數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系.

5. 深化概念，提煉思想方法

問題8 為什么在同一平面內(nèi)不共線的多個向量相加，最終可以轉(zhuǎn)化為兩個向量相加呢？由什么原理可以作解釋呢？

設(shè)計意圖 學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展遵循由淺入深的規(guī)律，那么數(shù)學(xué)教學(xué)同樣遵循由易到難、逐層遞進的規(guī)則. 雖然學(xué)生在該階段尚未接觸線性相關(guān)的內(nèi)容，但向量的加法運算中卻蘊含了這種思想. 教師在課堂上適時地進行引導(dǎo)和滲透，能夠激活學(xué)生的思維，為后續(xù)教學(xué)夯實基礎(chǔ). 調(diào)查顯示，許多大學(xué)生將向量組的線性相關(guān)性視為學(xué)習(xí)上的一個難點. 因此，在本節(jié)課中適當(dāng)引入與之相關(guān)的思想方法，可為學(xué)生未來學(xué)習(xí)n維向量組的線性關(guān)系做好準(zhǔn)備. 需要注意的是，在此環(huán)節(jié)不必使用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)術(shù)語，而可以應(yīng)用易于理解的數(shù)學(xué)語言進行解釋，引導(dǎo)學(xué)生感知向量加法的內(nèi)涵.

由共線向量相加可知，共線向量具有相互表示的特性，而這一特性在不共線向量中是不存在的，這也是不共線向量無法位于同一直線上的原因. 綜上探索，下節(jié)課可以引導(dǎo)學(xué)生自主將向量加法運算推廣到向量數(shù)乘運算，讓學(xué)生在“理解數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上實現(xiàn)知識與研究方法的遷移.

思考與感悟

1. 研究向量加法產(chǎn)生的原因是理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

用代數(shù)法研究幾何問題是向量加法運算產(chǎn)生的基礎(chǔ). 笛卡爾發(fā)明的坐標(biāo)系，為人類探索幾何問題提供了服務(wù)，但萊布尼茨認(rèn)為，“盡管笛卡爾的坐標(biāo)系統(tǒng)將幾何量轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法的分析，但不是幾何量之間的直接運算，有時是復(fù)雜的. 這種把代數(shù)用于幾何是一個正確的方法，但不是最好的.”［2］在萊布尼茨思想的影響下，莫比烏斯與格拉斯曼研究了有向線段的加法運算. 他們認(rèn)為，如果把AB視為BA的相反量，只要能確定點A，B，C均處于同一條直線上，那么AB+BC=AC恒成立. 經(jīng)過大量實踐驗證，他們發(fā)現(xiàn)在點A，B，C不處于同一條線上的情況下，該式依然成立. 這一發(fā)現(xiàn)被稱為向量加法的三角形法則，即

一旦學(xué)生對向量加法的成因有了清晰的理解，他們便會對這一運算產(chǎn)生積極的情感反應(yīng). 此外，對成因的深入分析還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，為新知的探索打下堅實的基礎(chǔ). 在本節(jié)課中，教師在引導(dǎo)學(xué)生正式探索向量加法運算之前，已經(jīng)與學(xué)生一起探討了向量加法運算的形成過程. 這樣做讓學(xué)生在積極主動的狀態(tài)下接受并深入研究新知，為構(gòu)建完整的知識體系打下了基礎(chǔ).

2. 關(guān)注向量加法運算的本質(zhì)是理解數(shù)學(xué)的核心

本節(jié)課的主題是向量加法運算，既然是運算，必然涉及運算法則. 那么，向量加法的運算法則是什么呢？帶著這個問題去學(xué)習(xí)和探索，首先需要了解向量加法運算的本質(zhì)，這是理解向量加法的運算法則的關(guān)鍵. 在加法運算中，“+”符號代表的是一種運算方式，而其背后所隱藏的規(guī)則才是我們應(yīng)當(dāng)深入探究的核心.

向量除了具有與數(shù)相同的大小屬性外，還具有方向這一關(guān)鍵屬性，因此向量的加法與數(shù)的加法有所不同. 相同或相反方向的向量可以在一條直線上進行研究（見圖4），反方向的向量大小可以通過負(fù)值來表示. 在這種情況下，向量的加法運算與數(shù)的加法運算基本一致，即相加后不再保留各自原有的特性，相加的結(jié)果是一個新的向量.

如果兩個向量不是共線的，那么它們相加的結(jié)果本質(zhì)上是這兩個向量的合成，意味著原本參與相加的兩個向量的大小和方向保持不變（見圖5）.

向量加法運算的深入探討，可促使學(xué)生從真正意義上理解向量加法運算的本質(zhì)，達(dá)到理解數(shù)學(xué)的目的.

總之，基于“理解數(shù)學(xué)”的課堂教學(xué)是一個值得深入探索與研究的話題，尤其是在新課標(biāo)的背景下，想要讓核心素養(yǎng)落地生根，就要在理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上設(shè)計教學(xué)方案，實施教學(xué)，此為促進學(xué)生長期可持續(xù)發(fā)展的重要舉措.

參考文獻：

［1］ 呂松濤. 平面向量加法運算的本質(zhì)及教學(xué)思考［J］. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（9）：43-47.

［2］ 呂松濤. 基于問題驅(qū)動的高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)研究［D］. 廣州大學(xué)，2021.