［摘" 要］ 在解決向量問題時，構(gòu)建隱圓模型同樣適用. 在探究該知識點時，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生把握構(gòu)建模型的核心邏輯，基于幾何圓的性質(zhì)定理來構(gòu)建向量隱圓模型，并通過具體實例強化學(xué)生的應(yīng)用能力，使學(xué)生從本質(zhì)上理解向量隱圓模型.

［關(guān)鍵詞］ 向量；隱圓模型；圓的特性

探究綜述

在初中階段，學(xué)生整合探究了幾何與曲線中的隱圓，對隱圓模型有了一定的了解. 在高中階段，向量知識將代數(shù)的運算性質(zhì)和圖形的直觀感知進行了融合，參照幾何與曲線中的隱圓，向量中必然也含有隱圓模型. 若能總結(jié)向量隱圓模型的構(gòu)建原理，確定動點的軌跡，并直觀感知向量的變化趨勢，則能高效解決問題.

向量隱圓模型的構(gòu)建，關(guān)鍵點是處理與向量條件相關(guān)的動點與定點. 在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握其核心邏輯，可總結(jié)為十二個字：以定找動，以量限動，以動構(gòu)圓. 具體內(nèi)容如下：

以定找動——運動是相對的，探尋動點的前提為先給動點找到一個不動的參照點；

以量限動——動點的運動是受題干的等量或不等關(guān)系限制的，正是這種限制使得動點有“跡”可循，問題目標存在最值；

以動構(gòu)圓——在正式構(gòu)建圓形時，要以動點為目標，圍繞限制條件進行構(gòu)建.

模型探究

基于上述構(gòu)建隱圓的核心邏輯，向量隱圓模型的構(gòu)建可以從多個角度展開. 構(gòu)建過程涉及整合處理向量關(guān)系，筆者建議教師進行歸納總結(jié)，逐一呈現(xiàn)，并結(jié)合實例進行指導(dǎo)以深化學(xué)生的理解.

模型一：模長定值構(gòu)“隱圓”

根據(jù)幾何圓的特性知識可知，圓上任意一點到圓心的距離相等，即半徑相等. 從向量視角來看，則為模長相等，因此可以利用模長來構(gòu)建隱圓模型. 在教學(xué)中，建議設(shè)定模型條件，指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建過程，揭示隱圓中的向量性質(zhì).

方法總結(jié) 基于模長構(gòu)建隱圓模型，其核心在于提取“模長定值”這一關(guān)鍵條件. 構(gòu)建過程分兩步：①根據(jù)題設(shè)條件確立動點和定點，以定點為圓心構(gòu)建平面直角坐標系；②確定動點的軌跡圓，推導(dǎo)相關(guān)點的坐標，求解問題.

模型二：定邊定角構(gòu)“隱圓”

幾何中可以利用定邊定角來構(gòu)建隱圓，若轉(zhuǎn)換到向量問題中，則可以指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建外接圓模型：若兩個或三個向量可以構(gòu)造出一個三角形，且給出了一邊一對角的條件，則可以考慮構(gòu)造外接圓模型.

方法總結(jié) 根據(jù)定邊定角構(gòu)建隱圓，其核心條件是a±b和〈a，b〉均為定值. 在實際情形中，這兩個向量條件不會直接給出，因此需要學(xué)生進行靈活的向量運算，逐一推導(dǎo). 在構(gòu)建模型時，需要注意兩點：①明確定邊以及相對應(yīng)的定角；②根據(jù)向量條件推導(dǎo)出幾何角，并明確哪些點共圓.

模型三：對角互補構(gòu)“隱圓”

根據(jù)圓的特性可知，圓內(nèi)接四邊形的對角互補. 反之，若某四邊形的對角和為180°，則該四邊形的四個頂點共圓. 這是從幾何角度出發(fā)構(gòu)建隱圓的思路. 而從向量的角度進行分析，只需三個向量，選取一個共同起點，再加上三個終點，便能構(gòu)成一個四邊形. 若該四邊形滿足上述條件，便能構(gòu)造出一個隱圓模型.

方法總結(jié) 根據(jù)對角互補構(gòu)建隱圓，其核心是基于題設(shè)條件推導(dǎo)兩個對角為互補關(guān)系. 構(gòu)建過程分兩步：①根據(jù)題設(shè)的三個向量來構(gòu)建四邊形；②在向量條件的計算推導(dǎo)中，提取對角互補的關(guān)系，以確定“四點共圓”，即四邊形的四個頂點位于同一個圓上.

模型四：構(gòu)建比例圓

方法總結(jié) 構(gòu)建比例圓的關(guān)鍵在于線段的比例關(guān)系，而在向量問題中則體現(xiàn)為向量模的比例關(guān)系. 在應(yīng)用過程中，需要遵循兩個步驟：①建立坐標系并構(gòu)建向量；②依據(jù)向量模的比例關(guān)系構(gòu)建隱圓模型，以確定動點的軌跡. 在構(gòu)建隱圓時，應(yīng)專注于動點的軌跡，排除與位置無關(guān)的因素.

教學(xué)反思

上文探究了向量問題中的四種隱圓模型，整合了這些模型的基礎(chǔ)原理和構(gòu)建過程，并結(jié)合實例進行了指導(dǎo)強化.如果學(xué)生掌握了這四種隱圓模型，那么就能夠有效提升解題能力. 接下來，筆者結(jié)合教學(xué)實踐，提出三點建議.

建議一：模型構(gòu)建立足幾何圓的特性

在初中階段，學(xué)生已經(jīng)掌握了構(gòu)建幾何隱圓模型的方法和技巧，具備一定的知識基礎(chǔ). 在構(gòu)建向量隱圓模型的過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生立足幾何圓的特性，圍繞圓的知識定理進行向量轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)自然過渡，幫助學(xué)生深入理解；應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從圓的定理和性質(zhì)入手，探索向量轉(zhuǎn)化的思路，從而完成向量隱圓的構(gòu)建.

建議二：模型構(gòu)建融合數(shù)形結(jié)合方法

向量隱圓模型同樣具有“代數(shù)”與“幾何”的雙重特性. 在構(gòu)建向量隱圓模型的過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方法，從向量條件入手，構(gòu)建直觀圖形，并結(jié)合圖形來解讀向量條件，從而充分掌握向量隱圓模型. 在教學(xué)中，需注意兩點：①注意模型構(gòu)建的過程講解，充分解析向量條件，構(gòu)建與幾何特性的關(guān)聯(lián)；②在繪制圖形時，指導(dǎo)學(xué)生思考建立坐標系的思路.

建議三：應(yīng)用強化關(guān)注思路引導(dǎo)

模型應(yīng)用的強化有助于學(xué)生深入理解，在該教學(xué)階段中，教師應(yīng)專注于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并指導(dǎo)他們構(gòu)建解題思路. 具體分為三個環(huán)節(jié)：首先是題設(shè)分析和思路引導(dǎo)；其次是過程構(gòu)建和模型構(gòu)建；最后是解后反思和方法總結(jié). 學(xué)生從“解題分析”過渡到“過程構(gòu)建”，并進行“反思總結(jié)”，有助于充分掌握向量隱圓問題的基本解決方法.

寫在最后

在探究向量隱圓模型的過程中，教師需要精通初中與高中數(shù)學(xué)知識的銜接點，從而引導(dǎo)學(xué)生從幾何圓的基本性質(zhì)和定理出發(fā)，深入探索向量隱圓模型. 整個教學(xué)過程應(yīng)立足方法和原理，整合向量條件，使學(xué)生能從本質(zhì)上理解向量隱圓模型.