［摘" 要］ “斜率和積+韋達(dá)定理”在圓錐曲線(xiàn)綜合性問(wèn)題中的應(yīng)用極為廣泛，其有利于學(xué)生構(gòu)建解題思路. 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)開(kāi)展解題指導(dǎo)，幫助學(xué)生在分析實(shí)例的基礎(chǔ)上，掌握應(yīng)用技巧，以解決具體問(wèn)題.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線(xiàn)；斜率和積；韋達(dá)定理；整體代換

探究綜述

圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考探究的重點(diǎn)，涉及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交叉綜合，其基本求解步驟為：聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，進(jìn)而整合并構(gòu)建參數(shù)方程. 在問(wèn)題轉(zhuǎn)化構(gòu)建中，斜率公式和韋達(dá)定理的應(yīng)用十分廣泛，也常用于條件的整合，便于后續(xù)的整體代入. 靈活運(yùn)用這個(gè)求解思路，可以降低解題難度，提高解題效率.

對(duì)于一些復(fù)雜的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題，可以通過(guò)綜合斜率公式和韋達(dá)定理來(lái)構(gòu)建代數(shù)式條件. 這種綜合方法的常用形式為“斜率和積+韋達(dá)定理”，它在處理與斜率相關(guān)的問(wèn)題時(shí)尤為有用，例如直線(xiàn)斜率和的定值問(wèn)題、直線(xiàn)斜率積的定值問(wèn)題，以及與斜率相關(guān)的其他運(yùn)算等. 在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師可以將“斜率和積+韋達(dá)定理”這一方法整合成模型公式，并通過(guò)具體問(wèn)題的解決來(lái)幫助學(xué)生加深理解和應(yīng)用.

教學(xué)推導(dǎo)

在講授“斜率和積+韋達(dá)定理”的應(yīng)用時(shí)，教師需要結(jié)合圓錐曲線(xiàn)的常見(jiàn)問(wèn)題，抓住其核心特征，從一般條件出發(fā)，構(gòu)建解題思路. 與斜率相關(guān)的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中，最常見(jiàn)的是斜率和或積的構(gòu)造，其主要特征是“一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)”. 另外，定點(diǎn)可能在坐標(biāo)軸上或在一般位置上. 下面以定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上這種情形來(lái)推導(dǎo)并整合“斜率和積+韋達(dá)定理”這個(gè)方法.

應(yīng)用指導(dǎo)

完成整合推導(dǎo)后，教師圍繞“斜率和積+韋達(dá)定理”的三種情形精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用推導(dǎo)出來(lái)的方法求解.

1. 斜率之和的探究

解后反思 上述問(wèn)題是關(guān)于斜率之和的探究題，其解析的關(guān)鍵在于“斜率之和”與“韋達(dá)定理”的整合. 在解題時(shí)，需要注意兩個(gè)要點(diǎn)：一是斜率公式的應(yīng)用；二是結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行整體代換. 在求解過(guò)程中，學(xué)生必須化簡(jiǎn)復(fù)雜的代數(shù)式，并從整體視角審視問(wèn)題，以提取其中的共性代數(shù)式.

2. 斜率之積的探究

解后反思 上述問(wèn)題是關(guān)于斜率之積與直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的探究題，破解難度較高，其解析的關(guān)鍵在于“斜率之積”與“韋達(dá)定理”的整合. 求解此題，需要合理設(shè)定直線(xiàn)方程，接著分析直線(xiàn)的斜率，然后進(jìn)行整體代換，最后討論所得的解是否合理. 對(duì)于直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，其基本求解思路為整理變形，論證直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)與直線(xiàn)方程中的參數(shù)無(wú)關(guān).

3. 與斜率運(yùn)算的探究

解后反思 在解決與斜率相關(guān)的運(yùn)算式求值問(wèn)題時(shí)，同樣運(yùn)用了韋達(dá)定理和整體代換的方法. 這類(lèi)問(wèn)題對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力提出了較高的要求，學(xué)生需要全面把握代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，并恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用整體代換的技巧.

寫(xiě)在最后

“斜率和積+韋達(dá)定理”在圓錐曲線(xiàn)綜合性問(wèn)題中的應(yīng)用極為廣泛. 對(duì)“斜率和積”進(jìn)行整合與變形，結(jié)合韋達(dá)定理，采用整體代換的方法，可以顯著提升數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決效率. 在教學(xué)中，筆者建議遵循以下思路指導(dǎo)流程：梳理問(wèn)題→提取條件→繪制圖形→整合變形→整體代換→推導(dǎo)破解. 即先從問(wèn)題條件入手，構(gòu)建直觀圖形，再根據(jù)“斜率和積”與“韋達(dá)定理”的整合來(lái)構(gòu)建解題思路.

該類(lèi)問(wèn)題的解析特點(diǎn)極為鮮明，教師可以指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建解題模版，并按照合理的思路流程進(jìn)行分析和推理. 教師可將解題過(guò)程分為四步：①解析問(wèn)題，繪制圖形；②設(shè)定條件，聯(lián)立并整合方程；③“斜率和積+韋達(dá)定理”的整合轉(zhuǎn)化；④簡(jiǎn)化算式，論證推理.

此外，鑒于圓錐曲線(xiàn)對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力的要求較高，教師需注意簡(jiǎn)算技巧的講解，例如常用的設(shè)而不求、整體代換、對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化等. 引導(dǎo)學(xué)生從整體視角審視問(wèn)題，注重解析過(guò)程中的細(xì)節(jié)，采用“先分析，后決策”的思路進(jìn)行求解，從而提升學(xué)生的運(yùn)算能力和解決問(wèn)題的效率.