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        關(guān)于“非主流”對稱性的應(yīng)用探究教學

        2025-04-30 00:00:00張宇
        數(shù)學教學通訊·高中版 2025年3期
        關(guān)鍵詞:范圍不等式對稱性

        [摘" 要] “非主流”對稱性在函數(shù)問題中十分常見,教學中需要設(shè)置探究專題,指導學生利用對稱性解析問題,構(gòu)建解題思路. 研究者結(jié)合實例開展“非主流”對稱性的應(yīng)用探究教學,并提出相應(yīng)的教學建議,以期能為復習教學和備考提供幫助.

        [關(guān)鍵詞] 對稱性;應(yīng)用;函數(shù);零點;不等式;范圍

        對稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一. 在教學中,教師通常會以奇偶性為切入點,隨后通過實例加深學生對對稱性、周期性和單調(diào)性的綜合理解. 這一過程往往注重求值問題的探討,而忽視與其他知識的整合. 在復習備考階段,建議從知識整合的角度出發(fā),引導學生探索一些“非主流”的對稱性應(yīng)用,并總結(jié)出相應(yīng)的解題方法和技巧.

        應(yīng)用探究,過程指導

        “非主流”對稱性的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛,建議圍繞以下四個模塊開展教學探究:函數(shù)零點的對稱分布、構(gòu)造具有對稱性的函數(shù)、利用函數(shù)的對稱性解析不等式、結(jié)合函數(shù)的對稱性推導參數(shù)的取值范圍. 在教學過程中,應(yīng)梳理知識內(nèi)容、解析思路,并結(jié)合實例進行應(yīng)用指導.

        應(yīng)用探究一:函數(shù)零點的對稱分布

        在解決具有對稱性的函數(shù)零點問題時,可以應(yīng)用函數(shù)零點的對稱分布來簡化解題思路. 解析問題可以分為兩步:首先,明確函數(shù)的性質(zhì),例如周期性、對稱性等;其次,繪制函數(shù)圖象,結(jié)合圖象解決問題[1]79.

        解后總結(jié) 通過函數(shù)零點的對稱分布可以簡捷地繪制圖象. 在教學指導時,需關(guān)注兩個關(guān)鍵點:一是指導學生歸納總結(jié)常見函數(shù)的對稱形式,并推導出數(shù)式關(guān)系;二是構(gòu)建對稱分布求解策略,形成分步思路:對稱探索→繪制圖象→應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求值.

        應(yīng)用探究二:構(gòu)造具有對稱性的函數(shù)

        構(gòu)造具有對稱性的函數(shù)的具體思路為:若目標函數(shù)自身不具有對稱性,可以通過變形和轉(zhuǎn)化的方法,構(gòu)造一個具有對稱性的函數(shù),進而利用函數(shù)的對稱性來分析和求解問題. 另外,對于題目中關(guān)于點或線成對稱關(guān)系的兩個函數(shù),可以從整體上將其視為具有對稱性的函數(shù),從宏觀角度探究其性質(zhì)[1]80.

        解后總結(jié) 該問題的解決方法主要利用了函數(shù)的對稱性質(zhì),將兩點間距離的最小值問題轉(zhuǎn)化為點到直線距離的最小值問題,這本質(zhì)上是對導數(shù)幾何意義的應(yīng)用. “構(gòu)造具有對稱性的函數(shù)”這一技巧,具體使用時蘊含著兩層深意:一是通過變形轉(zhuǎn)化,構(gòu)造具有對稱性的函數(shù);二是從整體上審視函數(shù),把握其對稱性.

        應(yīng)用探究三:利用函數(shù)的對稱性解析不等式

        利用“非主流”對稱性還可以解析不等式問題,常見于復合函數(shù)問題中. 在具體求解時,建議采用函數(shù)構(gòu)造技巧,以簡化函數(shù)結(jié)構(gòu);利用導數(shù)知識分析并明確函數(shù)的性質(zhì),特別注意函數(shù)的對稱性,并結(jié)合這些性質(zhì)來解析不等式.

        例3 設(shè)函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù)為f′(x),若f′(x)gt;f(x)+1,f′(x)=f′(6-x),f(3)=1,f(6)=5,則不等式f(lnx)+2x+1lt;0的解集為______.

        思路引導 該問題給定了與函數(shù)相關(guān)的關(guān)系式,涉及原函數(shù)f(x)和導函數(shù)f′(x). 探求與函數(shù)相關(guān)的不等式的解集,屬于函數(shù)不等式問題的范疇. 解析該題的核心在于掌握函數(shù)與導數(shù)的性質(zhì). 針對這類問題,建議先構(gòu)造函數(shù),再利用函數(shù)的對稱性來解決.

        解后總結(jié) 上述解析過程被細分為三個階段:首先,通過構(gòu)造函數(shù)來簡化問題;其次,分析函數(shù)的性質(zhì)以揭示其對稱性;最后,利用函數(shù)的對稱性來轉(zhuǎn)化不等式并推導出解集. 整個過程涉及了導函數(shù)f′(x)的軸對稱特性和原函數(shù)f(x)的中心對稱特性. 在教學指導中,應(yīng)注重引導學生發(fā)現(xiàn)對稱關(guān)系,并在必要時通過圖象輔助解釋.

        應(yīng)用探究四:結(jié)合函數(shù)的對稱性推導參數(shù)的取值范圍

        在函數(shù)與導數(shù)的問題時,可以利用函數(shù)的對稱性來探討參數(shù)的取值范圍. 在通常情況下,題目會給出函數(shù)對稱性的條件,求解參數(shù)的取值范圍. 此時,可以從存在性的角度進行分析,即假設(shè)函數(shù)對稱性成立,然后推導出參數(shù)的取值范圍. 對于復合函數(shù)的問題,則可以通過構(gòu)造兩個函數(shù)在同一定義域下的交點進行求解.

        解后總結(jié) 利用函數(shù)的對稱性推導出參數(shù)a的取值范圍,整個求解過程的關(guān)鍵點有兩個:一是分析函數(shù)的性質(zhì),將原問題等價轉(zhuǎn)換為交點問題;二是采用數(shù)形結(jié)合的方法,分類討論兩種情況,反向推導出參數(shù)a的取值范圍. 在實際教學中,教師可從存在性視角逐步剖析并講解這類問題的解決策略.

        教學反思,學習建議

        1. 知識總結(jié),方法歸納

        對稱性是函數(shù)的特殊性質(zhì),是研究函數(shù)周期變化的重要內(nèi)容. 教材中僅呈現(xiàn)了部分常見函數(shù)的對稱性,相對較為簡單. 然而,實際考查涉及許多特殊的、非主流的對稱函數(shù). 因此,教學中教師應(yīng)引導學生關(guān)注對稱函數(shù)的關(guān)系式,并總結(jié)探究方法與解析策略. 可以一些常見的“非主流”對稱性函數(shù)為例,指導學生剖析函數(shù)的對稱性,結(jié)合圖象進行直觀理解[2].

        2. 應(yīng)用探究,思路引導

        “非主流”對稱性函數(shù)種類繁多,在解題過程中具有廣泛的應(yīng)用. 在教學中,建議結(jié)合實例指導學生進行探究,強化思路引導,讓學生感悟方法、積累經(jīng)驗. 本文從“函數(shù)零點的對稱分布”“構(gòu)造具有對稱性的函數(shù)”“利用函數(shù)的對稱性解析不等式”“結(jié)合函數(shù)的對稱性推導參數(shù)的取值范圍”四個維度,深入探討了函數(shù)對稱性的應(yīng)用. 在教學實踐中,教師可以借鑒”問題設(shè)定→思路引導→過程指導→解后總結(jié)“的流程來完成教學.

        3. 拓展探究,知識升華

        在“非主流”對稱性的應(yīng)用探究教學中,還應(yīng)當注意合理拓展、升華知識. 在上述圍繞四個知識模塊開展的應(yīng)用探究中,還可以將這些知識拓展到方程、模型等領(lǐng)域,引導學生深入探究. 拓展教學需要注意三點:一是多方面拓展升華,包括知識點、思維方法、轉(zhuǎn)化策略;二是適度拓展,注意合理性,難度不宜過大;三是注意結(jié)合實例,幫助學生鞏固知識[3].

        4. 思想滲透,素養(yǎng)提升

        上述對函數(shù)對稱性的研究探討,涉及了思想方法的靈活運用. 例如,結(jié)合構(gòu)造思想構(gòu)建函數(shù),利用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)換問題,以及通過數(shù)形結(jié)合與分類討論來直觀分析各種問題情境. 在教學中,建議教師合理滲透數(shù)學思想方法,引導學生探索構(gòu)建過程,讓學生逐步領(lǐng)悟、深刻體會數(shù)學思想方法的內(nèi)涵,掌握其精髓,從而提升數(shù)學素養(yǎng).

        寫在最后

        對于“非主流”對稱性的應(yīng)用探究教學,需要結(jié)合實例進行分析和指導,讓學生深刻感知函數(shù)對稱性的應(yīng)用,總結(jié)解題方法和經(jīng)驗,從而提高解題能力. 在引導過程中,需要注意兩點:一是合理結(jié)合圖象,使學生能夠直觀感知知識;二是合理滲透數(shù)學思想,從思想層面上提高學生的解題能力.

        參考文獻:

        [1] 袁濤,陸婭君,張和平. 探求函數(shù)對稱性質(zhì),厘清函數(shù)解題思路:由一道高考題引發(fā)的“函數(shù)對稱性問題”的思考[J]. 數(shù)學教學通訊,2023(6):78-80

        [2] 唐新陽. 活用數(shù)學教材,挖掘習題特質(zhì):以一道課本習題探究一類指數(shù)型分式函數(shù)的對稱中心[J]. 中學數(shù)學,2023(1):25-26+48

        [3] 高翔. 對稱問題的解題策略示例[J]. 中學數(shù)學教學參考,2023(27):33-34.

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