［摘" 要］ 同構法是優(yōu)化解題思路的一種有效方法. 研究者從代數結構同構、幾何特征同構、算法算理同構以及幾何特征同構與代數結構同構相互轉化的視角，淺析如何優(yōu)化算法，以提高學生的數學思維能力與數學運算素養(yǎng).

［關鍵詞］ 同構思維；解題思路；優(yōu)化；運算素養(yǎng)

問題提出

“三新”背景下的高考試題，對學生的計算能力和思維能力提出了較高的要求. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：通過高中數學課程的學習，學生能進一步發(fā)展數學運算能力；通過運算促進數學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神［1］7. 數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養(yǎng). 主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等［1］7.

解題是發(fā)展數學運算素養(yǎng)的重要途徑.著名數學教育家波利亞指出：“掌握數學就是意味著善于解題.”他在《怎樣解題》中提出了解題的四個階段：弄清問題—擬定計劃—實現計劃—回顧反思，為數學解題提供了清晰的路徑［2］.

當學生遇到一些綜合性較強的數學問題時，常常由于題目計算量大、解題過程煩瑣而不能求得結果.在這種情況下，需要從不同的視角重新審視問題，探尋新的解題路徑，以確保問題能夠順利解決. 同構思維正是化煩瑣為簡便的一種數學思維方式.

解法探究

1. 代數結構視角下的同構問題

2. 幾何特征視角下的同構問題

3. 算法算理視角下的同構問題

例3是一道難題，其難點在于學生必須在有限的時間內準確完成計算. 本題需要利用P，Q，R三點的縱坐標來建立方程.在聯立直線l與直線MA的方程求出點P的縱坐標后，觀察到直線MA與直線MB的關系，于是把“a”換成“b”；觀察到直線MA與直線FA的關系，于是把“m”換成“－m”. 通過“算法算理”的同構，輕松獲得Q，R兩點的縱坐標. 圓錐曲線是高考數學的必考知識點，對學生的數學運算能力有較高的要求.“算法算理”的同構應用，是優(yōu)化解題步驟的有效方法.

4. 幾何特征與代數結構相互轉化視角下的同構問題

教法反思

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出：數學高考命題應依據人才選拔要求，發(fā)揮數學高考的選拔功能［1］89. 作為一項選拔性的考試，高考具有一定的區(qū)分度. 其中，運算能力是一個關鍵因素. 學生是否能在限定時間內得出正確答案，在很大程度上取決于他們是否能夠優(yōu)化算法. 培養(yǎng)學生的運算能力，可以從以下三個角度入手.

1. 教師引導

學生從不同的角度優(yōu)化解題思路的意識需要教師在日常教學中進行培養(yǎng). 在數學教學中，教師不僅要教授學生解決問題的通性通法，還要引導學生在應用通性通法時，若發(fā)現過程過于煩瑣，應從不同角度重新審視運算對象，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果. 通過長期的思維訓練，學生將在“潤物細無聲”中形成有序的思維習慣，從而提升數學運算素養(yǎng).

2. 學生探究

學生通過獨立思考、自主學習以及與同學間的合作探究和交流所獲得的方法，才是學生真正需要掌握的方法. 傳統的灌輸式教學“硬塞”給學生的方法，學生往往難以理解，更不用說融會貫通. 因此，教師在課堂上應設計能夠激發(fā)學生探究“優(yōu)化解法”的題目，為學生提供探索“優(yōu)化解法”的機會，鼓勵學生思考、討論、表達，從而提升他們的數學思維能力.

3. 解題反思

反思與總結是自我提升的重要途徑. 在求得運算結果之后，需要對運算思路、運算方法、運算程序進行徹底的回顧，反思能否設計不同的運算程序以改進運算過程，從而找到更為簡捷高效的運算方法. 將反思與總結培養(yǎng)成一種習慣，有助于提高學生的數學素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 波利亞. 怎樣解題［M］. 上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.