摘要：高中概率內(nèi)容幾經(jīng)演變，已形成邏輯性強、體系化的框架內(nèi)容.課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要引導(dǎo)學(xué)生抓住章節(jié)的內(nèi)容主線，從整體上把握課程，聚焦學(xué)生學(xué)習(xí)過程，實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.文章基于單元整體觀視角，剖析了“條件概率”的概念，梳理其在知識體系中的地位，并給出了相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計.

關(guān)鍵詞：單元整體觀；概念教學(xué)；條件概率

1 問題提出

課程標(biāo)準(zhǔn)實施的關(guān)鍵在教師，落地在課堂.教師要轉(zhuǎn)變觀念，基于整體觀視角對教學(xué)內(nèi)容進行設(shè)計和結(jié)構(gòu)化思考，明確各個知識點之間的邏輯聯(lián)系，統(tǒng)籌設(shè)計實施主題、單元教學(xué)、課堂活動；要重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，概念是知識結(jié)構(gòu)的支點，概念教學(xué)中要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性[1].通過教師的導(dǎo)，促使學(xué)生的學(xué)真正發(fā)生，使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)真正落地于數(shù)學(xué)課堂.

條件概率是一個“承上啟下”型的關(guān)鍵概念，并與乘法公式、全概率公式構(gòu)建起了初等概率的邏輯基礎(chǔ)，具有重要地位.在單元整體觀視角下剖析條件概率的概念，梳理其在知識體系中的地位，有助于對知識的整體理解和把握，是落實課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化理念的重要途徑.

2 整體觀視角下的概念教學(xué)

整體觀視角下的概念教學(xué)由概念定位、概念構(gòu)建、概念內(nèi)化、概念整合四個部分組成，如圖1所示.

3 概率的本質(zhì)特點

3.1 概率的章節(jié)結(jié)構(gòu)

高中概率知識由必修與選修性必修兩部分組成，其章節(jié)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示.對比以往版本教材，人教A版教材引入了樣本空間來解釋隨機事件，并就事件之間的關(guān)系與集合建立起關(guān)聯(lián)，形成了概率的基礎(chǔ)運算.條件概率的引入，完善了乘法公式，對必修部分的事件的相互獨立性提供了邏輯支撐，與全概率公式形成了初等概率的運算邏輯.第三部分是隨機變量分布模型與特征數(shù)的求解，其中離散型的超幾何分布與二項分布需依托于對條件概率的深度理解.

3.2 概率的單元理解與教學(xué)建議

在概率章節(jié)的學(xué)習(xí)活動中，要把握數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性，用“問題情景—探究活動—抽象概括—計算應(yīng)用”的發(fā)展過程進行教學(xué)設(shè)計，形成統(tǒng)一性的研究一個數(shù)學(xué)對象的基本框架和路徑.本單元中條件概率的概念建構(gòu)，條件概率公式、全概率公式的推導(dǎo)，概率模型的建立都是從特殊到一般、從具體到抽象，通過歸納而得出.這是數(shù)學(xué)研究中經(jīng)常使用的方法，也是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該遵循的原則[2].

4 “條件概率”的教學(xué)設(shè)計

4.1 概念定位

從知識結(jié)構(gòu)上看，條件概率是基于事件的關(guān)系與運算、古典概型基礎(chǔ)生成的重要概率模型.與事件的獨立性形成邏輯互證關(guān)系，完善了乘法公式，為全概率公式、貝葉斯公式提供了邏輯基礎(chǔ).從學(xué)情角度看，學(xué)生在必修概率部分的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)會了用樣本點與樣本空間進行事件概率的運算，了解了事件的關(guān)系與運算，對事件的獨立性有一定認(rèn)識，這些為建構(gòu)條件概率的概念提供了基礎(chǔ)條件[3].從認(rèn)知角度看，加深對初等概率邏輯基礎(chǔ)的理解，能用其解決較復(fù)雜事件的概率，也能提高學(xué)生對概率的理解水平.

基于以上分析，我們確定如下教學(xué)目標(biāo)：（1）結(jié)合古典概型、事件的關(guān)系與運算，了解條件概率，能計算簡單的條件概率；（2）了解條件概率與獨立性的關(guān)系；（3）理解乘法公式并能用其計算概率.

4.2 概念構(gòu)建

情景1：假設(shè)生男孩和女孩是等可能的，考慮某個家庭有兩個孩子.

思考1：這兩個孩子都是女孩的概率是多少？

思考2：如果有已知1個孩子是女孩，那么兩個孩子都是女孩的概率又是多少？

情景2：拋擲一顆骰子，樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}，事件A={1，2，4}，B={1，2，4，5，6}

思考1：事件A發(fā)生的概率是多少？

思考2：在B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率又是多少？

師生活動：基于生活經(jīng)驗，感知有無條件對概率計算的影響；基于概率運算基礎(chǔ)，準(zhǔn)確求出問題的概率值，通過歸納共性，實現(xiàn)由具體到一般的抽象過程.

總結(jié)：在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率P（B|A）=n（AB）n（A）.

問題1情景2中，計算出P（A），P（B），P（AB），觀察它們與P（B|A）的關(guān)系.

問題2能否證明P（B|A）=P（AB）P（A）（P（A）gt;0）？

學(xué)生活動：P（B|A）=n（AB）n（A）=n（AB）n（Ω）n（A）n（Ω）=P（AB）P（A）.

抽象概念，概括與表達得到條件概率的定義：

一般地，設(shè)A，B為兩個隨機事件，且P（A）gt;0，則稱P（B|A）=P（AB）P（A）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

教學(xué)說明：通過典型實例，幫助學(xué)生理解概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).采用“問題情景—探究活動—抽象概括—邏輯驗證”的方式，用樣本空間與樣本點統(tǒng)計的手段，分別計算出情景1與情景2中的條件概率，在運算中讓學(xué)生體驗“條件影響—樣本空間的縮小”，采用直觀歸納的方式建立條件概率的定義與計算公式.

4.3 概念內(nèi)化

（1）概念辨析

例1一個盒子中裝有5只產(chǎn)品，其中4只一等品、1只二等品.從中抽取產(chǎn)品兩次，每次任取一只，不放回抽樣.設(shè)“第一次取到一等品”為事件A，“第二次取到一等品”為事件B，求P（B|A）.

為了方便構(gòu)建樣本空間，我們設(shè)a，b，c，d為一等品，1為二等品.

生1：通過統(tǒng)計Ω，n（A），n（AB），易求得

P（B|A）=n（AB）n（A）=34.

生2：易求得P（A）=45，P（AB）=A14A13A15A14=35，根據(jù)公式P（B|A）=P（AB）P（A），得P（B|A）=34.

生3：第一次抽取到一等品后，盒子中僅有4只產(chǎn)品，即3只一等品，1只二等品.此時把第二次抽取事件作為“單獨”事件，Ω={a，b，c，1}，第二次取到一等品的概率P（B|A）=34.

教學(xué)說明：在實際情境中解決條件概率問題，讓學(xué)生熟悉條件概率的一般求法，以便進一步理解概念.其中生1指向古典概率的基本求法，能進一步感受對縮小樣本空間的理解，缺點是樣本數(shù)據(jù)大的時候，比較繁瑣；生2指向公式法，在大樣本數(shù)據(jù)中，可利用計數(shù)原理實現(xiàn)便捷性；生3利用直接求解法，假設(shè)條件發(fā)生，根據(jù)生活經(jīng)驗，形成新樣本空間（其本質(zhì)也是縮小樣本空間），可直接利用古典概型計算，這也是全概率公式與超幾何分布中概率運算的基本求法.

（2）概念完善

變式把“每次任取一只，不放回抽樣”改為“每次任取一只，放回抽樣”，求P（B|A），并觀察它與P（A），P（B），P（AB）的關(guān)系.你能得到什么結(jié)論？

師生活動：從條件概率視角易求得P（A）=45，P（AB）=1625，所以P（B|A）=45，發(fā)現(xiàn)P（B|A）=P（B）；從獨立性角度來理解，B事件發(fā)生與A事件無關(guān)，A，B相互獨立，所以P（B|A）=P（B）=45；從邏輯層面分析，因為A，B相互獨立，所以P（AB）=P（A）P（B），故P（B|A）=P（AB）P（A）=P（A）P（B）P（A）=P（B）=45.

（3）概念打磨

思考我們知道在A，B相互獨立的條件下，有P（AB）=P（A）P（B），那去掉相互獨立的條件，如何計算P（AB）呢？你能理解這兩種情景下的關(guān)聯(lián)嗎？

生4：P（AB）=P（A）P（B|A），P（A）gt;0，因為A，B獨立時有P（B|A）=P（B），即P（AB）=P（A）5P（B）.

教學(xué)說明：（1）可以把隨機事件的獨立性看成條件概率中的極限形式，深度理解事件獨立性與條件概率的關(guān)系；（2）歸納—猜想—論證，完善積事件運算公式，完成概念打磨；（3）用“放回”與“不放回”這兩種常見模型作比對，增進對條件概率中條件的理解，更為后期離散型隨機變量中的二項分布與超幾何分布等內(nèi)容做好預(yù)備.

4.4 概念整合

概念整合的關(guān)鍵是實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)化及方法論上的統(tǒng)一性.

探究1條件概率P（A|B）是否具備概率的基本性質(zhì)？（非負(fù)性、規(guī)范性、可加性）

探究2剛剛我們擴展了乘法公式，學(xué)習(xí)了今天的內(nèi)容后，你認(rèn)為P（B+A）應(yīng)該等于什么？

教學(xué)說明：根據(jù)概念類比，進一步了解條件概率與概率之間的關(guān)系；由概念內(nèi)化的乘法公式，外延至概率的加法公式，進一步完善概率的運算體系，生成結(jié)構(gòu)化內(nèi)容.

例2（1）設(shè)A是B的子集，且P（A）=0.2，P（B）=0.7，求P（B|A）和P（A|B）的值.

（2）已知隨機事件A，B，P（A）=12，P（B）=13，P（B|A）=12，求P（AB），P（A|B）.

教學(xué)說明：熟練掌握事件的關(guān)系與表達、條件概率的計算公式，為全概率公式與貝葉斯公式的推導(dǎo)做足基礎(chǔ).

探究3有8張獎券，內(nèi)含一張一等獎，甲乙依次去抽獎，他們抽中一等獎的概率相等嗎？

教學(xué)說明：在實際問題中，學(xué)生要能抽象出各個事件的概率表達，掌握事件之間的內(nèi)在關(guān)系，并能根據(jù)乘法公式，找到事件在邏輯上的聯(lián)系，為下一課時全概率公式的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

5 教后反思

通過“條件概率”的教學(xué)設(shè)計，我們可以發(fā)現(xiàn)：

（1）從知識結(jié)構(gòu)的整體性上看條件概率的教學(xué)，概率的基礎(chǔ)運算與獨立性是支撐本節(jié)課的兩個要點.隨機變量的獨立性也是必修部分的教學(xué)重點與難點，所以，無論是從直觀上，還是從理論上，都應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生清晰地把握隨機事件的獨立性.

（2）本課內(nèi)容知識點多，邏輯關(guān)聯(lián)性強，所以教學(xué)過程中容易生“亂”.為減少知識點間的干擾，本課設(shè)計時形成了相對獨立的四個部分，解決對應(yīng)問題.第一，引導(dǎo)學(xué)生通過對一般古典概型的把握，感受條件概型的意義；第二，關(guān)注條件概率的延伸意義，設(shè)計條件概率的三種基本算法；第三，通過邏輯推理，驗證條件概率與隨機事件獨立性的關(guān)系，為乘法公式形成理論閉環(huán)；第四，概念整合，形成多元聯(lián)系.

（3）條件概率—乘法公式—全概率公式，它們是求一類復(fù)雜事件概率的有力工具.從認(rèn)知角度看，學(xué)會利用條件概率公式、概率乘法公式和全概率公式計算較復(fù)雜事件的概率，可以有效提高學(xué)生對概率的理解水平.

基于單元整體觀視角的概念教學(xué)，要點在于整合教材，系統(tǒng)把握單元知識間的關(guān)聯(lián)，強調(diào)知識、思想、方法論上的整體性，邏輯的連貫性，還在于加強一般觀念的指導(dǎo)，實現(xiàn)知識、方法、能力等多方面的遷移，使學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

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[3]程海奎，章建躍.通過隨機變量刻畫隨機現(xiàn)象加深理解隨機思想[J].數(shù)學(xué)通報，2022，61（1）：914，19.